線形連続体

数学の秩序理論の分野において、連続体または線型連続体は実数直線の一般化である。

正式には、線型連続体とは、線型に順序付けられた複数の要素の集合 Sであり、密に順序付けられており、つまり、任意の 2 つの異なる要素の間には別の要素 (したがって、無限に多くの要素) が存在し、完全であり、つまり、上限を持つすべての空でない部分集合には最小の上限があるという意味で「ギャップがない」集合です。より象徴的に言うと、

Sは最小の上限特性を持ち、
S内の各xとS内の各y （ x < y ）に対して、 S内にx < z < yとなるz が存在する。

集合が最小上限特性を持つとは、集合の空でない部分集合のうち、上界を持つものすべてに、その集合内で最小上限が存在する場合を言う。線型連続体は位相幾何学の分野で特に重要であり、順序位相が与えられた順序集合が連結であるかどうかを検証するために使用できる。^[1]

標準的な実数直線とは異なり、線形連続体はどちらの側でも境界が定められることがあります。たとえば、任意の (実数)閉区間は線形連続体です。

例

実数の順序付き集合Rは、通常の順序では線型連続体であり、典型的な例です。性質 b) は自明であり、性質 a) は完全性公理を単純に再定式化したものです。

実数以外の例:

実数の集合と順序同型な集合、例えば実開区間、および半開ギャップ（これらは上記の意味でのギャップではないことに注意）
アフィン拡張実数系と順序同型集合、例えば単位区間
+∞のみまたは-∞のみを加えた実数の集合、および順序同型集合、例えば半開区間
長い列
辞書式順序の集合I × I（ここで×は直積、 I = [0, 1]）は線型連続体である。性質b）は自明である。性質a）を確認するために、π ₁ : I × I → Iの写像を次のように定義する。

π ₁ ( x , y ) = x

この写像は射影写像として知られています。射影写像は連続的( I × I上の積位相に関して) で、全射です。A を、上に有界なI × Iの空でない部分集合とします。π ₁ ( A ) について考えます。Aは上に有界なので、π ₁ ( A ) も上に有界でなければなりません。π ₁ ( A ) はIの部分集合なので、最小上限を持たなければなりません (I は最小上限特性を持つため) 。したがって、b をπ ₁ ( A )の最小上限とすることができます。b がπ ₁ ( A )に属する場合、b × I は、あるc ∈ Iに対して、例えばb × cでA と交差します。b × I はIと同じ順序型を持つので、集合 ( b × I ) ∩ A は確かに最小上限b × c'を持ち、これがAの望ましい最小上限であることに注意してください。

b がπ ₁ ( A )に属さない場合、b × 0 はAの最小の上限です。なぜなら、 d < bで、d × e がAの上限である場合、d はbよりも小さいπ ₁ ( A )の上限になり、 bの一意の特性と矛盾するからです。

非例

有理数の順序集合Qは線型連続体ではない。性質b)は満たされているが、性質a)は満たされていない。部分集合Qを考える。

A = { x ∈ Q | x < √ 2 }

有理数全体の集合の。この集合は√2より大きい任意の有理数（たとえば3）によって上界が制限されるが、有理数の中では最小の上限はない。 ^[2] （具体的には、任意の有理数上限r > √2に対して、r /2 + 1/ r はより近い有理数上限である。詳細は平方根の計算方法§ ヘロン法を参照。）

通常の順序を持つ非負整数の順序付き集合は、線形連続体ではありません。特性 a) は満たされます ( A を、上方に有界な非負整数集合のサブセットとします。この場合、A は有限であるため最大値を持ち、この最大値がAの望ましい最小上限です)。一方、特性 b) は満たされません。確かに、5 は非負整数であり、6 も非負整数ですが、厳密にそれらの間に位置する非負整数は存在しません。
非ゼロ実数の順序集合A

A = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

は線形連続体ではない。性質b)は自明に満たされる。しかし、Bが負の実数の集合である場合:

B = (−∞, 0)

すると、B はAのサブセットであり、そのサブセットは A の上に境界が設けられています ( Aの 0 より大きい任意の要素、たとえば 1) が、Bには最小の上限はありません。 0 はAの要素ではないため、 0はBの境界ではないことに注意してください。

Z _{− を}負の整数の集合とし、A = (0, 5) ∪ (5, +∞)とする。

S = Z ₋ ∪ Aです。

すると、S は特性 a) も特性 b) も満たさなくなります。証明は前の例と同様です。

位相特性

線型連続体は順序集合の研究において重要ですが、位相幾何学の数学の分野にも応用されています。実際、順序位相における順序集合が連結であるためには、線型連続体である必要があることを証明します。ここでは 1 つの含意を証明し、もう 1 つは演習問題として残します。(Munkres は^[3]で証明の 2 番目の部分を説明しています)

定理

X を順序位相における順序集合とします。Xが連結されている場合、Xは線形連続体です。

証拠：

xとy がXの要素でx < yであるとします。 Xにx < z < yとなるz が存在しない場合は、次の集合を検討します。

A = (−∞, y )

B = ( x , +∞)となる。

これらの集合は互いに素であり（a がAにある場合、a < yであり、 a がBにある場合、a > xかつa < yとなるが、これは仮説では不可能である）、空でなく（x はAにあり、y はBにある）、開いており（順序位相において）、それらの和集合はXである。これはXの連結性と矛盾する。

ここで、最小上限特性を証明します。CがXの上位境界付き部分集合であり、かつ最小上限を持たない場合、 D を( b , +∞)の形式のすべての開光線の和集合とします。ここで、 b はCの上限です。このとき、Dは開いており (開集合の和集合であるため)、閉じています( aがDにない場合、Cのすべての上限bについてa < b であるため、q がCに含まれるようなq > aを選択できます(このようなq が存在しない場合、a はCの最小上限です)、Dと交差しないaを含む開区間を選択できます)。Dは空でないため ( Dの上限は複数存在します。上限sが1 つだけある場合、s が最小上限になります。次に、b ₁とb _{2 が}Dの 2 つの上限でb ₁ < b ₂である場合、b _{2 は}Dに属します)、Dとその補集合は一緒にX上の分離を形成します。これはXの連結性と矛盾します。

定理の応用

順序集合A = (−∞, 0) U (0,+∞)は線形連続体ではないので、不連続である。
今証明した定理を適用すると、 Rが連結であることがわかります。実際、R内の任意の区間(または光線)も連結です。
整数の集合は線形連続体ではないため、接続できません。
実際、順序位相における順序集合が線形連続体である場合、それは連結されていなければなりません。この集合内の任意の区間も線形連続体であるため、この空間は連結集合のみで構成される基底を持ち、局所的に連結されていることになります。
線型連続体である位相空間の例については、 long line を参照してください。

参照

参考文献

^ マンクレス、ジェームズ (2000)。トポロジー、第 2 版。ピアソンエデュケーション。pp. 31、153。ISBN 0-13-181629-2。
^ ハーディ、GH（1952）。純粋数学講座、第10版。ケンブリッジ大学出版局。pp.11–15、24–31。ISBN 0-521-09227-2。
^ マンクレス、ジェームズ (2000)。トポロジー、第 2 版。ピアソンエデュケーション。pp. 153–154。ISBN 0-13-181629-2。

[1] マンクレス、ジェームズ (2000)。トポロジー、第 2 版。ピアソンエデュケーション。pp. 31、153。ISBN 0-13-181629-2。

[2] ハーディ、GH（1952）。純粋数学講座、第10版。ケンブリッジ大学出版局。pp.11–15、24–31。ISBN 0-521-09227-2。

[3] マンクレス、ジェームズ (2000)。トポロジー、第 2 版。ピアソンエデュケーション。pp. 153–154。ISBN 0-13-181629-2。