粒状物質

クーロンは、粒状粒子間の内部力を摩擦過程とみなし、固体粒子の摩擦力は粒子間の垂直圧力に比例し、静止摩擦係数は動摩擦係数よりも大きいという摩擦法則を提唱した。彼は砂山の崩壊を研究し、経験的に2つの臨界角、すなわち最大安定角を発見した。$\displaystyle \theta _{m}}$および最小安息角$\displaystyle \theta _{r}}$砂山の傾斜が最大安定角度に達すると、砂山の表面の砂粒子が落下し始めます。表面の傾斜角が安息角と等しくなると、このプロセスは停止します。これら2つの角度の差は、$\displaystyle \Delta \theta =\theta _{m}-\theta _{r}}$はバグノルド角であり、粒状物質のヒステリシスの尺度です。この現象は力鎖によるものです。粒状固体内の応力は均一に分布せず、互いに積み重なった粒子のネットワークであるいわゆる力鎖に沿って伝達されます。これらの鎖の間には低応力領域があり、その粒子はアーチ状やアーチ状になることで、上の粒子の影響から保護されます。せん断応力がある値に達すると、力鎖が切断され、表面にある鎖の端の粒子が滑り始めます。その後、せん断応力が臨界値より小さくなるまで新しい力鎖が形成され、砂山は一定の安息角を維持します。^{[ 7 ]}

1895年、H.A.ヤンセンは、粒子で満たされた垂直円筒において、円筒底部で測定される圧力は充填物の高さに依存しないことを発見した。これは、静水圧に関するステビンの法則に従う静止状態のニュートン流体とは異なる。ヤンセンは、以下の仮定に基づく簡略化されたモデルを提案した。

1. 垂直圧力、$\displaystyle \sigma _{zz}}$は水平面内で一定である。
2. 水平圧力、$\displaystyle \sigma _{rr}}$は垂直圧力に比例する$\displaystyle \sigma _{zz}}$、 どこ${\displaystyle K={\frac {\sigma _{rr}}{\sigma _{zz}}}}$空間的に一定である。
3. 壁面摩擦静係数${\displaystyle \mu ={\frac {\sigma _{rz}}{\sigma _{rr}}}}$壁との接触部で垂直荷重を支える。
4. この物質の密度は、あらゆる深さにおいて一定である。

粒状物質内の圧力は、飽和状態を考慮した別の法則で記述される。

${\displaystyle p(z)=p_{\infty }[1-\exp(-z/\lambda )]}$、

どこ${\displaystyle \lambda ={\frac {R}{2\mu K}}}$そして${\displaystyle R}$は円筒の半径であり、サイロの上部では${\displaystyle z=0}$。

提示された圧力方程式は、粒子サイズとサイロ半径の比などの境界条件を考慮していない。材料の内部応力は測定できないため、ヤンセンの推測は直接的な実験によって検証されていない。

1960年代初頭、エンジニアのピーター・ウォルター・ロウは、せん断試験におけるダイラタンシー効果とせん断強度との関係を研究し、両者の関係を提唱した。

2D における単分散粒子集合体の機械的特性は、典型的な長さを持つ代表基本体積に基づいて分析できます。${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}}$それぞれ垂直方向と水平方向である。システムの幾何学的特性は次のように記述される。${\displaystyle \alpha =\arctan({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}})}$そして変数${\displaystyle \beta }$は、接触点が滑り始めるときの角度を表します。$\displaystyle \sigma _{11}}$垂直方向、つまり主応力の方向、そして$\displaystyle \sigma _{22}}$水平方向、すなわち最小主応力の方向。

すると、境界にかかる応力は、個々の粒子が負担する集中力として表すことができる。均一な応力による二軸荷重下では、$\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}=0}$そのため${\displaystyle F_{12}=F_{21}=0}$。

平衡状態では：

${\displaystyle {\frac {F_{11}}{F_{22}}}={\frac {\sigma _{11}\ell _{2}}{\sigma _{22}\ell _{1}}}=\tan(\theta +\beta )}$、

どこ${\displaystyle \theta }$摩擦角とは、接触力と接触法線方向との間の角度のことです。

${\displaystyle \theta _{\mu }}$これは、接線力が摩擦円錐の範囲内にある場合に粒子が静止状態を保つ角度を表します。摩擦係数によって決まります。${\displaystyle \mu =tg\phi _{u}}$、 それで${\displaystyle \theta \leq \theta _{\mu }}$システムにストレスがかかると、${\displaystyle \theta }$徐々に増加する${\displaystyle \alpha ,\beta }$変更されないままです。${\displaystyle \theta \geq \theta _{\mu }}$すると粒子が滑り始め、その結果、システムの構造が変化し、新たな力の連鎖が生まれる。${\displaystyle \Delta _{1},\Delta _{2}}$水平方向および垂直方向の変位はそれぞれ以下を満たす。

${\displaystyle {\frac {\dot {\Delta _{2}}}{\dot {\Delta _{1}}}}={\frac {{\dot {\varepsilon _{22}}}\ell _{2}}{{\dot {\varepsilon _{11}}}\ell _{1}}}=-\tan \beta }$。

考慮する${\displaystyle N}$粒子、粒子${\displaystyle i}$エネルギーがある${\displaystyle \varepsilon _{i}}$単位時間あたり一定の割合で、ランダムに2つの粒子を選択する。${\displaystyle i,j}$エネルギーと共に${\displaystyle \varepsilon _{i},\varepsilon _{j}}$そして合計を計算する${\displaystyle \varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}}$.次に、2つの粒子間で全エネルギーをランダムに分配します。${\displaystyle z\in \left[0,1\right]}$衝突後の最初の粒子はエネルギーを持つ${\displaystyle z\left(\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}\right)}$、そして2番目${\displaystyle \left(1-z\right)\left(\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}\right)}$。

確率的進化方程式：

${\displaystyle \varepsilon _{i}(t+dt)={\begin{cases}\varepsilon _{i}(t)&probability:\,1-\Gamma dt\\z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)&probability:\,\Gamma dt\end{cases}}}$、

どこ${\displaystyle \Gamma }$衝突率、${\displaystyle z}$ランダムに選ばれます${\displaystyle \left[0,1\right]}$（一様分布）であり、j も一様分布からランダムに選択されたインデックスです。粒子あたりの平均エネルギー：${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \varepsilon (t+dt)\right\rangle &=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot \left\langle z\right\rangle \left(\left\langle \varepsilon _{i}\right\rangle +\left\langle \varepsilon _{j}\right\rangle \right)\\&=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot {\dfrac {1}{2}}\left(\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle \right)\\&=\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle \end{aligned}}}$。

2つ目の瞬間：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \varepsilon ^{2}(t+dt)\right\rangle &=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot \left\langle z^{2}\right\rangle \left\langle \varepsilon _{i}^{2}+2\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}+\varepsilon _{j}^{2}\right\rangle \\&=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot {\dfrac {1}{3}}\left(2\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +2\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle ^{2}\right)\end{aligned}}}$。

次に、2次モーメントの時間微分を考えます。

${\displaystyle {\dfrac {d\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle }{dt}}=lim_{dt\rightarrow 0}{\dfrac {\left\langle \varepsilon ^{2}(t+dt)\right\rangle -\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle }{dt}}=-{\dfrac {\Gamma }{3}}\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle +{\dfrac {2\Gamma }{3}}\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}}$。

定常状態では：

${\displaystyle {\dfrac {d\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle }{dt}}=0\Rightarrow \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =2\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}}$。

2次モーメントに関する微分方程式を解く：

${\displaystyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle -2\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}=\left(\left\langle \varepsilon ^{2}(0)\right\rangle -2\left\langle \varepsilon (0)\right\rangle ^{2}\right)e^{-{\frac {\Gamma }{3}}t}}$。

しかし、モーメントを特徴付ける代わりに、モーメント生成関数からエネルギー分布を解析的に解くことができます。ラプラス変換を考えてみましょう。${\displaystyle g(\lambda )=\left\langle e^{-\lambda \varepsilon }\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon }$、

どこ${\displaystyle g(0)=1}$、 そして${\displaystyle {\dfrac {dg}{d\lambda }}=-\int _{0}^{\infty }\varepsilon e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon =-\left\langle \varepsilon \right\rangle }$。

n階微分：

${\displaystyle {\dfrac {d^{n}g}{d\lambda ^{n}}}=\left(-1\right)^{n}\int _{0}^{\infty }\varepsilon ^{n}e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon =\left\langle \varepsilon ^{n}\right\rangle }$、

今：

${\displaystyle e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t+dt)}={\begin{cases}e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t)}&1-\Gamma t\\e^{-\lambda z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)}&\Gamma t\end{cases}}}$

${\displaystyle \left\langle e^{-\lambda \varepsilon \left(t+dt\right)}\right\rangle =\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t)}\right\rangle +\Gamma dt\left\langle e^{-\lambda z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)}\right\rangle }$

${\displaystyle g\left(\lambda ,t+dt\right)=\left(1-\Gamma dt\right)g\left(\lambda ,t\right)+\Gamma dt\int _{0}^{1}{\underset {=g^{2}(\lambda z,t)}{\underbrace {\left\langle e^{-\lambda z\varepsilon _{i}(t)}\right\rangle \left\langle e^{-\lambda z\varepsilon _{j}(t)}\right\rangle } }}dz}$。

解決する${\displaystyle g(\lambda )}$変数変換${\displaystyle \delta =\lambda z}$:

${\displaystyle \lambda g(\lambda )=\int _{0}^{\lambda }g^{2}(\delta )d\delta \Rightarrow \lambda g'(\lambda )+g(\lambda )=g^{2}(\lambda )\Rightarrow g(\lambda )={\dfrac {1}{\lambda T+1}}}$。

私たちはそれを証明します${\displaystyle \rho (\varepsilon )={\dfrac {1}{T}}e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}}$（ボルツマン分布）のラプラス変換を行い、生成関数を計算する。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {1}{T}}e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}\cdot e^{-\lambda \varepsilon }d\varepsilon ={\dfrac {1}{T}}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)\varepsilon }d\varepsilon =-{\dfrac {1}{T\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)}}e^{-\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)\varepsilon }|_{0}^{\infty }={\dfrac {1}{\lambda T+1}}=g(\lambda )}$。

「スクイークビーチ」という名の通り、歩くとキーキーと音を立てる砂浜もあります。砂漠の砂丘の中には、雪崩が発生したり、表面が何らかの形で乱されたりすると、轟音を発するものも知られています。サイロから排出される粒状物質は、 「サイロホーン」と呼ばれる現象で大きな音を発します。