可算選択公理

可算選択公理または可算選択公理は、AC _ωと表記され、空でない集合のすべての可算な集合は必ず選択関数を持つという集合論の公理です。つまり、任意の に対して が空でない集合となるような定義域(ここで、 は自然数集合を表す)を持つ関数が与えられた場合、任意のに対して となるような定義域を持つ関数が存在します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle A(n)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle f(n)\in A(n)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

AC _{ω は、多くの結果が}実数の集合の可算な集合に対する選択関数を持つことに依存する数学的解析の開発に特に役立ちます。たとえば、集合のすべての集積点が の要素のいくつかのシーケンスの極限であることを証明するには、可算選択公理（の弱い形式）が必要です。任意の距離空間の集積点に対して定式化すると、ステートメントは AC _ωと同等になります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle S\setminus \{x\}}$

可算な選択を用いて解析を行う能力は、選択関数はそれを構成することなく存在するという主張にもかかわらず、_{ACωをいくつかの}構成的数学の公理として取り入れることにつながった。 ^[1]

_{AC ω}の応用例として、すべての無限集合がデデキント無限集合であることの証明（ZF  + AC _ωより）を示す：^[2]

を無限大とする。各自然数 に対して、を の異なる要素のすべての -組の集合とする。は無限大なので、それぞれは空ではない。AC _ωを適用すると、それぞれが -組であるシーケンスが得られる。次に、これらの組を連結して、の要素の単一のシーケンスを作成することができる。このシーケンスには、重複要素が含まれる可能性がある。重複を抑制すると、異なる要素のシーケンスが生成され、ここで ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle c_{n}=b_{k}}$、 と。${\displaystyle k=\min\{i\mid \forall _{j<n}b_{i}\neq c_{j}\}}$

これが存在するのは、選択時に のすべての要素が以前に選択された要素の中にあることは不可能であるためです。したがって には可算集合が含まれます。各 をに写像する（そして の他のすべての要素は固定したままにする）関数は、から への 1 対 1 写像であり、 は上に写像されないため、 がデデキント無限であることが証明されます。^[2]${\displaystyle i}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle B_{n+1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle c_{n+1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

可算選択公理（AC _{ω ）は}従属選択公理（DC）よりも厳密には弱く、 ^{[3]従属選択公理は}選択公理（AC）よりも弱い。 DC 、したがって AC _ωも、 1970年にロバート・M・ソロベイによって完全な選択公理を持たない集合論のモデルとして構築され、実数の集合がすべて測定可能なソロベイモデルで成立する。 ^[4]

ウリゾーンの補題（UL）とティーツェの拡張定理（TET）はZF+AC _ωとは独立である。ULとTETが真となるZF+AC ω モデルと、偽となるZF+AC _ωモデルが存在する。ULとTETは両方ともDCによって暗示される。^[5]

ポール・コーエンは、 AC _{ω は}選択公理なしにはツェルメロ-フランケル集合論(ZF)では証明できないことを示した。 ^[6] しかし、空でない集合の可算無限集合の中には、選択公理を一切使わずに ZF で選択関数を持つことが証明できるものがある。たとえば、は選択関数を持つ。ここで は 遺伝的有限集合の集合、つまりフォン・ノイマン宇宙で非有限階数の最初の集合である。選択関数は (当然のことながら) 整列集合の最小の要素である。別の例としては、有理数端点を持つ実数の 適切かつ有界な開区間の集合がある。${\displaystyle V_{\omega }\setminus \{\emptyset \}}$${\displaystyle V_{\omega }}$

ZF+AC _{ω は}可算な数の可算集合の和集合が可算であることを証明するのに十分である。これらの記述は同等ではない。コーエンの第一モデルは可算集合の可算和集合が可算である例を提供しているが、AC _{ω は}成り立たない。^[7]

可算選択公理には、ZFで他の公理のいずれかを仮定すれば証明できるという意味で、同値な形式が多数存在する。これには以下のものが含まれる: ^{[8] [9]}

• 空でない集合の可算な集合はすべて選択関数を持つ。^[8]
• 空でない集合の無限集合には、選択関数を持つ無限のサブコレクションが存在する。^[8]
• 任意のσコンパクト空間（可算個のコンパクト空間の和集合）はリンデレーフ空間である（任意の開被覆には可算な部分被覆がある）。^[8]距離空間がσコンパクトであるための必要十分条件は、それがリンデレーフであるときである。^[9]
• すべての第二可算空間（開集合の可算基数を持つ）は可分空間（可算稠密部分集合を持つ）である。^[8]距離空間が可分なのは、σコンパクトである場合のみである。^[9]
• 計量空間における連続実数値関数はすべて連続関数である。^[8]
• 距離空間の部分集合のあらゆる集積点は、その部分集合の点の列の極限である。 ^[9]
• ラシオワ・シコルスキーの補題MA はマーティンの公理の可算な形式である。可算連鎖条件を満たす前順序において、稠密な部分集合のすべての可算な族には、すべての部分集合と交差するフィルタが存在する。（この文脈では、前順序のすべての要素がその集合内で下限を持つ場合、その集合は稠密であると言われる。）^[8]${\displaystyle (\aleph _{0})}$

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