限界点コンパクト

数学において、位相空間${\displaystyle X}$は、 の無限部分集合が であるとき、極限点コンパクト^{[ 1 ] [ 2 ]}または弱可算コンパクト^{[ 2 ]}であると言われる。${\displaystyle X}$限界点があります${\displaystyle X.}$この性質は、コンパクト空間の性質を一般化したものである。距離空間においては、極限点コンパクト性、コンパクト性、および列コンパクト性はすべて同値である。しかし、一般的な位相空間においては、これら3つのコンパクト性の概念は同値ではない。

• 位相空間において、極限点を持たない部分集合は、その部分空間の位相において閉じた離散的な部分集合に他ならない。したがって、空間が極限点コンパクトであるのは、その空間のすべての閉じた離散部分集合が有限である場合に限る。
• スペース${\displaystyle X}$が極限点コンパクトでないのは、それが無限の閉じた離散部分空間を持つ場合かつその場合に限る。閉じた離散部分空間の任意の部分集合は${\displaystyle X}$それ自体が閉じている${\displaystyle X}$そして離散的であるため、これは以下を要求することと同等である。${\displaystyle X}$可算無限個の閉じた離散部分空間を持つ。
• 極限点コンパクトでない空間の例をいくつか挙げます。(1)集合${\displaystyle \mathbb {R} }$通常の位相を持つすべての実数。整数は無限集合であるが、極限点を持たない。${\displaystyle \mathbb {R} }$（２）離散位相を持つ無限集合、（３）非可算集合上の可算補集合位相。
• 可算コンパクト空間（したがって、すべてのコンパクト空間）は、極限点コンパクトである。
• T ₁空間の場合、極限点コンパクト性は可算コンパクト性と同等である。
• 可算コンパクトではない極限点コンパクト空間の例は、「整数を2倍にする」ことによって得られる。つまり、積をとることによって得られる。${\displaystyle X=\mathbb {Z} \times Y}$どこ${\displaystyle \mathbb {Z} }$は離散トポロジーを持つすべての整数の集合であり、${\displaystyle Y=\{0,1\}}$空間は離散的ではないトポロジーを持つ。${\displaystyle X}$奇偶位相と同相である。^{[ 3 ]}この空間はT ₀ ではない。空でない部分集合はすべて極限点を持つため、極限点コンパクトである。
• 極限点コンパクトであり、かつ可算コンパクトではないT ₀空間の例は、${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$正しい順序位相を持つすべての実数の集合、すなわち、すべての区間によって生成される位相${\displaystyle (x,\infty ).}$^{[ 4 ]} 空間は、任意の点が与えられたとき、極限点コンパクトである。${\displaystyle a\in X,}$毎${\displaystyle x<a}$限界点${\displaystyle \{a\}.}$
• 距離化可能な空間においては、コンパクト性、可算コンパクト性、極限点コンパクト性、および逐次コンパクト性はすべて同値である。
• 極限点コンパクト空間の閉部分空間は、極限点コンパクトである。
• 極限点コンパクト空間の連続像は、必ずしも極限点コンパクトであるとは限りません。例えば、${\displaystyle X=\mathbb {Z} \times Y}$と${\displaystyle \mathbb {Z} }$離散的で${\displaystyle Y}$上記の例のように不規則なマップ${\displaystyle f=\pi _{\mathbb {Z} }}$最初の座標への射影によって与えられるものは連続ですが、${\displaystyle f(X)=\mathbb {Z} }$制限点コンパクトではありません。
• 極限点コンパクト空間は擬コンパクトである必要はない。同じ例が与えられている。${\displaystyle X=\mathbb {Z} \times Y}$と${\displaystyle Y}$不連続な2点空間と地図${\displaystyle f=\pi _{\mathbb {Z} },}$その像は境界を持たない${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• 極限点コンパクト空間は必ずしもコンパクトである必要はない。基底を持つ位相を持つ整数${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\{2n,2n+1\}:n\in \mathbb {Z} \}}$この事実の一例として挙げられる。^{[ 5 ]}
• 擬コンパクト空間は、必ずしもリミットポイントコンパクトである必要はありません。例として、コカウント位相を持つ非可算集合が挙げられます。
• すべての正規擬コンパクト空間は極限点コンパクトである。^{[ 6 ]}証明：${\displaystyle X}$は、極限点コンパクトではない通常の空間である。可算無限個の閉じた離散部分集合が存在する。${\displaystyle A=\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \}}$の${\displaystyle X.}$ティーツェ拡張定理 により、連続関数${\displaystyle f}$の上${\displaystyle A}$定義される${\displaystyle f(x_{n})=n}$すべての (非有界) 実数値連続関数に拡張可能${\displaystyle X.}$ それで${\displaystyle X}$擬コンパクトではない。
• 極限点コンパクト空間は可算な広がりを持つ。
• もし${\displaystyle (X,\tau )}$そして${\displaystyle (X,\sigma )}$位相空間は${\displaystyle \sigma }$より細かい$\displaystyle \tau }$そして${\displaystyle (X,\sigma )}$限界点がコンパクトであれば、${\displaystyle (X,\tau ).}$

• コンパクト空間– 数学的空間の一種 
• 数えられるほどコンパクトな空間
• 逐次コンパクト空間– すべての数列が収束する部分列を持つ位相空間 

• マンクレス、ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2 版）.アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260。​ （視覚障害のある利用者も利用可能）
• スティーン、リン・アーサー；シーバック、J・アーサー（1995）[初版は1978年にシュプリンガー・フェルラーク社（ニューヨーク）より刊行]。位相幾何学における反例。ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 0-486-68735-X. OCLC 32311847 . 
• この記事は、 PlanetMathの Weakly countably compact から資料を組み込んでおり、Creative Commons Attribution/Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。
• トム・リッチモンド（2020）。一般的なトポロジ: 概要。デ・グリュイテル。ISBN 978-3110686722。