二重中心化定理

環論と呼ばれる抽象代数の分野において、二重中心化定理は、いくつかの類似した結果のいずれかを指すことがあります。これらの結果は、この記事ではC _R ( S ) と表記される環Rの部分環 S の中心化に関するものです。C _R ( C _R ( S ))には常にS が含まれ、二重中心化定理は、 C _R ( C _R ( S )) がSに等しいことを保証するRとSの条件を与えます。

Rの部分環Sの中心化子は次のように与えられる 。

${\displaystyle \mathrm {C} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=sr{\text{ for all }}s\in S\}.\,}$

明らかにC _R ( C _R ( S )) ⊇  Sですが、2 つの集合が常に等しいと言えるわけではありません。二重中心化定理は、等式が発生すると結論付けることができる条件を示します。

もう一つ興味深い特殊なケースがあります。M を右R加群とし、M に自然左E加群構造を与えます。ここでEは End( M )、つまりアーベル群Mの自己準同型環です。m _r ( x ) =  xrによって与えられるすべての写像m _{r は}、 Mの加法的自己準同型、つまりEの元を作成します。写像r  →  m _{r は}、環EへのRの環準同型であり、Eの内部のRの像をR _Mで表します。この標準写像の核は消滅子Ann( M _R )であることが確認できます。したがって、環の同型定理により、 R _{M は}商環R /Ann( M _R ) と同型です。明らかに、M が忠実な加群である場合、RとR _{M は}同型環です。

したがって、E はR _{M を}部分環とする環となり、C _E ( R _M ) を形成できます。定義により、C _E ( R _M ) = End( M _R )、つまりMのR加群自己準同型の環であることが確認できます。したがって、C _E ( C _E ( R _M )) =  R _Mとなる場合、これはC _E (End( M _R )) =  R _Mとなることと同じです。

おそらく最も一般的なバージョンは、(Knapp 2007、p.115)に出てくる中心単純代数のバージョンです。

定理：Aが体F上の有限次元中心単純代数であり、BがAの単純部分代数である場合、C _A ( C _A ( B )) =  Bであり、さらに次元は

${\displaystyle \mathrm {dim} _{F}(B)\cdot \mathrm {dim} _{F}(\mathrm {C} _{A}(B))=\mathrm {dim} _{F} (A).\,}$

有限次元代数を含むアルティン環の次の一般化されたバージョンは、 (Isaacs 2009、p.187) に登場します。単純な RモジュールU _Rが与えられた場合、R _UおよびE =End( U ) を含む上記の動機のセクションからの表記法を借用します。さらに、 R準同型からなるEの部分環についてはD =End( U _R ) と記述します。Schurの補題により、D は分割環です。

定理：R を単純右加群U _{R を}持つ右アルティン環とし、R _U、D、Eは前段落で述べたように与えられるものとする。すると

${\displaystyle R_{U}=\mathrm {C} _{E}(\mathrm {C} _{E}(R_{U}))\,}$。

備考

• このバージョンでは、環はヤコブソンの密度定理を証明する目的で選択されています。中心単純代数バージョンとは対照的に、特定の部分環が中心化特性を持つという結論のみが導かれることに注意してください。
• 代数は通常は可換環上で定義され、上記のすべての関係する環は非可換である可能性があるため、代数が必ずしも関係するわけではないことは明らかです。
• Uがさらに忠実な加群で、R が右原始環となる場合、R _{U は}Rと同型な環になります。

(Rowen 1980, p.154)では、多項式単位環のバージョンが与えられている。Z( R )という表記は環 Rの中心を表すのに用いられる。

定理: R が単純多項式単位環であり、A がRの単純 Z( R ) 部分代数である場合、C _R ( C _R ( A )) =  Aです。

備考

• このバージョンは、中心単純代数バージョンとアルティン環バージョンの「中間」にあると考えることができる。これは、単純な多項式恒等環がアルティンであるためであるが、^[1]アルティンバージョンとは異なり、結論は依然としてRのすべての中心単純部分環を参照する。

フォン・ノイマンの二可換定理は、ヒルベルト空間H上の有界作用素の代数B ( H )の*-部分代数Aがフォン・ノイマン代数である（つまり弱閉じている）のは、 A = C _{B ( H )} C _{B ( H )} (A)の場合のみであることを述べています。

加群Mは、 C _E ( C _E ( R _M )) =  R _M（ここでE  = End( M ) およびR _{M は}動機のセクションで与えられたとおり）の場合、二重中心化特性を持つか、または平衡加群であると言われます。この用語では、二重中心化定理のアルティン環バージョンは、右アルティン環の単純右加群が平衡加群であることを述べています。

• アイザックス、I. マーティン (2009)、「代数学：大学院課程」、大学院数学研究、第 100 巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp. xii+516、ISBN 978-0-8218-4799-2、MR  24727871994年のオリジナルの復刻版
• ナップ、アンソニー W. (2007)、「Advanced algebra」、Cornerstones、ボストン、マサチューセッツ州: Birkhäuser Boston Inc.、pp. xxiv+730、ISBN 978-0-8176-4522-9、MR  2360434
• ローウェン、ルイス・ハレ（1980）、環理論における多項式恒等式、純粋および応用数学、第84巻、ニューヨーク：アカデミック・プレス社[ハーコート・ブレイス・ジョバノビッチ出版社]、pp. xx+365、ISBN 0-12-599850-3、MR  0576061