言葉のない証明

数学において、言葉を使わない証明（または視覚的証明）とは、説明文を伴わずに図によって自明であると証明できる同一性または数学的命題の図示である。このような証明は、その自明性ゆえに、形式的または数学的に厳密な証明よりも簡潔であると考えられる。 ^[1]図が一般的な命題の特定のケースを示している場合、証明であるためには、一般化可能でなければならない。^[2]

言葉のない証明は、それが示す論理的議論の詳細を省略しているため、数学的な証明と同じではありません。しかし、言葉のない証明は、見る人に真の証明を定式化したり、よりよく理解したりするのに役立つ貴重な直感を与えることができます。

2n −1までのすべての正の奇数の合計が完全な平方数、より具体的には完全な平方数ⁿ²で あるという主張は、言葉を使わない証明によって実証することができる。^[3]

グリッドの 1 つの角では、1 つのブロックが 1 (最初の正方形) を表します。その両側に 3 つのブロック (次の奇数) のストリップを巻き付けると、2 × 2 ブロック (2 番目の正方形 4) が作成されます。さらに 5 つのブロックを追加すると、3 × 3 ブロック (3 番目の正方形 9) が作成されます。このプロセスは無制限に継続できます。

言葉を使わずに証明できるピタゴラスの定理。[ 4 ^]${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

その方法の1つは、 辺 の大きな正方形を視覚化し、その角に 、 の直角三角形を4つ配置して、中央のスペースが の面積の対角正方形になるようにすることです。4つの三角形を大きな正方形内で再配置して、未使用のスペースをとの2つの正方形に分割することができます。^[5]${\displaystyle a+b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c^{2}}$${\displaystyle a^{2}}$${\displaystyle b^{2}}$

ジェンセンの不等式はグラフで証明することもできます。X軸に沿った破線はXの仮想分布であり、 Y軸に沿った破線はY値の対応する分布です。凸写像Y ( X )は、 Xの値が増加するにつれて分布を「引き伸ばし」ます。^[6]

『Mathematics Magazine』と『The College Mathematics Journal』は、「Proof without words」というタイトルの定期特集を組んでおり、タイトルが示す通り、言葉を使わない証明を^{掲載している。 [3]} The Art of Problem SolvingとUSAMTSのウェブサイトでは、言葉を使わない証明を示すJavaアプレットを掲載している。 ^{[7] [8]}

数学コミュニティに受け入れられる証明には、証明しようとしている命題が一連の仮定から完全に必然的に導かれることを論理的に示さなければならない。^[9]言葉のない証明はそのような議論を暗示するかもしれないが、直接議論するわけではないので、形式的な証明が必要な場合にその代わりとなることはできない。^{[10] [11]}むしろ、数学者は言葉のない証明を、すでに形式的に証明されているアイデアの説明や教材として使う。^{[12] [13]}

ウィキメディア・コモンズには、言葉のない証明に関連するメディアがあります。

• ピザ定理 – スライスされた円盤の面積の等しさ
• 数学の哲学
• 証明理論 – 数理論理学の分野
• ビジュアル計算 – ビジュアルな数学的証明