第一可算空間

数学の一分野である位相幾何学において、第一可算空間は「第一可算公理」を満たす位相空間である。具体的には、各点が可算な近傍基数（局所基数）を持つ場合、空間は第一可算であると言われる。つまり、 内の各点に対しての近傍の列が存在し、の任意の近傍に対してに含まれるを持つ整数が存在する。任意の点のすべての近傍には、その点の開近傍 が含まれるため、一般性を失うことなく、開近傍で構成される近傍基数を選択することができる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N_{1},N_{2},\ldots }$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle N.}$

数学における「日常的な」空間の大部分は第一可算である。特に、すべての距離空間は第一可算である。これを理解するには、半径が整数である中心の開いた球の集合が、可算な局所基底を形成することに注目する。${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle x.}$

第一可算でない空間の例としては、非可算集合（実数直線など）上の余有限位相がある。より一般的には、非可算体上の代数多様体上のザリスキ位相は第一可算ではない。

もう 1 つの反例は、が最初の非可算順序数である順序空間 です。内の要素のシーケンスのいずれもその要素を極限として持たないにもかかわらず、要素は部分集合の極限点です。特に、空間内の点には可算な局所基数がありません。ただし、 はそのような唯一の点であるため、部分空間は第 1 可算です。 ${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}=\left[0,\omega _{1}\right)}$

実数直線上の自然数が一点と同一視される商空間は 第一に可算ではない。 ^[1]しかし、この空間は、の閉包内の任意の部分集合と任意の元に対して、 A に収束する数列が存在するという性質を持つ。この数列の性質を持つ空間は、フレシェ・ウリゾーン空間と呼ばれることもある。 ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {N} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle x.}$

第一可算性は第二可算性よりも厳密に弱い。すべての第二可算空間は第一可算であるが、すべての非可算離散空間は第一可算であるが第二可算ではない。

第一可算空間の最も重要な性質の 1 つは、部分集合が与えられたときに、点が の閉包に存在する場合と、 に収束する列が存在する場合とで同値であるということです(言い換えると、すべての第一可算空間はフレシェ-ウリゾーン空間であり、したがって の連続空間でもあります)。これは、極限と連続性に影響を及ぼします。特に、 が第一可算空間上の関数である場合、 が点で極限を持つ場合と、に対してとなるすべての列に対して となる場合とで同値です。また、 が第一可算空間上の関数である場合、 が連続である場合と、 となるときはいつでも となる場合とで同値です。${\displaystyle A,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{n}\to x,}$${\displaystyle x_{n}\neq x}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to L.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{n}\to x,}$${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to f(x).}$

第一可算空間では、順次コンパクト性と可算コンパクト性は同等の特性です。ただし、順次コンパクトで、第一可算な空間でもコンパクトではない例が存在します (これらは必ずしも距離化可能ではない空間です)。そのような空間の 1 つが順序空間 です。すべての第一可算空間はコンパクトに生成されます。 ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right).}$

第一可算空間のすべての部分空間は第一可算です。第一可算空間の任意の可算積は第一可算ですが、不可算積は必ずしもそうである必要はありません。

• フレシェ・ウリゾーン空間 – 位相空間の性質
• 第二可算空間 – 位相が可算な基底を持つ位相空間
• 可分空間 – 稠密な可算部分集合を持つ位相空間
• シーケンシャル空間 – シーケンスによって特徴付けられる位相空間

• 「可算性の第一公理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• エンゲルキング、リザード(1989)。一般位相幾何学。純粋数学のシグマシリーズ、第 6 巻 (改訂版および完成版)。ヘルダーマン出版、ベルリン。ISBN 3885380064。