有限トポロジー

有限位相幾何学は、いくつかの異なる意味を持つ数学的概念である。

有限位相空間とは、その基礎となる集合が有限である位相空間のことである。

AとBがアーベル群である場合、準同型群Hom( A , B )上の有限位相は、ゼロの開近傍の次の基底を使用して定義できます。 ^{[ 1 ]}

${\displaystyle U_{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}=\{f\in \operatorname {Hom} (A,B)\mid f(x_{i})=0{\mbox{ for }}i=1,2,\ldots ,n\}}$

この概念は特に、 A = Bとなる自己準同型環の研究において応用される。 ^{[ 2 ]}同様に、R が環であり、M が右R加群である場合、上の有限位相は  ${\displaystyle {\text{End}}_{R}(M)}$は、ゼロの近傍の次のシステムを使用して定義されます。^{[ 3 ]}

${\displaystyle U_{X}=\{f\in {\text{End}}_{R}(M)\mid f(X)=0\}}$

ベクトル空間において${\displaystyle V}$有限開集合${\displaystyle U\subset V}$は、すべての有限次元部分空間との交差が${\displaystyle F\subset V}$は開いている。${\displaystyle V}$これらの開集合によって定義され、時には表記される。${\displaystyle \tau _{f}(V)}$[ ^{4 ]​}

Vが非可算次元の場合、この位相は局所凸ではなく、V を位相ベクトル空間にすることもないが、V が可算次元の場合、 V上の最も細かいベクトル空間位相とV上の最も細かい局所凸位相の両方と一致する。^{[ 5 ]}

多様体Mは、有限個の点が除去されたコンパクトリーマン面と同相である場合、有限位相または有限位相型を持つと言われることがある。 ^{[ 6 ]}

• アビャゾフ、AN; マクラコフ、AD (2023)、「線形代数における有限位相とその性質」、ロシア数学、67 (1)、doi : 10.3103/s1066369x23010012、S2CID 256721835 
• Hoffman, D.; Karcher, Hermann (1995)、「有限全曲率の完全埋め込み極小曲面」、arXiv : math/9508213
• 角谷 静雄; Victor Klee (1963 年 12 月)、「線形空間の有限トポロジー」、Archiv der Mathematik、14 (1): 55–58、doi : 10.1007/bf01234921、S2CID 120704814 
• Krylov, PA; Mikhalev, AV; Tuganbaev, AA (2002)、「アーベル群の自己準同型環の性質 I」、Journal of Mathematical Sciences、112 (6): 4598–4735、doi : 10.1023/A:1020582507609、MR 1946059、S2CID 120424104  
• May, Warren (2001)、「自己準同型環における有限位相の利用」、Journal of Pure and Applied Algebra、163 (1): 107–117、doi : 10.1016/S0022-4049(00)00159-6、MR 1847379 
• Pazzis, C. (2018), "ベクトル空間の有限位相とノルム族の支配問題について", arXiv : 1801.09085 [ math.GN ]