コンパクトセットによる疲労

数学、特に一般位相幾何学と解析学において、位相空間をコンパクト集合^{[ 1 ]で塗りつぶすことは、}${\displaystyle X}$は、コンパクトな部分集合の入れ子構造のシーケンスである。${\displaystyle K_{i}}$の${\displaystyle X}$（つまり）${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq K_{3}\subseteq \cdots }$)、各${\displaystyle K_{i}}$内部に含まれています${\displaystyle K_{i+1}}$つまり${\displaystyle K_{i}\subset {\text{int}}(K_{i+1})}$、 そして${\displaystyle X=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}}$。

コンパクト集合による網羅を許容する空間は、コンパクト集合による網羅可能であるという。^{[ 2 ]}

例えば、スペースの場合${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$閉じた球のシーケンス${\displaystyle K_{i}=\{x:|x|\leq i\}}$コンパクトな集合によって空間が枯渇する。

要件を緩和するより弱い条件があります。${\displaystyle K_{i}}$内部にある${\displaystyle K_{i+1}}$つまり、その空間はσコンパクトである（すなわち、可算個のコンパクト部分集合の和集合である）。

コンパクト集合による枯渇がある場合、空間は必然的に局所コンパクトになります（ハウスドルフ空間の場合）。逆もまた多くの場合真です。例えば、局所コンパクトハウスドルフ空間の場合${\displaystyle X}$これは可算個のコンパクト部分集合の和集合であるため、次のように網羅性を構築できます。${\displaystyle X=\bigcup _{1}^{\infty }K_{n}}$コンパクト集合の和集合として${\displaystyle K_{n}}$帰納的に開集合を選択する${\displaystyle V_{n}\supset {\overline {V_{n-1}}}\cup K_{n}}$コンパクトな留め具付きで、${\displaystyle V_{0}=\emptyset }$。 それから${\displaystyle {\overline {V_{n}}}}$これは必須の調査です。

第二可算な局所コンパクトハウスドルフ空間の場合、同様の議論を用いて除去を構成することができる。

ハウスドルフ空間の場合${\displaystyle X}$コンパクト集合による除去を用いることで、空間がパラコンパクトであることを示すことができる。^{[ 3 ]}実際、増加数列があると仮定する。${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots }$開部分集合の${\displaystyle X=\bigcup V_{n}}$そしてそれぞれ${\displaystyle {\overline {V_{n}}}}$コンパクトで、${\displaystyle V_{n+1}}$。 させて${\displaystyle {\mathcal {U}}}$開いたカバー${\displaystyle X}$また、${\displaystyle V_{n}=\emptyset ,\,n\leq 0}$.次に、それぞれについて${\displaystyle n\geq 1}$、${\displaystyle \{(V_{n+1}-{\overline {V_{n-2}}})\cap U\mid U\in {\mathcal {U}}\}}$コンパクトセットの開いたカバーです${\displaystyle {\overline {V_{n}}}-V_{n-1}}$したがって有限部分被覆を許容する${\displaystyle {\mathcal {V}}_{n}}$。 それから${\displaystyle {\mathcal {V}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {V}}_{n}}$は、${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

注記：実際、証明は、各開被覆が、コンパクトな閉包を持つ開集合からなる可算個の細分化を許容し、その各要素は他の要素と有限個しか交わらないことを示している。^{[ 3 ]}

以下の逆もまた成り立つ。可算個の開連結成分を持つパラコンパクト局所コンパクトハウスドルフ空間は、コンパクト集合の可算和集合である^{[ 4 ]}ので、コンパクト部分集合による除去が可能である。

位相空間については以下が同等である。${\displaystyle X}$: ^{[ 5 ]}

1. ${\displaystyle X}$コンパクト集合によって網羅可能である。
2. ${\displaystyle X}$σコンパクトであり、弱局所コンパクトである。
3. ${\displaystyle X}$はリンデレーフであり、弱局所コンパクトである。

（ここで、弱局所コンパクトとは、各点がコンパクトな近傍を持つという弱い意味での局所コンパクトを意味する。）

半コンパクト性は、コンパクト集合による網羅性とσコンパクト性の中間の性質を持つ。コンパクト集合による網羅性を持つ空間はすべて半コンパクトであり^{[ 6 ]}、すべての半コンパクト空間はσコンパクトであるが、その逆は成り立たない。例えば、アレンス・フォート空間とアペール空間は半コンパクトであるが、コンパクト集合による網羅性を持たない（弱局所コンパクトではないため）^{[ 7 ]} 。また、集合は${\displaystyle \mathbb {Q} }$通常の位相を持つ有理数の集合はσコンパクトであるが、半コンパクトではない。^{[ 8 ]}

可算個のコンパクト集合の和集合であるすべての正則ハウスドルフ空間はパラコンパクトである。

• レオン・エーレンプライス著、『局所コンパクト空間の分布理論』、アメリカ数学会、1982年。ISBN 0-8218-1221-1。
• Hans GrauertおよびReinhold Remmert、「シュタイン空間の理論」、Springer Verlag (Classics in Mathematics)、2004 年。ISBN 978-3540003731。
• ハーダー、ギュンター（2011）。代数幾何学講義。1：層、層のコホモロジー、およびリーマン面への応用（第2 版）。ISBN 978-3834818447。
• Lee, John M. (2011).位相多様体入門（第2 版）. ニューヨーク：Springer. ISBN 978-1-4419-7939-1。
• ワーナー、フランク・W. (1983).微分可能多様体とリー群の基礎. 大学院数学テキスト. シュプリンガー・フェルラーク.
• Wall, CTC (2016年7月4日).微分トポロジー. Cambridge University Press. ISBN 9781107153523。

• 「コンパクト集合による枯渇」。PlanetMath 。
• 「コンパクト集合による網羅の存在」。Mathematics Stack Exchange。