シーケンスの制限

数学において、数列の極限とは数列の項が「向かう」値であり、記号（例：）を使用して表されることが多い。^[1]このような極限が存在し、かつ有限である場合、数列は収束する数列と呼ばれる。^[2]収束しない数列は発散する数列と呼ばれる。^{[3]数列の極限は、}数学的分析全体が最終的に基づく基本的な概念であると言われている。^[1]${\displaystyle \lim}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

極限は任意の計量空間または位相空間で定義できますが、通常は実数で最初に遭遇します。

ギリシャの哲学者エレアのゼノンは、制限的なプロセスを伴うパラドックスを定式化したことでも有名です。

レウキッポス、デモクリトス、アンティポン、エウドクソス、アルキメデスは、面積や体積を決定するために近似値の無限列を使用する、消尽法を開発した。アルキメデスは、現在では等比級数と呼ばれているものを合計することに成功した。

グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンは、著書『幾何作品』（1647年）の中で、等比級数の極限（終点）の最初の定義を与えた。「数列の終点とは、数列が無限に続いても到達できないが、与えられた線分より近づくことができる数の終わりである。」^[4]

ピエトロ・メンゴリは、 1659 年の著書『幾何学的素因数分解』における準比例の研究で、数列の極限という現代的な概念を予見していました。彼は、無限大を準無限大、消滅を準ゼロという用語で表現しました。

ニュートンは、彼の著書『無限級数による解析』（1669 年に執筆、原稿が流通、1711 年に出版）、『流数と無限級数の方法』（1671 年に執筆、1736 年に英訳出版、ラテン語原文はずっと後になって出版）、『曲線の四角形論考』 （1693 年に執筆、1704 年に彼の著書『光学』の付録として出版）で級数を扱っています。後者の著書では、ニュートンは の二項展開を考察し、に近づくときの極限をとることでこれを線形化します。 ${\textstyle (x+o)^{n}}$${\textstyle o}$${\textstyle 0}$

18 世紀には、オイラーなどの数学者が、適切なタイミングで計算を止めることで、発散する級数を合計することに成功しました。彼らは、計算さえできれば、極限が存在するかどうかはあまり気にしませんでした。18 世紀末、ラグランジュは『解析関数理論』 (1797 年)の中で、厳密さの欠如が微積分学のさらなる発展を妨げていると述べました。ガウスは、超幾何級数の研究(1813 年) で、級数が極限に収束する条件を初めて厳密に調査しました。

極限の現代的な定義 (任意の値に対して、 ... となるような指数が存在する) は、ベルナルド・ボルツァーノ(当時はあまり注目されなかった『二項定理』 、プラハ 1816 年) と、 1870 年代に カール・ヴァイエルシュトラスによって与えられました。${\textstyle \epsilon }$${\textstyle N}$

実数において、数列 の数が にどんどん近づき、他のどの数にも近づかなく なる場合、その数は数列の極限です。${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle L}$

• 定数 の場合、 となる。^{[証明 1] [5]}${\displaystyle x_{n}=c}$${\textstyle c}$${\displaystyle x_{n}\to c}$
• もしならば。^{[証明2] [5]}${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$${\displaystyle x_{n}\to 0}$
• が偶数で、が奇数の場合、 です。( が奇数であるという事実は無関係です。)${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}\to 0}$${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$${\displaystyle n}$
• 任意の実数が与えられた場合、小数近似を行うことでその数に収束する数列を簡単に構築することができます。たとえば、数列はに収束します。小数表現は、前の数列の極限であり、次のように定義されます。${\textstyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots }$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle 0.3333\dots }$$${\displaystyle 0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}}$$
• 数列の極限を見つけることは必ずしも明白ではありません。 2 つの例としては、(その極限は数e )と算術幾何平均があります。スクイーズ定理は、このような極限を確立する際によく役立ちます。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}$

数列の極限をと呼び、これは次のように表される。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle x_{n}\to x}$、 または

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$、

次の条件が満たされる場合:

それぞれの実数 に対して、任意の自然数に対して となる自然数が存在する。^[6]${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |x_{n}-x|<\varepsilon }$

言い換えれば、あらゆる近さの尺度 に対して、数列の項は最終的にその限界に近くなります。数列は限界に収束する、または限界に向かうと言われています。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x}$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$。

数列が何らかの極限に収束する場合、それは収束し、唯一の極限です。そうでない場合は発散します。極限がゼロである数列は、ヌル数列と呼ばれることがあります。 ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x_{n})}$

• 
  極限に収束するシーケンスの例${\displaystyle a}$
• 
  どちらであっても、インデックス が存在するため、シーケンスはその後完全にイプシロン チューブ 内に配置されます。${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N_{0}}$${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}$
• 
  より小さいインデックスもあるため、シーケンスはその後イプシロン チューブ内にあります。${\displaystyle \varepsilon _{1}>0}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})}$
• 
  それぞれについて、イプシロン チューブの外側には有限個のシーケンス メンバーしかありません。${\displaystyle \varepsilon >0}$

実数列の極限のその他の重要な特性には次のものがあります。

• 存在する場合、シーケンスの極限は一意です。^[5]
• 数列の極限は、通常の算術演算に関して適切に動作します。と が存在する場合、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}}$提供^[5]${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}}$

• 任意の連続関数 に対して、 が存在する場合、も存在します。実際、任意の実数値関数は、数列の極限を保存する場合のみ連続です (ただし、より一般的な連続性の概念を使用する場合、これは必ずしも真ではありません)。${\textstyle f}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)}$ ${\textstyle f}$

• すべての に対してがある より大きい場合、 となります。${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• (スクイーズ定理)任意の に対してがより大きく、 である場合、 となります。${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$
• (単調収束定理)が有界であり、ある より大きいすべての に対して単調である場合、 は収束します。${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$
• シーケンスが収束するのは、すべてのサブシーケンスが収束する場合のみです。
• シーケンスのすべてのサブシーケンスに、同じ点に収束する独自のサブシーケンスがある場合、元のシーケンスはその点に収束します。

これらの特性は、面倒な正式な定義を直接使用することなく、限界を証明するために広く使用されています。たとえば、 が証明されると、上記の性質を使用して、 であることが簡単に示されます( と仮定)。 ${\displaystyle 1/n\to 0}$${\displaystyle {\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}}$${\displaystyle b\neq 0}$

数列は無限大に向かうと言われ、次のように書かれる。 ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle x_{n}\to \infty }$、 または

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$、

次の条件が満たされる場合:

あらゆる実数 に対して、あらゆる自然数 に対して となる自然数 が存在します。つまり、数列の項は最終的には任意の固定された よりも大きくなります。${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x_{n}>K}$${\displaystyle K}$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}>K\right)\right)\right)}$。

同様に、数列が負の無限大に向かうと言い、

${\displaystyle x_{n}\to -\infty }$、 または

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty }$、

次の条件が満たされる場合:

あらゆる実数 に対して、あらゆる自然数 に対して となる自然数 が存在します。つまり、数列の項は最終的には任意の固定された よりも小さくなります。${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x_{n}<K}$${\displaystyle K}$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}<K\right)\right)\right)}$。

数列が無限大またはマイナスの無限大に向かう場合、それは発散します。ただし、発散数列はプラスまたはマイナスの無限大に向かう必要はなく、数列はその一例です。 ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$

距離空間の点がシーケンスの極限となるのは、次の場合です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

それぞれの実数 に対して、となる自然数が存在し、あらゆる自然数 に対して、 が成り立ちます。${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle d(x_{n},x)<\varepsilon }$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies d(x_{n},x)<\varepsilon \right)\right)\right)}$。

これは、およびのときの実数の定義と一致します。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

• シーケンスの限界が存在する場合、異なるポイントが何らかの正の距離で分離されるため、シーケンスの限界は一意であり、この距離の半分未満では、シーケンス項は両方のポイントの距離内に存在することはできません。${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

• 任意の連続関数 fに対して、が存在する場合、 となります。実際、関数fが連続となるのは、数列の極限が保存される場合のみです。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)}$

コーシー列は、十分な数の初期項が破棄された後、項が最終的に任意に近くなる列です。コーシー列の概念は、距離空間内の列の研究、特に実解析において重要です。実解析における特に重要な結果の 1 つは、列の収束に関するコーシー基準です。実数列は、コーシー列である場合に限り収束します。これは、他の完全な距離空間でも当てはまります。

位相空間の点は${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle (X,\tau )}$制限またはシーケンスの極限点^[7][8]の場合: ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

の任意の近傍 に対して、任意の に対して となるようなものが存在する。^[9]${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x_{n}\in U}$

これは、 が距離空間であり、が によって生成される位相である場合に、距離空間に与えられた定義と一致します。 ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle d}$

位相空間内の点列の極限は、関数の極限の特殊なケースです。定義域は空間 にあり、アフィン拡張された実数系の誘導位相により、値域は、関数の引数は に近づき、この空間ではの極限点となります。 ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

ハウスドルフ空間では、数列 の極限は存在する場合は必ず一意です。ただし、非ハウスドルフ空間ではそうである必要はありません。特に、2 つの点と が位相的に区別できない場合、 に収束する数列は必ず に収束し、その逆も同様です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

超実数を用いた極限の定義は、指数の値が「非常に大きい」場合、対応する項が極限に「非常に近い」という直感を形式化します。より正確には、実数列がLに近づくのは、すべての無限超自然に対して、項がに限りなく近い場合（つまり、差が無限小 の場合）です。同様に、Lは の標準部分です。 ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\textstyle H}$${\displaystyle x_{H}}$${\textstyle L}$${\displaystyle x_{H}-L}$${\displaystyle x_{H}}$

${\displaystyle L={\rm {st}}(x_{H})}$。

したがって、限界は次の式で定義できる。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H})}$。

ここで、右辺が無限大の選択に依存しない場合にのみ、極限が存在します。 ${\textstyle H}$

場合によっては、2 重シーケンス など、複数のインデックスを持つシーケンスも考慮する必要があります。このシーケンスは、 nとm の両方が非常に大きくなり、 に近づくにつれて限界に達します。 ${\displaystyle (x_{n,m})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

• が定数の場合、 となります。${\displaystyle x_{n,m}=c}$${\textstyle c}$${\displaystyle x_{n,m}\to c}$
• もしならば。${\displaystyle x_{n,m}={\frac {1}{n+m}}}$${\displaystyle x_{n,m}\to 0}$
• の場合、極限は存在しません。との相対的な「成長速度」に応じて、この数列はとの間の任意の値に近づく可能性があります。${\displaystyle x_{n,m}={\frac {n}{n+m}}}$${\textstyle n}$${\textstyle m}$${\textstyle 0}$${\textstyle 1}$

数列の二重極限は、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to x}$、 または

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=x}$、

次の条件が満たされる場合:

それぞれの実数 に対して、自然数が存在し、自然数の任意のペアに対して、が成り立つ。^[10]${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle n,m\geq N}$${\displaystyle |x_{n,m}-x|<\varepsilon }$

言い換えれば、あらゆる近さの尺度 に対して、数列の項は最終的にその限界に近くなります。数列は限界に収束する、または限界に向かうと言われています。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle (x_{n,m})}$${\displaystyle x}$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies |x_{n,m}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$。

二重極限は、最初にn の極限をとり、次にm の極限をとることとは異なります。後者は反復極限として知られています。二重極限と反復極限の両方が存在する場合、それらは同じ値を持ちます。ただし、一方が存在し、もう一方が存在しない可能性があります。

数列は無限大に向かうと言われ、次のように書かれる。 ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to \infty }$、 または

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=\infty }$、

次の条件が満たされる場合:

すべての実数 に対して、すべての自然数ペア に対して となる自然数 が存在します。つまり、数列の項は最終的に任意の固定された よりも大きくなります。${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n,m\geq N}$${\displaystyle x_{n,m}>K}$${\displaystyle K}$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}>K\right)\right)\right)}$。

同様に、数列は負の無限大に向かい、 ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to -\infty }$、 または

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=-\infty }$、

次の条件が満たされる場合:

すべての実数 に対して、すべての自然数ペア に対して となる自然数 が存在します。つまり、数列の項は最終的に任意の固定された よりも小さくなります。${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n,m\geq N}$${\displaystyle x_{n,m}<K}$${\displaystyle K}$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}<K\right)\right)\right)}$。

数列が無限大またはマイナスの無限大に向かう場合、それは発散します。ただし、発散数列はプラスまたはマイナスの無限大に向かう必要はなく、数列はその一例です。 ${\displaystyle x_{n,m}=(-1)^{n+m}}$

二重シーケンス の場合、インデックスの1つ、たとえば で極限をとると、単一のシーケンス が得られます。実際、この極限をとるときには2つの意味があります。1つ目は点ごとの極限と呼ばれ、次のように表記されます。 ${\displaystyle (x_{n,m})}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle (y_{m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$、 または

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$、

つまり、

それぞれの実数 とそれぞれの固定された自然数に対して、任意の自然数に対して となる自然数が存在する。^[11]${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle N(\varepsilon ,m)>0}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$。

このような極限が存在する場合、シーケンスはに点ごとに収束すると言います。 ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle (y_{m})}$

2つ目は一様極限と呼ばれ、

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$、

${\displaystyle x_{n,m}\rightrightarrows y_{m}}$、 または

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif} \lim }}\;x_{n,m}=y_{m}}$、

つまり、

それぞれの実数 に対して、任意の自然数と任意の自然数に対して、が成り立つような自然数が存在する。^[11]${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$。

この定義では、 の選択はとは独立しています。言い換えると、 の選択はすべての自然数 に一様に当てはまります。したがって、一様収束は点収束よりも強い性質であることが容易にわかります。一様極限の存在は、点極限の存在と等価性を意味します。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$

均一であれば、点ごとに。${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$

このような極限が存在する場合、シーケンスはに一様収束すると言います。 ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle (y_{m})}$

二重シーケンス の場合、一方のインデックス、つまり に極限を設定して単一のシーケンス を取得し、もう一方のインデックス、つまり に極限を設定して数 を取得します。記号的に、 ${\displaystyle (x_{n,m})}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle (y_{m})}$${\displaystyle m\to \infty }$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}=y}$。

この極限は、二重列の反復極限として知られています。極限を取る順序は結果に影響する可能性があります。つまり、

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}\neq \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }x_{n,m}}$一般的に。

等式の十分条件はムーア・オスグッド定理によって与えられ、この定理は極限が において均一であることを要求する。^[10]${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}}$${\textstyle m}$

• 限界点
• 後続の制限
• 上限を上限とし、下限を下限とする
• 関数の極限
• 集合の列の極限
• ネットの限界
• 点ごとの収束
• 一様収束
• 収束のモード

• チャザール、アコス(1978)。一般的なトポロジ。翻訳はチャザール、クララ。ブリストル イングランド: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011.
• ドゥグンジ、ジェームズ(1966)。トポロジー。ボストン: アリン・アンド・ベーコン。ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• クーラント、リチャード(1961)。「微分積分学 第 1 巻」、Blackie & Son 社、グラスゴー。
• フランク・モーリーとジェームズ・ハークネス『関数論に関する論文』（ニューヨーク：マクミラン、1893年）

• 「限界」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 微積分学の歴史、限界を含む