順序（環理論）

数学において、環論の意味での順序とは、環の部分環であり、 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$

1. ${\displaystyle A}$は有理数体上の有限次元代数である ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
2. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$にまたがり、${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
3. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$は の-格子です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle A}$

最後の 2 つの条件は、より形式的でない言葉で述べることができます。加法的に、は上の基底によって生成される自由アーベル群です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

より一般的には、分数体 を持つ整域に対して、有限次元-代数における -位数はが完全 -格子である部分環である。つまり、 はという性質を持つ有限 -加群である。^[1]${\displaystyle R}$${\displaystyle K}$${\displaystyle R}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\otimes _{R}K=A}$

が可換環でないとき、順序の考え方は依然として重要ですが、現象は異なります。たとえば、フルヴィッツ四元数は、有理座標を持つ四元数の中で最大順序を形成します。これらは、最も明白な意味での整数座標を持つ四元数ではありません。最大順序は一般に存在しますが、一意である必要はありません。一般に最大順序はなく、最大順序の数はいくつかあります。重要な例として、整群環があります。 ${\displaystyle A}$

命令の例としては次のようなものがある: ^[2]

• が上の行列環である場合、上の行列環はの -階数である。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M_{n}(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M_{n}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$
• が整域であり、の有限可分拡大である場合、におけるの整閉包はにおける - 階数です。${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$
• が上の整元である場合、多項式環は代数における -階である。${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[a]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle K[a]}$
• が有限群の群環である場合、 は-位数である。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle R[G]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle K[G]}$

-階数の基本的な性質は、-階数のあらゆる要素が上で整列していることである。^[3]${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

におけるの整閉包が- 階である場合、あらゆる - 階のあらゆる元の整式は、が における唯一の最大 - 階でなければならないことを示す。しかし、 は常に - 階である必要はない。実際、環である必要はなく、 が環であっても（たとえば、が可換な場合）、 は- 格子である必要はない。^[3]${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$

代表的な例は、が数体でがその整数環である場合です。代数的整数論では、有理体以外の任意の整数環の適切な部分環が順序でもある例があります。たとえば、上のガウス有理数の体拡大では、 の整閉包はガウス整数 環であるため、これは唯一の最大-順序です。 の他のすべての順序はこれに含まれます。たとえば、との整数を含むの形式の複素数の部分環を取ることができます。^[4]${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A=\mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle a+2bi}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

最大順序問題は局所体レベルで調べることができます。この手法は代数的数論とモジュラー表現論に応用されています。

• フルヴィッツ四元数順序– 環順序の例

• Pohst, M.; Zassenhaus, H. (1989).アルゴリズム的代数的数論. 数学とその応用百科事典. 第30巻. Cambridge University Press . ISBN 0-521-33060-2.ZBL0685.12001  。​
• ライナー、I. (2003)。最大順序。ロンドン数学協会モノグラフ。新シリーズ。第28巻。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-852673-3.ZBL1024.16008  。​