ペアノの存在定理

数学、特に常微分方程式の研究において、ジュゼッペ・ペアノとオーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられたペアノ存在定理、ペアノ定理、またはコーシー・ペアノ定理は、特定の初期値問題に対する解の存在を保証する基本定理です。

ペアノは1886年にこの定理を誤った証明とともに初めて発表した。^[1] 1890年に彼は逐次近似法を用いた新しい正しい証明を発表した。^[2]

が 連続関数 とD上で定義された 連続した明示的な一階微分方程式を持つ の開部分集合であるとすると、を持つfに対するすべての初期値問題 には 局所解が存在します。 ここで はにおけるの近傍であり、すべての に対してとなります。^[3]${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$${\displaystyle y'(x)=f\left(x,y(x)\right)}$ ${\displaystyle y\left(x_{0}\right)=y_{0}}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}$${\displaystyle z\colon I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle z'(x)=f\left(x,z(x)\right)}$${\displaystyle x\in I}$

解は一意である必要はありません。同じ初期値から、さまざまな解が生成される場合があります。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle z}$

を 、に置き換えると、と仮定できます。が開いているので、長方形 が存在します。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle y-y_{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x-x_{0}}$${\displaystyle x_{0}=y_{0}=0}$${\displaystyle D}$${\displaystyle R=[-x_{1},x_{1}]\times [-y_{1},y_{1}]\subset D}$

はコンパクトで連続なので、 が成り立ち、ストーン ・ワイエルシュトラスの定理により、において一様収束するリプシッツ関数の列が存在します。一般性を失うことなく、すべての に対して と仮定します。${\displaystyle R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \textstyle \sup _{R}|f|\leq C<\infty }$${\displaystyle f_{k}:R\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \textstyle \sup _{R}|f_{k}|\leq 2C}$${\displaystyle k}$

ピカール反復を 次のように定義する。ここで、、 である。これらは帰納法によって明確に定義される。 ${\displaystyle y_{k,n}:I=[-x_{2},x_{2}]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{2}=\min\{x_{1},y_{1}/(2C)\}}$${\displaystyle y_{k,0}(x)\equiv 0}$${\displaystyle \textstyle y_{k,n+1}(x)=\int _{0}^{x}f_{k}(x',y_{k,n}(x'))\,\mathrm {d} x'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|y_{k,n+1}(x)|&\leq \textstyle \left|\int _{0}^{x}|f_{k}(x',y_{k,n}(x'))|\,\mathrm {d} x'\right|\\&\leq \textstyle |x|\sup _{R}|f_{k}|\\&\leq x_{2}\cdot 2C\leq y_{1},\end{aligned}}}$

${\displaystyle (x',y_{k,n+1}(x'))}$は のドメイン内にあります。 ${\displaystyle f_{k}}$

我々は持っています

${\displaystyle {\begin{aligned}|y_{k,n+1}(x)-y_{k,n}(x)|&\leq \textstyle \left|\int _{0}^{x}|f_{k}(x',y_{k,n}(x'))-f_{k}(x',y_{k,n-1}(x'))|\,\mathrm {d} x'\right|\\&\leq \textstyle L_{k}\left|\int _{0}^{x}|y_{k,n}(x')-y_{k,n-1}(x')|\,\mathrm {d} x'\right|,\end{aligned}}}$

ここでは のリプシッツ定数です。したがって、最大差 に対しては、境界 が与えられ、 ${\displaystyle L_{k}}$${\displaystyle f_{k}}$${\displaystyle \textstyle M_{k,n}(x)=\sup _{x'\in [0,x]}|y_{k,n+1}(x')-y_{k,n}(x')|}$${\displaystyle \textstyle M_{k,n}(x)\leq L_{k}\left|\int _{0}^{x}M_{k,n-1}(x')\,\mathrm {d} x'\right|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{k,0}(x)&\leq \textstyle \left|\int _{0}^{x}|f_{k}(x',0)|\,\mathrm {d} x'\right|\\&\leq |x|\textstyle \sup _{R}|f_{k}|\leq 2C|x|.\end{aligned}}}$

帰納法により、これはすべての に対してがゼロに近づく境界を意味します。 ${\displaystyle M_{k,n}(x)\leq 2CL_{k}^{n}|x|^{n+1}/(n+1)!}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle x\in I}$

関数は等連続であり、 ${\displaystyle y_{k,n}}$${\displaystyle -x_{2}\leq x<x'\leq x_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|y_{k,n+1}(x')-y_{k,n+1}(x)|&\leq \textstyle \int _{x}^{x'}|f_{k}(x'',y_{k,n}(x''))|\,\mathrm {d} x''\\&\textstyle \leq |x'-x|\sup _{R}|f_{k}|\leq 2C|x'-x|,\end{aligned}}}$

したがって、アルツェラ・アスコリ定理によれば、それらは比較的コンパクトである。特に、それぞれに対して、 連続関数に一様収束する部分 列が存在する。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle (y_{k,\varphi _{k}(n)})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle y_{k}:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \left|y_{k,\varphi _{k}(n)}(x)-\int _{0}^{x}f_{k}(x',y_{k,\varphi _{k}(n)}(x'))\,\mathrm {d} x'\right|&=|y_{k,\varphi _{k}(n)}(x)-y_{k,\varphi _{k}(n)+1}(x)|\\&\leq M_{k,\varphi _{k}(n)}(x_{2})\end{aligned}}}$

と結論づけられます。関数は比較的コンパクトな集合の閉包内にあるため、関数自体も比較的コンパクトです。したがって、連続関数 に一様収束する部分列が存在します。を極限として、 Arzelà–Ascoli の定理により が等連続であるという事実を用いて、と結論づけられます。微積分学の基本定理により、では です。 ${\displaystyle \textstyle y_{k}(x)=\int _{0}^{x}f_{k}(x',y_{k}(x'))\,\mathrm {d} x'}$${\displaystyle y_{k}}$${\displaystyle y_{\psi (k)}}$${\displaystyle z:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle \textstyle y_{\psi (k)}(x)=\int _{0}^{x}f_{\psi (k)}(x',y_{\psi (k)}(x'))\,\mathrm {d} x'}$${\displaystyle \textstyle z(x)=\int _{0}^{x}f(x',z(x'))\,\mathrm {d} x'}$${\displaystyle f_{\psi (k)}}$${\displaystyle z'(x)=f(x,z(x))}$${\displaystyle I}$

ペアノの定理は、同じ文脈における別の存在結果であるピカール・リンデレーフの定理と比較することができます。ピカール・リンデレーフの定理は、より多くのことを前提とし、より多くのことを結論付けています。ピカール・リンデレーフの定理はリプシッツ連続性を必要としますが、ペアノの定理は連続性のみを必要とします。しかし、ペアノの定理は解の存在のみを証明するのに対し、ピカール・リンデレーフの定理は存在と一意性の両方を証明します。例として、常微分方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle y'=\left\vert y\right\vert ^{\frac {1}{2}}}$ドメイン${\displaystyle \left[0,1\right].}$

ペアノの定理によれば、この方程式には解が存在します。しかし、右辺は 0 を含む任意の近傍ではリプシッツ連続ではないため、ピカール・リンデレーフの定理は適用されません。したがって、存在は結論付けられますが、一意性は結論付けられません。この常微分方程式には、 から開始する場合、または の2 種類の解があることがわかります。 と の間の遷移は、任意の で発生する可能性があります。 ${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle y(x)=0}$${\displaystyle y(x)=x^{2}/4}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=(x-C)^{2}/4}$${\displaystyle C}$

カラテオドリの存在定理は、連続性よりも弱い条件でペアノの存在定理を一般化したものです。

ペアノの存在定理は、一般のヒルベルト空間 に直接拡張することはできない。の開集合に対して、 の連続性だけでは、関連する初期値問題の解の存在を保証するのに不十分である。^[4]${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} \times {\mathcal {H}}}$${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$

• ウェストバージニア州オスグッド (1898)。 "Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung"。数学のためのモナトシェフ。9 : 331–345。土井：10.1007/BF01707876。S2CID  122312261。
• コディントン、アール A.、レビンソン、ノーマン (1955)。『常微分方程式の理論』ニューヨーク：マグロウヒル。
• マレー、フランシス J.; ミラー、ケネス S. (1976) [1954].常微分方程式の存在定理(再版)。ニューヨーク: クリーガー。
• テシュル、ジェラルド(2012)。『常微分方程式と動的システム』プロビデンス：アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-8328-0。