音量

音量
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	計量カップは液体の体積を測るのに使えます。このカップはカップ、液量オンス、ミリリットルの単位で体積を測ります。
一般的な記号	五
SI単位	立方メートル
その他のユニット	リットル、液量オンス、ガロン、クォート、パイント、小さじ、液量ドラム、3インチ、3ヤード、バレル
SI基本単位では	メートル3
広範囲にわたる？	はい
集中的な？	いいえ
保存されていますか?	固体と液体の場合ははい、気体とプラズマの場合はいいえ
座標変換における動作;	保存された
寸法	L3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

体積は、 3次元空間の領域の尺度である。^[1]体積は、SI導出単位（立方メートルやリットルなど）や、さまざまな帝国単位や米国慣用単位（ガロン、クォート、立方インチなど）を使用して数値化されることが多い。長さと高さ（立方）の定義は、体積と相互に関連している。容器の体積は、一般的に容器の容量、つまり容器自体が排除する空間の量ではなく、容器が保持できる流体（気体または液体）の量であると理解されている。換喩により、「体積」という用語は、対応する領域（境界体積など）を指すために使用されることがある。^[2]^[3]

古代では、体積は似たような形の自然の容器を使って測定されていました。後に、標準化された容器が使用されるようになりました。いくつかの単純な3 次元形状は、算術式を使用して体積を簡単に計算できます。より複雑な形状の体積は、形状の境界に公式が存在する場合は積分法で計算できます。0次元、1 次元、2 次元のオブジェクトには体積がありません。4次元以上では、通常の体積に類似した概念がハイパーボリュームです。

歴史

古代史

古代における体積測定の精度は、通常10～50 mL（0.3～2米液量オンス、0.4～2英液量オンス）の範囲でした。^[4]^{: 8}体積計算の最古の証拠は、古代エジプトとメソポタミアで、直方体、円柱、錐台、円錐などの単純な形状の体積を概算する数学の問題として見られました。これらの数学の問題は、モスクワ数学パピルス（紀元前1820年頃）に書かれています。 ^[5]^{: 403}古代エジプト人は、ライスナー・パピルスで、穀物や液体の具体的な体積の単位と、材料のブロックの長さ、幅、深さ、体積の表を書きました。^[4]^{: 116}エジプト人は長さの単位（キュビト、パーム、デジット）を使って体積の単位を考案した。例えば、体積キュビト^[4]^{: 117}またはデニ^[5]^{: 396}（1キュビト×1キュビト×1キュビト）、体積パーム（1キュビト×1キュビト×1パーム）、体積デジット（1キュビト×1キュビト×1デジット）などである。^[4]^{: 117}

ユークリッドの原論の最後の3冊は紀元前300年頃に書かれ、平行六面体、円錐、角錐、円柱、球の体積を計算する正確な公式を詳述している。この公式は、図形をより小さく単純な部分に分割する原始的な積分形式を使用して、以前の数学者によって決定された。 ^[5]^{: 403} 1世紀後、アルキメデス（紀元前 287年頃-212年）は、類似した図形から以前に知られている公式から解を導き出すことを意味する、枯渇法アプローチを使用して、いくつかの図形のおおよその体積公式を考案した。図形の原始的な積分は、紀元3世紀の劉徽、紀元5世紀の祖崇志、中東とインドによっても独立して発見された。^[5]^{: 404}

アルキメデスはまた、不規則な物体を水中に沈め、最初と最後の水の量の差を測定することで、その物体の体積を計算する方法を考案しました。水の量の差が物体の体積です。^[5]^{: 404}非常に普及しているにもかかわらず、アルキメデスは、極度の精度を必要とするため、金の王冠を水中に沈めてその体積、ひいては密度と純度を調べたわけではないと思われます。^{[6]代わりに、彼はおそらく原始的な形の静}水圧天秤を考案したのでしょう。ここでは、王冠と同様の重さの純金の塊を、水中に沈めた秤の両端に置くと、アルキメデスの原理により、それに応じて秤が傾きます。^[7]

微積分と単位の標準化

中世には、セスター、アンバー、クーム、シームなど、体積を測る単位が数多く作られました。このような単位の膨大な量が、英国王に単位の標準化を促し、1258年にイングランド王ヘンリー3世によって制定されたパンとビールのサイズ法で頂点に達しました。この法律は、重さ、長さ、体積を標準化したほか、ペニー、オンス、ポンド、ガロン、ブッシェルを導入しました。^[4]^{: 73–74} 1618年、ロンドン薬局方（医薬品配合カタログ）は、体積の基本単位としてローマのガロン^[8]またはコンギウス^[9]を採用し、薬剤師の重量単位への換算表を示しました。^[8]この頃、体積測定はより正確になり、不確かさは1〜5mL（0.03〜0.2米液量オンス、0.04〜0.2英液量オンス）に狭まりました。^[4]^{: 8}

17世紀初頭頃、ボナヴェントゥラ・カヴァリエリは現代の積分学の哲学を応用してあらゆる物体の体積を計算した。彼はカヴァリエリの原理を考案した。これは、物体の薄片をどんどん薄くしていくと、得られる体積がより正確になるというものである。この考えはその後、 17世紀と18世紀にピエール・ド・フェルマー、ジョン・ウォリス、アイザック・バロー、ジェームズ・グレゴリー、アイザック・ニュートン、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ、マリア・ガエターナ・アニェージによって拡張され、21世紀でも使用されている現代の積分学を形成した。^[5]^{: 404}

メートル法化と再定義

1795年4月7日、メートル法はフランスの法律で正式に6つの単位で定義された。このうち3つは体積に関係しており、薪の体積を表すステール （1 m ^{3 ）、液体の体積を表す}リットル （1 dm ³）、そして質量を表すグラム（氷が溶ける温度での1立方センチメートルの水の質量として定義される）である。 ^[10] 30年後の1824年には、英ガロンは17 °C（62 °F）で10ポンドの水が占める体積と定義された。 ^[5]^{: 394}この定義は、1985年のイギリスの度量衡法までさらに精緻化され、1英ガロンは水を使わない場合の4.54609リットルに正確に等しいとされた。^[11]

1960年に国際メートル原器からクリプトン86原子の橙赤色の輝線にメートルが再定義されたことで、メートル、立方メートル、リットルが物理的な物体から解放された。これにより、メートルとメートル由来の体積単位は、国際メートル原器の変更に対しても耐性を持つようになった。^[12]メートルの定義は、1983年に光の速度と秒（セシウム基準に由来）を使用するように再定義され、2019年に明確化のために言い換えられた。^[13]

プロパティ

ユークリッド三次元空間の尺度としての体積は、長さや面積と同様に、物理的に負の値として測定することはできません。すべての連続単調（順序保存）尺度と同様に、物体の体積は互いに比較することができ、したがって順序付けることができます。体積はまた、一緒に加算したり、無限に分解したりすることができます。後者の特性は、カヴァリエリの原理と三次元物体の微小微積分学に不可欠です。 ^[14]積分学における微小体積の「単位」は体積要素です。この定式化は、異なる座標系、空間、多様体で作業する場合に役立ちます。

測定

物体の体積を大まかに測る最も古い方法は、手の大きさやつまみなど、人体を使うことです。しかし、人体のばらつきにより、この方法は極めて信頼性に欠けます。体積を測るより良い方法は、ひょうたん、羊や豚の胃、膀胱など、自然界で見られるほぼ一定で耐久性のある容器を使うことです。その後、冶金学やガラス製造が進歩したため、今日では少量の体積は標準化された人工容器を使って測られるのが普通です。^[5]^{: 393}この方法は、容器の倍数または一部を使って少量の液体や粒状物質を測るのによく使われます。粒状物質の場合は、容器を振ったり水平にしたりして、ほぼ平らな面を作ります。この方法は体積を測る最も正確な方法ではありませんが、調理材料を測るのによく使われます。^[5]^{: 399}

空気置換ピペットは、生物学や生化学において、微視的スケールで液体の体積を測定するのに使用されています。^[15]校正済みの計量カップやスプーンは調理や日常生活の用途には適していますが、実験室では精度が足りません。そこでは、液体の体積はメスシリンダー、ピペット、メスフラスコを使用して測定されます。このような校正済み容器で最大のものは石油貯蔵タンクで、1,000,000 bbl (160,000,000 L) もの液体を収容できるものもあります。 ^[5]^{: 399}このスケールでも、石油の密度と温度がわかっていれば、これらのタンク内で非常に正確な体積測定を行うことができます。^[5]^{: 403}

貯水池のようなさらに大きな容積の場合、容器の容積は形状によってモデル化され、数学を使用して計算されます。^[5]^{: 403}

ユニット

計算を簡単にするために、体積の単位は単位立方体（辺の長さが1）が占める体積に等しい。体積は3次元を占めるため、長さの単位としてメートル（m）を選択した場合、対応する体積の単位は立方メートル（m ³）となる。立方メートルもSI組立単位である。^[16]したがって、体積の単位次元はL ³である。^[17]

メートル法の体積の単位は、厳密に10の累乗のメートル法の接頭辞を使用します。長さの3乗の単位で表された体積の単位に接頭辞を適用する場合、立方演算子は接頭辞を含む長さの単位に適用されます。立方センチメートルを立方メートルに変換する例は次のとおりです。2.3 cm ³ = 2.3 (cm) ³ = 2.3 (0.01 m) ³ = 0.0000023 m ³ (ゼロが5つ)。^[18]^{: 143}

立方体の長さの単位によく使われる接頭辞は、立方ミリメートル (mm ³ )、立方センチメートル (cm ³ )、立方デシメートル (dm ³ )、立方メートル (m ³ )、立方キロメートル (km ³ ) です。接頭辞単位間の変換は、1000 mm ³ = 1 cm ³、1000 cm ³ = 1 dm ³、1000 dm ³ = 1 m ³です。^[1]メートル法には、体積の単位としてリットル(L)も含まれており、1 L = 1 dm ³ = 1000 cm ³ = 0.001 m ³です。^[18]^{: 145}リットルの単位については、ミリリットル（mL）、センチリットル（cL）、リットル（L）が一般的に使用され、1000 mL = 1 L、10 mL = 1 cL、10 cL = 1 dL、10 dL = 1 Lとなります。^[1]

他にも様々な帝国単位や米国慣用単位が使われており、その中には次のようなものがある: ^[5]^{: 396–398}

容量と容積

容量とは、容器が収容できる物質の最大量であり、体積または重量で測定される。ただし、容器の容積が容器の容量に達する必要はなく、その逆も同様である。容器は特定の物理的容積しか収容できず、重量は収容できない（実用上の懸念を除く）。たとえば、7,200 t（15,900,000 lb）の燃料油しか収容できない50,000 bbl（7,900,000 L）のタンクは、ナフサの密度が低く、体積が大きいため、同じ7,200 t（15,900,000 lb）のナフサを収容することはできない。[ 5 ^]^{: 390–391}

計算

基本的な形状

立方体、直方体、円柱などの多くの形状の場合、その体積の計算式は基本的に角柱の場合と同じで、形状の底辺に高さを掛けた値になります。

積分学

体積の計算は積分学の重要な部分である。その 1 つは、平面曲線を同一平面上の直線の周りで回転させることによって回転体の体積を計算することである。ワッシャー積分法またはディスク積分法は、回転軸に平行な軸で積分するときに使用される。一般式は次のように書くことができる。ここで、およびは平面曲線の境界である。^[19]^{: 1, 3}シェル積分法は、回転軸に垂直な軸で積分するときに使用される。方程式は次のように書くことができる。^[19]^{: 6} 3 次元空間の領域Dの体積は、その領域上の定数関数の三重積分または体積積分によって与えられる。これは通常次のように書くことができる。^[20]^{: セクション 14.4} $V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx$ ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle g(x)}$ $V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx$ $f(x,y,z)=1$ $\iiint _{D}1\,dx\,dy\,dz.$

円筒座標では、体積積分は $\iiint _{D}r\,dr\,d\theta \,dz,$

球面座標（方位角をとし、極軸から測定する角度の慣例を使用する。慣例の詳細についてはを参照）では、体積積分は $\theta$ $\varphi$ $\iiint _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .$

幾何学的モデリング

ポリゴンメッシュは、ポリゴンを使用してオブジェクトの表面を表現します。ボリュームメッシュは、ボリュームと表面のプロパティを明示的に定義します。

導出量

密度は物質の単位体積あたりの質量、または総質量を総体積で割ったものである。^[21]
比容積は総体積を質量で割った値、つまり密度の逆数である。^[22]
体積流量または排出量は、単位時間あたりに特定の表面を通過する流体の体積です。
体積熱容量は、物質の熱容量をその体積で割ったものです。

参照

注記

^ 簡潔にするために他の物質の状態を無視し、一定の温度と圧力で

参考文献

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外部リンク

Wikibooks の周囲、面積、体積
Wikibooks の巻

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