コンパクトなスペース

ハイネ・ボレル定理で述べられているユークリッド空間のコンパクト性基準によれば、区間 $A = (-\infty, -2]$ は有界ではないためコンパクトではありません。区間 $C = (2, 4)$ は閉区間ではない（ただし有界）ためコンパクトではありません。区間 $B = [0, 1]$ は閉区間かつ有界であるためコンパクトです。

数学、特に一般位相と数学解析では、コンパクト性とは、空間が多くの点で有限集合のように振る舞う性質です。^[¹^]例えば、有限集合では、鳩の巣原理により、すべての無限列は無限回何らかの値をとらなければなりません。ユークリッド空間の部分集合の場合、これと類似した記述は列コンパクト性です。集合がコンパクトであるのは、その集合内のすべての無限列が、その集合の点に収束する部分列を持つ場合のみです。同様に、有限集合上のすべての実数値関数は有界であり、最大値と最小値に達しますが、コンパクト空間上のすべての連続実数値関数はこれらの性質を持ちます。ユークリッド空間のコンパクト部分集合の場合、これは極値定理です。

有限集合のもう 1 つの基本的な性質は、有限集合を部分集合で覆うと、必ず有限部分被覆が存在することです。つまり、有限集合の各点に対して、その点を含む被覆の要素を選択できます。対応する位相的性質はコンパクト性を定義するために用いられます。位相空間は、すべての開被覆が有限部分被覆を持つ場合にコンパクトです。距離空間では、これは列コンパクト性など、他のいくつかの定式化と等価ですが、これらの等価性はより一般的な位相空間では成り立たない場合があります。したがって、閉単位区間 $[0,1]のすべての数列は、$ $[0,1]$ に収束する部分列を持ちますが、これは開区間 $(0,1)$ や実数直線などの空間では成り立ちません。ユークリッド空間の部分集合の場合、コンパクト性は、ハイネ・ボレル定理により、閉じていて有界であることと等価です。コンパクト性の性質により、局所的な情報を全体的な結論にまとめることができる場合がよくあります。コンパクト集合という用語は、コンパクトな位相空間を指す場合もあれば、より一般的には、部分空間の位相においてコンパクトである位相空間の部分集合を指す場合もある。

コンパクト性は、1906年にモーリス・フレシェがボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を点の集合から関数の空間へと一般化した研究の中で正式に導入されました。その後、パヴェル・アレクサンドロフとパヴェル・ウリゾーンが開被覆定式化を発展させ、現在では位相幾何学の標準となっています。コンパクト性は数学全体を通して中心的な役割を果たしており、例えば、コンパクト空間上の連続実数値関数は最大値と最小値をとります。また、アルツェラ＝アスコリの定理やペアノの存在定理といった主要な結果もコンパクト性に依存しています。

歴史的発展

19世紀には、コンパクト性の帰結として後に認識されることになる、いくつかの異なる数学的性質が理解されていました。一方では、ベルナルド・ボルツァーノ（1817年）は、任意の有界な点列（例えば、直線や平面上の点列）には、最終的に極限点と呼ばれる別の点に任意に近づく部分列が存在することを認識していました。ボルツァーノの証明は二分法に基づいています。数列を区間に入れ、それを2つの等しい部分に分割し、数列の無限個の項を含む部分を選択します。その後、結果として得られたより小さな区間をさらに小さな部分に分割することで、目的の極限点に収束するまでこのプロセスを繰り返すことができます。ボルツァーノの定理とその証明方法の真の意義は、カール・ワイエルシュトラスによって再発見されるまで、ほぼ50年後まで明らかになりませんでした。^{[ 2 ]}

1880年代には、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理に似た結果が、単なる数や幾何学的点ではなく、関数の空間に対して定式化できることが明らかになった。関数自体を一般化された空間の点とみなすという考えは、ジュリオ・アスコリとチェーザレ・アルツェラの研究に遡る。^{[ 3 ]} 彼らの研究の集大成であるアルツェラ・アスコリの定理は、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理を連続関数の族に一般化したものであり、その正確な結論は、適切な関数の族から一様に収束する関数の列を抽出することが可能であるということだった。この列の一様極限は、ボルツァーノの「極限点」と全く同じ役割を果たした。20世紀初頭には、アルツェラとアスコリの結果に似た結果が、デイヴィッド・ヒルベルトとエルハルト・シュミットによって研究された積分方程式の分野で蓄積され始めた。積分方程式の解から得られるある種のグリーン関数について、シュミットは、平均収束、つまり後にヒルベルト空間と呼ばれるものにおける収束という意味で、アルツェラ・アスコリの定理に類似した性質が成り立つことを示した。これは最終的に、コンパクト空間の一般的な概念から派生したコンパクト作用素の概念につながった。 1906年にボルツァーノ・ワイエルシュトラスの性質の本質を抽出し、この一般的な現象を指す用語としてコンパクト性という用語を造語したのはモーリス・フレシェであった（彼はすでに1904年の論文^[⁴^]でこの用語を使用しており、これが有名な1906年の論文につながった）。

しかし、19世紀末には、解析学の厳密な定式化の基礎となる連続体の研究から、全く異なるコンパクト性の概念も徐々に現れてきた。1870年、エドゥアルト・ハイネは、閉区間かつ有界区間で定義された連続関数は、実際には一様連続であることを示した。証明の過程で、彼は、より小さな開区間による任意の可算な区間被覆から、その区間を被覆する有限個の開区間を選択できるという補題を利用した。この補題の重要性はエミール・ボレル（1895年）によって認識され、ピエール・クーザン（1895年）とアンリ・ルベーグ（1904年）によって任意の区間の集合に一般化された。現在ハイネ＝ボレル定理として知られるこの結果は、閉区間かつ有界な実数集合が持つもう一つの特別な性質である。

この性質は、集合に関する局所的な情報（関数の連続性など）から集合に関する全体的な情報（関数の一様連続性など）への移行を可能にするため、重要でした。この考えは、現在彼の名が冠されている積分の開発にも利用したルベーグ（1904）によって表明されました。最終的に、パヴェル・アレクサンドロフとパヴェル・ウリゾーンの指導の下、ロシアの点集合トポロジー学派は、位相空間の現代的な概念に適用できる形でハイネ・ボレルコンパクト性を定式化しました。アレクサンドロフとウリゾーン（1929）は、適切な条件下では、有限部分被覆の存在という観点から定式化されたコンパクト性のバージョンから、フレシェによる以前のコンパクト性（現在は（相対的）逐次コンパクト性と呼ばれている）が導かれることを示しました。コンパクト性という概念が主流となったのは、それがより強力な性質であるだけでなく、空間内の開集合の構造のみに依存するため、最小限の追加的な技術的仕組みでより一般的な設定で定式化できたからである。

基本的な例

有限空間はコンパクトである。各点について、その点を含む開集合を選択することで、有限部分被覆が得られる。コンパクト空間の非自明な例として、実数の（閉）単位区間 $[0,1]$ が挙げられる。単位区間内に無限個の異なる点を選択した場合、その区間内には必ずこれらの点の集積点が存在する。例えば、数列1, ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 3 ⁠ , ⁠ 3 / 4 ⁠ , ⁠ 1 / 5 ⁠ , ⁠ 5 / 6 ⁠ , ⁠ 1 / 7 ⁠ , ⁠ 7 / 8 ⁠ , ...の奇数番目の項は0にいくらでも近づくのに対し、偶数番目の項は 1 にいくらでも近づく。この例の数列は、極限点が空間自体の中になければならないため、区間の境界点を含めることの重要性を示している。実数の開区間(または半開区間) はコンパクトではない。また、区間が有界であることも重要である。区間[ 0,∞) では $、$ $0$ , 1, 2, 3, ...という点の列を選択できるが、そのどの部分列も最終的に任意の実数にいくらでも近づくことはないからである。

2次元空間では、閉じた円盤はコンパクトです。円盤からサンプリングした無限個の点のうち、必ずその一部が円盤内の点か境界上の点に限りなく近づくからです。同様に、平面上の円もコンパクトです（閉じていて境界があることから容易にわかります）。しかし、開いた円盤はコンパクトではありません。点の列が境界に向かって移動しても、内部のどの点にも限りなく近づくことができないからです。同様に、球はコンパクトですが、ある点が欠けている球はコンパクトではありません。点の列が欠けている点に向かって移動しても、空間内のどの点にも限りなく近づくことができないからです。直線や平面はコンパクトではありません。任意の方向に等間隔に並んだ点の集合を取っても、どの点にも近づかないからです。

定義

コンパクト性の定義は、一般性のレベルに応じて様々である。特に、ユークリッド空間の部分集合は、それが閉じていて有界である場合に限りコンパクトである。これは、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理により、集合からの任意の無限列は、集合内の点に収束する部分列を持つことを意味する。一般的な距離空間では、列コンパクト性や極限点コンパクト性など、コンパクト性の様々な同等の概念を展開することができる。^[⁵^]

対照的に、コンパクト性のさまざまな概念は、一般的な位相空間では等価ではなく、最も有用なコンパクト性の概念（元々は双コンパクト性と呼ばれていた）は、開集合からなる被覆を用いて定義されます（下記の開被覆の定義を参照）。この形式のコンパクト性がユークリッド空間の閉集合および有界部分集合に対して成り立つことは、ハイネ・ボレル定理として知られています。このように定義されたコンパクト性は、空間の各点の近傍で局所的に知られている情報を、空間全体で成り立つ情報に拡張することを可能にすることがよくあります。この現象の一例として、ハイネが最初に適用したディリクレの定理があります。これは、コンパクト区間上の連続関数は一様連続であるという定理です。ここで、連続性は関数の局所的な性質であり、一様連続性は対応する大域的な性質です。

表紙の定義を開く

形式的には、位相空間 $X は、$ $X$ のすべての開被覆が有限部分被覆を持つ場合にコンパクトであると呼ばれる。^[⁶^]つまり、 $X$ の任意の開部分集合の集合 $Cに対して、次の条件が満たされる場合に$ $Xはコンパクトである。$ ^[⁷^]

$X=\bigcup _{S\in C}S\ ,$

有限部分集合 $F$ ⊆ $C$ が存在し、

$X=\bigcup _{S\in F}S\ .$

代数幾何学など、ブルバキのフランス学派の影響を強く受けている数学の分野では、一般的な概念を表すのに準コンパクトという用語を用い、ハウスドルフ空間かつ準コンパクト空間である位相空間にのみコンパクトという用語を用いる。コンパクト集合は、コンパクトム（複数形はコンパクト）と呼ばれることもある。

部分集合のコンパクト性

位相空間 $X$ の部分集合 $Kは、$ $X$ の任意の開集合の集合 $C$ に対して、

$K\subseteq \bigcup _{S\in C}S\ ,$

有限部分集合 $F$ ⊆ $C$ が存在し、

$K\subseteq \bigcup _{S\in F}S\ .$

言い換えれば、 $Kが$ $X$ の部分集合としてコンパクトであるのは、位相空間 $K が$ 部分空間位相においてコンパクトである場合に限る。特に、 $K\subset Y\subset X$ 部分空間トポロジを備えた部分集合 $Y$ に対して、 $K が$ $Y$ においてコンパクトであるのは、 $Kが$ $X$ においてコンパクトである場合に限る。さらに、 $K$ 上の部分空間トポロジが同じであれば、位相空間 $X$ の部分集合としての $K$ のコンパクト性は埋め込みに依存しない。

特性評価

$Xが$ 位相空間である場合、以下の式は同値である。

$X$ はコンパクトである。すなわち、 $X$ のすべての開被覆は有限部分被覆を持つ。
$X$ は部分基底を持ち、その部分基底の要素による空間の任意の被覆は有限部分被覆を持つ（アレクサンダーの部分基底定理）。
$X$ はリンデレーフかつ可算コンパクトである。^{[ 8 ]}
有限な共通部分性を持つ $X$ の閉部分集合の任意の集合は、空でない共通部分を持つ。
$X$ 上のすべてのネットは収束するサブネットを持つ（証明についてはネットに関する記事を参照）。
$X$ 上のすべてのフィルターは収束的な改良が可能である。
$X$ 上のすべてのネットにはクラスターポイントが存在する。
$X$ 上のすべてのフィルタにはクラスター点が存在する。
$X$ 上のすべての超フィルターは、少なくとも1つの点に収束する。
$X$ のすべての無限部分集合には完全な集積点が存在する。^{[ 9 ]}
任意の位相空間 $Y$ に対して、射影 $X\times Y\to Y$ は閉じた写像である^{[ 10 ]}（適切な写像を参照）。
部分集合の包含関係によって線形に順序付けられたすべての開被覆には $X$ が含まれる。^{[ 11 ]}

ブルバキは、コンパクト空間（準コンパクト空間）を、各フィルタがクラスター点を持つ位相空間（上記の8.）と定義している。^{[ 12 ]}

ユークリッド空間

ユークリッド空間の任意の部分集合 $A$ に対して、 $Aがコンパクトであるのは、A が$ 閉じていて有界である場合に限る。これはハイネ・ボレルの定理である。

ユークリッド空間は距離空間であるため、次の節で説明する条件は、そのすべての部分集合にも適用されます。同等の条件の中で、実際には、例えば閉区間や閉 $n$ 次元球のように、部分集合が閉集合かつ有界であることを確認するのが最も簡単です。

距離空間

任意の距離空間 $(X, d)$ に対して、以下は同値である（可算選択を仮定）。

$(X, d)$ はコンパクトである。
$(X, d)は$ 完備かつ完全に有界である（これは一様空間のコンパクト性とも同値である）。^{[ 13 ]}
$(X, d)$ は列コンパクトです。つまり、 $X$ のすべての列は収束する部分列を持ち、その極限は $Xに含まれます (これは、$ 第一可算一様空間のコンパクト性とも同等です)。
$(X, d)は$ 極限点コンパクト（弱可算コンパクトとも呼ばれる）である。つまり、 $Xのすべての無限部分集合は、$ $X$ 内に少なくとも 1 つの極限点を持つ。
$(X, d)は$ 可算コンパクトである。つまり、 $X$ のすべての可算開被覆は有限部分被覆を持つ。
$X$ は空集合であるか、 $(X, d)は$ カントール集合からの連続関数の像である。^{[ 14 ]}
$($ $X$ $,$ $d$ $)$ 内の空でない閉部分集合の減少入れ子列 $S 1 \supseteq S 2 \supseteq ...$ はすべて空でない共通部分を持つ。
$($ $X$ $,$ $d$ $)$ における適切な開部分集合 $S 1 \subseteq S 2 \subseteq ...$ の増加列はすべて $X$ をカバーできません。

コンパクトな距離空間 $(X, d)$ は、以下の性質も満たします。

ルベーグの数の補題： $X$ の任意の開被覆に対して、直径が $δ未満の$ $X$ のすべての部分集合が被覆の何らかの要素に含まれるような数δ > 0が存在する。
$(X, d)$ は、第 2 可算、分離可能、かつリンデレーフである。これら 3 つの条件は、距離空間においては同値である。逆は成り立たない。例えば、可算離散空間はこれら 3 つの条件を満たすが、コンパクトではない。
$Xは閉じていて有界です (制限距離が$ $d$ である任意の距離空間の部分集合として)。非ユークリッド空間では逆が成り立たない場合があります。例えば、離散距離を備えた実数直線は閉じていて有界ですが、コンパクトではありません。空間のすべての単元集合の集合は、有限部分被覆を持たない開被覆だからです。完備ではありますが、完全に有界ではありません。

整然とした空間

順序空間 $(X, <)$ (すなわち、順序トポロジを備えた全順序集合) の場合、以下は同等です。

$(X, <)$ はコンパクトです。
$X$ のすべての部分集合は、 $X$ 内に上限 (つまり最小上界) を持つ。
$X$ のすべての部分集合には、 $X$ 内の最小値 (つまり、最大の下限) が存在する。
$X$ の空でない閉部分集合はすべて、最大要素と最小要素を持つ。

これらの条件のいずれかを満たす秩序空間を完全格子と呼ぶ。

さらに、すべての順序空間 $(X, <)$ に対して以下のことが同値であり、(可算選択を仮定) $(X, <)$ がコンパクトであるときはいつでも真である(一般に、 $(X, <)$ が距離化可能でない場合は逆は成り立たない)。

$(X, <)$ のすべての数列には、 $(X, <)$ に収束する部分列が存在する。
$X$ におけるすべての単調増加数列は、 $X$ における唯一の極限値に収束する。
$X$ におけるすべての単調減少列は、 $X$ における唯一の極限値に収束する。
$($ $X$ $, <)$ 内の空でない閉部分集合の減少入れ子列 $S$ ₁ ⊇ $S$ ₂ ⊇ ...はすべて空でない共通部分を持つ。
$($ $X$ $, <)$ 内の適切な開部分集合の任意の増加入れ子列 $S$ ₁ ⊆ $S$ ₂ ⊆ ... は $X$ をカバーできません。

連続関数による特性評価

$X を$ 完全正則ハウスドルフ空間とし、 $C(X)を$ $X$ 上の実数値連続関数の環とする。各 $p \in X$ に対して、評価写像は $\displaystyle \operatorname {ev} _{p}\colon C(X)\to \mathbb {R} }$ によって与えられた $\operatorname {ev} _{p}(f)=f(p)$ は環準同型である。その核は $M_{p}=\ker(\オペレーター名 {ev} _{p})$ は極大イデアルである。なぜなら、第一同型定理により $C(X)/M_{p}\cong \mathbb {R} .$

完全正則ハウスドルフ空間 $X$ に対して、 $Xが$ 擬コンパクトであるのは、 $C($ $X$ $)$ のすべての極大イデアル $Mが$ 実数である場合、すなわちその剰余体 $C($ $X$ $)/$ $M$ がと同型である場合に限る。 $\mathbb {R} .$ さらに、 $Xが$ 実コンパクトであるのは、すべての実極大イデアルが、ある $p$ $\in$ $Xに対して$ $M p$ の形である場合に限る。したがって、 $Xがコンパクトであるのは、$ $C($ $X$ $)$ のすべての極大イデアルが評価準同型の核である場合に限る。^[¹⁵^]

$X$ が擬コンパクトでない場合、 $C(X)$ は、剰余体が適切な順序付き体拡張であるような極大イデアルを持つ。 $\mathbb {R}$ しばしば超実数体と呼ばれる。非標準解析の枠組みでは、これはコンパクト性の次の特徴付けに対応する。^{[ 16 ]}位相空間 $X$ は、自然拡張 $*X$ のすべての点が $X$ の何らかの点に無限に近い場合（つまり、 $X$ の点のモナド内にある場合）に限りコンパクトである。

ハイパーリアルの定義

空間 $X$ がコンパクトであるとは、その超実拡張 $*X$ (例えば、超冪構成によって構成される) が、 $*Xのすべての点が$ $X \subset *X$ のいずれかの点に無限に近づくという性質を持つ場合をいう。例えば、開実区間 $X = (0, 1)$ はコンパクトではない。なぜなら、その超実拡張 $*(0,1)には無限小が含まれており、それらは$ $X$ の点ではない 0 に無限に近づくからである。

十分な条件

コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトである。^{[ 17 ]}
有限個のコンパクト集合の和集合はコンパクトである。
連続関数によるコンパクト空間の像はコンパクトである。^{[ 18 ]}
ハウスドルフ空間の任意の空でないコンパクト部分集合の共通部分はコンパクト（かつ閉集合）である。
- $X$ がハウスドルフ集合でない場合、2つのコンパクト部分集合の共通部分はコンパクト集合にならない可能性がある。^{[ a ]}
任意のコンパクト空間の集合の積はコンパクトである。（これはチホノフの定理であり、選択公理と同値である。）
距離化可能な空間において、部分集合がコンパクトであるのは、それが順序的にコンパクトである場合に限る（可算選択を仮定）。
任意の位相を備えた有限集合はコンパクトである。

コンパクトスペースの特性

すべてのコンパクト部分集合が閉じているような空間をKC空間と呼ぶ。
- ハウスドルフ空間 $X$ のコンパクト部分集合は閉集合である。
- $X$ がハウスドルフ集合でない場合、 $X$ のコンパクト部分集合は $X$ の閉部分集合にならない可能性がある。^{[ b ]}^{[ c ]}
- $X$ がハウスドルフ集合でない場合、コンパクト集合の閉包はコンパクト集合にならない可能性がある。^{[ d ]}
- $X$ がハウスドルフ集合でない場合でも、すべてのコンパクト部分集合が閉集合である可能性は依然としてある。^{[ e ]}
任意の位相ベクトル空間（TVS）において、コンパクト部分集合は完備である。しかし、ハウスドルフ空間以外のすべてのTVSには、閉じていないコンパクト（したがって完備）部分集合が含まれる。
$A$ と $Bが$ ハウスドルフ空間 $X$ の互いに素なコンパクト部分集合である場合、 $X$ には $A$ $\subseteq$ $U$ かつ $B$ $\subseteq$ $V$ となるような互いに素な開集合 $U$ と $Vが$ 存在する。
コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続的な全単射は同相写像である。
コンパクトなハウスドルフ空間は、正規かつ正則である。
空間 $X$ がコンパクトかつハウスドルフ空間であるならば、 $X$ 上のより細かい位相はコンパクトではなく、より粗い位相もハウスドルフ $空間$ ではない。
距離空間 $(X, d)$ の部分集合がコンパクトであれば、それは $d$ 有界である。

機能性とコンパクトな空間

連続関数によるコンパクト空間の像はコンパクトであるため、このような空間に対して極値定理が成り立ちます。すなわち、空でないコンパクト空間上の連続実数値関数は上に有界であり、その上限に達します。^{[ 19 ]} （もう少し一般的に言えば、これは上半連続関数に対しても成り立ちます。）上記の記述の逆として、適切な写像によるコンパクト空間の逆像はコンパクトです。

圧縮

アレクサンドロフの一点コンパクト化により、すべての位相空間 $Xは、$ $X$ より高々 1 点多いコンパクト空間の稠密な開部分空間となる。同様に、すべての局所コンパクトハウスドルフ空間 $Xは、$ $X$ より高々 1 点多いコンパクトハウスドルフ空間の稠密な開部分空間となる。

整然としたコンパクトな空間

実数の空でないコンパクト部分集合は、最大元と最小元を持つ。

$X を$ 順序位相を備えた全順序集合とする。このとき、 $X がコンパクトであるのは、$ $X が$ 完全束である場合（すなわち、すべての部分集合が上限と下限を持つ場合）に限る。^[²⁰^]

例

空集合を含む任意の有限位相空間はコンパクトである。より一般的には、有限位相（有限個の開集合のみを持つ）を持つ空間はコンパクトである。これには特に自明な位相が含まれる。
余有限位相を持つ空間はすべてコンパクトである。
任意の局所コンパクトハウスドルフ空間は、アレクサンドロフ一点コンパクト化によって一点を追加することでコンパクト空間に変換できる。 $\mathbb {R}$ は円 $S 1$ と同相である。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ は球面 $S 2$ と同相である。一点コンパクト化を用いると、非ハウスドルフ空間から始めて、ハウスドルフではないコンパクト空間も容易に構成できる。
任意の有界な全順序集合上の右順序位相または左順序位相はコンパクトである。特に、シェルピンスキー空間はコンパクトである。
無限個の点を持つ離散空間はコンパクトではない。その空間のすべての単集合の集合は、有限部分被覆を持たない開被覆である。有限個の点を持つ離散空間はコンパクトである。
で $\mathbb {R}$ 下限位相を持つため、非可算集合はコンパクトではない。
非可算集合上の可算位相では、どの無限集合もコンパクトではありません。前の例と同様に、空間全体は局所的にコンパクトではありませんが、それでもリンデレーフ空間です。
閉区間 $[0, 1]$ はコンパクトである。これはハイネ・ボレル定理から導かれる。開区間 $(0, 1)$ はコンパクトではない。開被覆は ${\textstyle \left({\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right)}$ $n = 3, 4, ...$ の場合、有限部分被覆は存在しません。同様に、閉区間 $[$ $0,1$ $]内の$ 有理数の集合はコンパクトではありません。区間内の有理数の集合は、 ${\textstyle \left[0,{\frac {1}{\pi }}-{\frac {1}{n}}\right]{\text{ and }}\left[{\frac {1}{\pi }}+{\frac {1}{n}},1\right]}$ $n$ $= 4, 5, ...$ の場合、[0, 1]のすべての有理数を覆うが、この被覆には有限部分被覆はない。ここで、集合は部分空間位相では開いているが、部分集合としては開いていない。 $\mathbb {R}$ 。
セット $\mathbb {R}$ すべての実数の集合はコンパクトではありません。なぜなら、有限部分被覆を持たない開区間の被覆が存在するからです。例えば、 $n が$ $Z$ のすべての整数値をとる区間 $(n - 1, n + 1)$ は、 $\mathbb {R}$ しかし、有限部分被覆は存在しない。
一方、同様の位相を持つ拡張実数直線はコンパクトです。上記のカバーは無限遠点には決して到達しないため、拡張実数直線を覆うことはありません。実際、この集合は、各無限遠点を対応する単位に、すべての実数をその符号に区間の正の部分にある一意の数（1から自身を引いた値で割ったときの絶対値になる数）を掛けたものに写像する[−1, 1]への同相写像を持ち、同相写像はカバーを保存するため、ハイネ・ボレル性質を推論できます。
任意の自然数 $n$ に対して、 $n$ 次元球面はコンパクトである。ハイネ・ボレル定理によれば、任意の有限次元ノルムベクトル空間の閉単位球はコンパクトである。これは無限次元では成り立たない。実際、ノルムベクトル空間が有限次元であるのは、その閉単位球がコンパクトである場合に限る。
一方、ノルム空間の双対空間の閉単位球は、弱*位相においてはコンパクトである。（アラオグルの定理）
カントール集合はコンパクトである。実際、空でない全てのコンパクトな距離空間は、カントール集合の連続的な像である。
実数直線から閉単位区間へのすべての関数 $f$ $:$ $R$ $\to [0, 1]$ の集合 $Kを考え、$ $K$ 上に位相を定義して、数列が $\{f_{n}\}$ $K$ において $f \in K$ に収束するのは、 $\{f_{n}(x)\}$ すべての実数 $xに対して$ $f (x)$ に収束する。このような位相の中で最も粗いものは、点ごとの収束の位相と呼ばれることもある積位相である。この位相では、 $K$ はコンパクトな位相空間となる。これは、チコノフの定理から導かれる。
コンパクトなハウスドルフ空間上の実数値連続関数のバナッハ空間の部分集合は、それが等連続かつ点ごとに有界である場合に限り、相対的にコンパクトである（アルツェラ・アスコリの定理）。
すべての関数 $f$ $:$ $[$ $0, 1$ $]$ $\to$ $[$ $0, 1$ $]$ の集合 $Kを考えます。これらの関数はすべて、すべての$ $x$ $,$ $y$ $\in$ $[$ $0,1$ $]$ に対して、リプシッツ条件 $|$ $f$ $($ $x$ $)$ $-$ $f$ $($ $y$ $)$ $|$ $\leq$ $|$ $x$ $-$ $y$ $|$ を満たします。K 上で、一様距離によって誘導される距離を考えます $。$ $d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.$ そして、アルツェラ・アスコリの定理により、空間 $K$ はコンパクトである。
バナッハ空間上の任意の有界線形作用素のスペクトルは複素数の空でないコンパクト部分集合である。 $\mathbb {C}$ 逆に、 $\mathbb {C}$ これは、ある有界線形作用素のスペクトルとして、このようにして生じる。例えば、ヒルベルト空間上の対角作用素 $\ell ^{2}$ 空でないコンパクトな部分集合を持つことができる $\mathbb {C}$ スペクトルとして。
コンパクトハウスドルフ空間上のボレル確率測度の空間は、曖昧な位相に対してコンパクトである。これはアラオグルの定理による。
ユークリッド空間のボレル集合上の確率測度の集合は、任意の正のεに対して、各測度の質量のεを除くすべての部分集合を含むコンパクトな部分集合が存在する場合に タイトであると呼ばれる。プロホロフの定理は、確率測度の集合が曖昧な位相に対して相対的にコンパクトであるのは、それがタイトである場合に限ると主張する。

代数的な例

すべての半単純リー群は、コンパクトな実形式、すなわちコンパクトな位相群を持ちます。例えば、正定値二次形式の直交群などが挙げられます。また、特殊線形群やローレンツ群のように、コンパクトでない実形式を持つものもあります。
$p$ 進整数はカントール集合と同相であるため、コンパクトな集合を形成する。
任意のグローバル体Kは、そのアデル環の離散加法部分群であり、商空間はコンパクトである。これは、ジョン・テイトの論文において、調和解析を数論に適用するために用いられた。
ザリスキ位相（すなわち、すべての素イデアルの集合）を持つ任意の可換環のスペクトルはコンパクトであるが、ハウスドルフ空間にはならない（自明な場合を除く）。代数幾何学において、このような位相空間は準コンパクトスキームの例であり、「準」とは位相がハウスドルフ空間ではないことを指す。
ブール代数のスペクトルはコンパクトであり、これはストーン表現定理の一部である。ストーン空間、すなわちコンパクトで完全に不連結なハウスドルフ空間は、これらのスペクトルを研究するための抽象的な枠組みを形成する。このような空間は、プロ有限群の研究にも有用である。
可換単位元を持つバナッハ環の構造空間は、コンパクトなハウスドルフ空間である。
ヒルベルト立方体はコンパクトである。これもまた、チホノフの定理の結果である。
プロ有限群（例えばガロア群）はコンパクトである。

注記

↑ $X$ $=$ ${$ $a$ $,$ $b$ $}$ ∪ $\mathbb {N}$ 、 $\mathbb {N}$ 、そして $\mathbb {N}$ $X$ に次の基本開集合によって生成される位相を与える: のすべての部分集合 $\mathbb {N}$ $は開集合です。aを$ 含む開集合は $X$ と $U$ のみです。b $を$ 含む開集合は $X$ と $V$ のみです。U $と$ $V は$ どちらもコンパクト部分集合ですが、それらの共通部分は $\mathbb {N}$ はコンパクトではありません。Uと $V$ $は$ どちらもコンパクトな開集合ですが、どちらも閉集合ではありません。
↑ $X$ $= {$ $a$ $,$ $b$ $}$ とし、 $X$ に位相 ${$ $X$ $, \emptyset, {$ $a$ $}}$ を与える。すると ${$ $a$ $}$ はコンパクト集合であるが、閉じていない。
↑余有限位相を持つ空間の任意の無限真部分集合はコンパクトであるが、閉じていない。
↑ $X を$ 非負整数の集合とする。部分集合 U ⊆ X が 0 ∈ U である場合に限り開集合であると定義することにより、X に特定の点位相を与える。すると $S$ $:$ $=$ ${0}$ $は$ コンパクト $で$ あり、 S $の$ $閉包$ $は$ X $全体$ であるが、開部分集合の集合 ${{0,$ $x$ $}$ $:$ $x$ $\in$ $X$ $}$ は有限部分被覆を持たない $ため、 Xはコンパクトではない。$
↑非可算個の点を持つ空間上の可算位相（ハウスドルフ位相ではない）では、部分集合がコンパクトであるのはそれが有限である場合のみであり、すべての有限部分集合は閉集合である。

参考文献

↑ Tao, Terence (2008). "コンパクト性とコンパクト化".Gowers , Timothy (編). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. pp. 169–170 . ISBN 978-0-691-11880-2。
↑クライン1990、952-953頁；ボイヤー＆メルツバッハ1991、561頁
↑クライン 1990 、第46章、第2節
↑ Frechet、M. 1904。「Weierstrass の定理の一般化」。数学を分析する。
↑ 「逐次コンパクト性」。www -groups.mcs.st -andrews.ac.uk。MT 4522 コース講義。2019年11月25日取得。
↑ Weisstein, Eric W. 「コンパクト空間」 . Wolfram MathWorld . 2019年11月25日取得。
↑ここで「collection」は「集合」を意味しますが、「開部分集合の集合」の方が「開部分集合の集合」よりも自然なのでこの表現を使っています。同様に、「subcollection」は「部分集合」を意味します。
↑ Howes 1995、pp. xxvi–xxviii。
↑ケリー 1955 、p. 163
↑ Bourbaki 2007 、§ 10.2. 定理1、系1。
↑マック 1967。
↑ブルバキ 2007 、§ 9.1。定義1.
↑ Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 、定理5.3.7
↑ウィラード 1970定理 30.7.
↑ギルマン＆ジェリソン 1976 、§5.6
↑ロビンソン 1996 、定理4.1.13
↑ Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 、定理 5.2.3
↑ Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 、定理 5.2.2
↑ Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 、系 5.2.1
↑スティーン＆シーバック 1995 、p.67

参考文献

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外部リンク

Sundström, Manya Raman (2010). "コンパクト性の教育史". arXiv : 1006.4131v1 [ math.HO ].

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[19] $X$ $=$ ${$ $a$ $,$ $b$ $}$ ∪ $\mathbb {N}$ 、 $\mathbb {N}$ 、そして $\mathbb {N}$ $X$ に次の基本開集合によって生成される位相を与える: のすべての部分集合 $\mathbb {N}$ $は開集合です。aを$ 含む開集合は $X$ と $U$ のみです。b $を$ 含む開集合は $X$ と $V$ のみです。U $と$ $V は$ どちらもコンパクト部分集合ですが、それらの共通部分は $\mathbb {N}$ はコンパクトではありません。Uと $V$ $は$ どちらもコンパクトな開集合ですが、どちらも閉集合ではありません。

[20] $X$ $= {$ $a$ $,$ $b$ $}$ とし、 $X$ に位相 ${$ $X$ $, \emptyset, {$ $a$ $}}$ を与える。すると ${$ $a$ $}$ はコンパクト集合であるが、閉じていない。

[21] 余有限位相を持つ空間の任意の無限真部分集合はコンパクトであるが、閉じていない。

[22] $X を$ 非負整数の集合とする。部分集合 U ⊆ X が 0 ∈ U である場合に限り開集合であると定義することにより、X に特定の点位相を与える。すると $S$ $:$ $=$ ${0}$ $は$ コンパクト $で$ あり、 S $の$ $閉包$ $は$ X $全体$ であるが、開部分集合の集合 ${{0,$ $x$ $}$ $:$ $x$ $\in$ $X$ $}$ は有限部分被覆を持たない $ため、 Xはコンパクトではない。$

[23] 非可算個の点を持つ空間上の可算位相（ハウスドルフ位相ではない）では、部分集合がコンパクトであるのはそれが有限である場合のみであり、すべての有限部分集合は閉集合である。

[1] Tao, Terence (2008). "コンパクト性とコンパクト化".Gowers , Timothy (編). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. pp. 169–170 . ISBN 978-0-691-11880-2。

[2] クライン1990、952-953頁；ボイヤー＆メルツバッハ1991、561頁

[3] クライン 1990 、第46章、第2節

[4] Frechet、M. 1904。「Weierstrass の定理の一般化」。数学を分析する。

[:0-5] 「逐次コンパクト性」。www -groups.mcs.st -andrews.ac.uk。MT 4522 コース講義。2019年11月25日取得。

[6] Weisstein, Eric W. 「コンパクト空間」 . Wolfram MathWorld . 2019年11月25日取得。

[7] ここで「collection」は「集合」を意味しますが、「開部分集合の集合」の方が「開部分集合の集合」よりも自然なのでこの表現を使っています。同様に、「subcollection」は「部分集合」を意味します。

[FOOTNOTEHowes1995xxvi–xxviii-8] Howes 1995、pp. xxvi–xxviii。

[9] ケリー 1955 、p. 163

[Bourbaki-10] Bourbaki 2007 、§ 10.2. 定理1、系1。

[FOOTNOTEMack1967-11] マック 1967。

[BourbakiDefinition-12] ブルバキ 2007 、§ 9.1。定義1.

[13] Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 、定理5.3.7

[14] ウィラード 1970定理 30.7.

[15] ギルマン＆ジェリソン 1976 、§5.6

[16] ロビンソン 1996 、定理4.1.13

[17] Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 、定理 5.2.3

[18] Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 、定理 5.2.2

[24] Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 、系 5.2.1

[25] スティーン＆シーバック 1995 、p.67

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参考文献

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