静水圧平衡

流体力学において、静水力平衡（せいすいりょうてん、hydrostatic ）とは、流体または塑性 固体が静止している状態であり、重力などの外力が圧力勾配力によって釣り合っているときに生じる。^[1]地球の惑星物理学では、圧力勾配力は重力によって惑星の大気が薄くて密度の高い殻に崩壊するのを防ぎ、一方で重力によって圧力勾配力が大気を宇宙空間に拡散するのを防ぐ。^{[2] [3]}一般的に、これが宇宙の物体が球形になる原因である。

静水圧平衡は、準惑星と太陽系の小天体とを区別する基準であり、天体物理学と惑星地質学における特徴である。この平衡の要件は、主に自転により、物体の形状が対称的に丸みを帯びて楕円体になり、不規則な表面特徴は比較的薄い固体地殻の結果であることを示す。太陽に加えて、太陽系には平衡物体が存在することが確認されているものが12個ほどある。

地球上の静水圧流体の場合: $${\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}$$

ニュートンの運動の法則によれば、運動していない、または一定速度の状態にある流体の体積には、正味の力がゼロでなければならないとされています。つまり、特定の方向の力の合計は、反対方向の等しい力の合計によって阻止されなければならないということです。この力のバランスは、静水圧平衡と呼ばれます。

流体は多数の直方体の体積要素に分割することができ、単一の要素を考慮することで流体の作用を導き出すことができます。

3つの力があります。直方体の上部に作用する下向きの力は、圧力の定義から、その上にある流体の圧力Pから、同様 に、下にある流体の圧力から体積要素に作用する上向きの力は、 $${\displaystyle F_{\text{top}}=-P_{\text{top}}A}$$$${\displaystyle F_{\text{bottom}}=P_{\text{bottom}}A}$$

最後に、体積要素の重さによって下向きの力が生まれます。密度がρ、体積がV、標準重力がgの場合、次の式が成り立ちます。 この直方体の体積は、上面または底面の面積に高さを掛けたものに等しくなります。これが、立方体の体積を求める公式です。 $${\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gV}$$$${\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gAh}$$

これらの力をバランスさせることで、流体にかかる力の合計は、 流体の速度が一定であれば、この合計はゼロになります。A で割ると、 つまり、 P _top − P _{bottom は}圧力の変化、h は体積要素の高さ、つまり地面からの距離の変化です。これらの変化は極めて小さいため、方程式は微分形式 で表すことができます。 密度は圧力によって変化し、重力は高さによって変化するため、方程式は次のようになります。 $${\displaystyle \sum F=F_{\text{bottom}}+F_{\text{top}}+F_{\text{weight}}=P_{\text{bottom}}A-P_{\text{top}}A-\rho gAh}$$$${\displaystyle 0=P_{\text{bottom}}-P_{\text{top}}-\rho gh}$$$${\displaystyle P_{\text{top}}-P_{\text{bottom}}=-\rho gh}$$ $${\displaystyle dP=-\rho g\,dh}$$$${\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}$$

最後に、この最後の方程式は、次の平衡状態について 3 次元ナビエ-ストークス方程式を解くことによって導出できることに注目してください 。この場合、唯一の非自明な方程式は-方程式であり、次のようになります。 したがって、静水力バランスは、ナビエ-ストークス方程式の特に単純な平衡解と見なすことができます。 $${\displaystyle u=v={\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial y}}=0}$$${\displaystyle z}$$${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g=0}$$

完全流体のエネルギー運動量テンソルをアインシュタイン場の方程式 に代入し 、保存条件を使用すること で、等方座標における静的で球対称な相対論的星の構造に対する トールマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ方程式 を導くことができます。 実際には、Ρとρ は、 f ( Ρ , ρ ) = 0という形式の状態方程式によって関連付けられており、f は星の構成に固有です。M ( r ) は、質量密度ρ ( r )によって重み付けされた球の葉脈構造で、最大の球の半径はrです。 非相対論的極限をとる標準的な手順により、c → ∞とすると、因子 したがって 、非相対論的極限では、トールマン-オッペンハイマー-ヴォルコフ方程式はニュートンの静水力平衡に簡約されます。 （自明な表記法の変更h  =  r を行い、 f ( Ρ、ρ ) = 0を使用してρ をPに関して表しました）。^[4]回転する軸対称の星についても同様の方程式を計算することができ、ゲージに依存しない形式で 次のように読み取れます。TOV 平衡方程式とは異なり、これらは 2 つの方程式です（たとえば、星を扱うときに通常どおり球座標を基底座標 として選択すると、インデックスi は座標rとに対して実行されます）。 $${\displaystyle T^{\mu \nu }=\left(\rho c^{2}+P\right)u^{\mu }u^{\nu }+Pg^{\mu \nu }}$$ $${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)}$$$${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$$$${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}}$$$${\displaystyle M(r)=4\pi \int _{0}^{r}dr'\,r'^{2}\rho (r').}$$$${\displaystyle \left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}\rightarrow 1}$$$${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}=-g(r)\,\rho (r)\longrightarrow dP=-\rho (h)\,g(h)\,dh}$$$${\displaystyle {\frac {\partial _{i}P}{P+\rho }}-\partial _{i}\ln u^{t}+u_{t}u^{\varphi }\partial _{i}{\frac {u_{\varphi }}{u_{t}}}=0}$$${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle \theta }$

静水圧平衡は、流体静力学と流体の平衡の原理に関係します。静水圧天秤は、水中の物質の重量を量るための特別な天秤です。静水圧天秤により、物質の比重を知ることができます。この平衡は、理想的な流体が安定した水平層流にある場合、および流体が静止しているか一定速度で垂直方向に動いている場合に厳密に適用できます。また、流速が十分に低く、加速が無視できる場合、この平衡は十分な近似値になります。

アイザック・ニュートンの時代から、宇宙で流体が回転するときに達成される平衡に関する研究が盛んに行われてきました。これは、過去に流体であったか、非常に高い応力を受けると固体が流体のように変形する可能性のある恒星と惑星などの物体の両方に適用されます。恒星の任意の層では、外向きに押す圧力勾配と、その上にある物質の重さによる内向きの押圧との間に静水圧平衡が存在します。静水圧平衡の仮定の下で惑星を研究することもできます。静水圧平衡にある回転する恒星または惑星は通常、扁平な回転楕円体、つまり主軸のうち 2 つが等しく、3 つ目の軸よりも長い楕円体です。この現象の例は、自転周期が 12.5 時間の恒星ベガです。したがって、ベガは極から極までよりも赤道で約 20% 大きくなります。

ニュートンは1687年の著書『自然哲学の数学的原理』で、重力の影響下にある均一な密度の回転流体は回転楕円体の形をとり、重力（遠心力の影響を含む）は赤道では極よりも弱くなり、その量は（少な​​くとも漸近的には）赤道での遠心力の4分の5に等しいと正しく述べています。^[5] 1742年、コリン・マクローリンはフラクションに関する論文を発表し、回転楕円体が正確な解であることを示しました。赤道半径を で極半径を で、離心率を で表すと、${\displaystyle r_{e},}$${\displaystyle r_{p},}$${\displaystyle \epsilon ,}$

${\displaystyle \epsilon ={\sqrt {1-r_{p}^{2}/r_{e}^{2}}},}$

彼は極地の重力が^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{p}&=4\pi {\frac {r_{p}}{r_{e}}}{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}}}G\rho \\&=3{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

ここで は重力定数、は（均一な）密度、 は総質量です。流体が回転していない場合、この比と重力 の比は、${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle M}$${\displaystyle g_{0},}$

${\displaystyle g_{p}/g_{0}\sim 1+{\frac {1}{15}}\epsilon ^{2}\sim 1+{\frac {2}{15}}f}$

がゼロになると、平坦化は次のようになります。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f={\frac {r_{e}-r_{p}}{r_{e}}}.}$

赤道上の重力（遠心力を除く）は

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{e}&={\frac {3}{2}}\left({\frac {1}{r_{e}r_{p}}}-{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{2}r_{p}}}\right)GM\\&={\frac {3}{2}}{\frac {r_{e}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})-\epsilon r_{p}}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

漸近的に次のようになります。

${\displaystyle g_{e}/g_{0}\sim 1-{\frac {1}{30}}\epsilon ^{2}\sim 1-{\frac {1}{15}}f}$

マクローリンは（やはり均一な密度の場合）回転軸に向かう重力成分は軸からの距離のみに依存し、その距離に比例し、赤道面に向かう方向の成分は赤道面からの距離のみに依存し、その距離に比例することを示した。ニュートンは、極から赤道または中心に向かうチャネルの底で同じ圧力を持つためには、赤道上で感じる重力（遠心力による軽量化を含む）が必要であることをすでに指摘していたため、赤道での遠心力は ${\displaystyle {\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}}$

${\displaystyle g_{e}-{\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}\sim {\frac {2}{5}}\epsilon ^{2}g_{e}\sim {\frac {4}{5}}fg_{e}.}$

緯度を子午線と回転軸の接線の間の角度と定義すると、緯度で感じる総重力（遠心力の影響を含む）は ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle g(\phi )={\frac {g_{p}(1-f)}{\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi }}}.}$

この回転楕円体の解は、ある（臨界）角運動量（ で正規化）までは安定しているが、1834年にカール・ヤコビは、離心率が0.81267（または0.3302）に達すると不安定になることを示した。臨界値を超えると、解はヤコビ楕円体、または不等辺楕円体（3つの軸がすべて異なるもの）になる。アンリ・ポアンカレは1885年に、さらに高い角運動量では楕円体ではなく梨状または卵形になることを発見した。対称性は、8回対称のD _2h点群から、軸が回転軸に垂直な4回対称のC _{2vに低下する。} ^{[7]他の形状は、それを超えると方程式を満たしますが、少なくとも}分岐点 の近くでは安定しません。^{[7] [8]}ポアンカレは、角運動量が大きくなると何が起こるか確信が持てなかったが、最終的には塊が2つに分裂すると結論付けた。 ${\displaystyle M{\sqrt {G\rho r_{e}}}}$${\displaystyle f}$

均一密度の仮定は、溶融惑星や岩石惑星には多かれ少なかれ当てはまるかもしれないが、恒星や、高密度の金属核を持つ地球のような惑星には当てはまらない。1737年、アレクシス・クレローは、密度が深さによって変化するケースを研究した。^[9] クレローの定理は、重力の変化（遠心力を含む）は緯度の正弦の2乗に比例し、比例性は扁平率（ ）と赤道における遠心力と重力の比に線形に依存すると述べている。（均一密度の場合の上記の正確な関係と比較してください。）クレローの定理は、後にピエール・シモン・ラプラスによって発見された、形状と重力の変化の関係の、扁平回転楕円体に関する特別なケースである。 ^[10]${\displaystyle f}$

恒星の近くに巨大な伴星がある場合、潮汐力も作用し、自転のみでは回転楕円体になるは​​ずの恒星が不等辺形状に変形します。この例として、こと座ベータ星が挙げられます。

静水力平衡は銀河団内物質にとっても重要であり、銀河団の中心核に存在できる流体の量を制限します。

静水力平衡の原理を使用して、銀河団内の暗黒物質の速度分散を推定することもできます。バリオン物質（または、その衝突）のみがX 線放射を放射します。単位体積あたりの絶対 X 線輝度は、次の形式になります。ここで、 と はバリオン物質の温度と密度であり、 は温度と基本定数の関数です。バリオン密度は、上記の式を満たします。 積分は銀河団の総質量の尺度であり、 は銀河団の中心までの適切な距離です。理想気体の法則（はボルツマン定数、はバリオン気体粒子の特性質量）を 用いて整理すると、次の式が得られる。 を 乗じて について微分すると、次の式が得 られる 。 冷たい暗黒物質粒子が等方的な速度分布を持つと仮定すると、同じ導出がこれらの粒子に適用され、その密度は非線形微分方程式を満たす。 完全なX線データと距離データがあれば、クラスター内の各ポイントでのバリオン密度、つまり暗黒物質密度を計算できる。 次に、暗黒物質の速度分散を計算することができ、これは次のように与えられる 。 中心密度比はクラスターの 赤方偏移に依存し、次のように与えられる。 ここで、 はクラスターの角度幅、 はクラスターまでの適切な距離である。 比率の値は、さまざまな調査で0.11～0.14の範囲である。^[11]${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=\Lambda (T_{B})\rho _{B}^{2}}$${\displaystyle T_{B}}$${\displaystyle \rho _{B}}$${\displaystyle \Lambda (T)}$${\displaystyle dP=-\rho g\,dr}$ $${\displaystyle p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p_{B}=kT_{B}\rho _{B}/m_{B}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m_{B}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)=-{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$${\displaystyle r^{2}/\rho _{B}(r)}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{B}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$${\displaystyle \rho _{D}=\rho _{M}-\rho _{B}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{D}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{D}(r)\rho _{D}(r)}{m_{D}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$${\displaystyle \sigma _{D}^{2}}$$${\displaystyle \sigma _{D}^{2}={\frac {kT_{D}}{m_{D}}}.}$$${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)}$ ${\displaystyle z}$$${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)\propto (1+z)^{2}\left({\frac {\theta }{s}}\right)^{3/2}}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle s}$

静水力平衡の概念は、天体が惑星、準惑星、または太陽系小天体であるかどうかを判断する際にも重要になっている。国際天文学連合が2006年に採用した惑星の定義によると、惑星と準惑星の決定的な特徴の1つは、自身の剛性を克服し静水力平衡をとるのに十分な重力を持つ物体であるということである。このような天体は、多くの場合、世界（惑星）の分化した内部と地質を備えているが、原始惑星4ベスタなどの近静水力天体または以前は静水力天体であった天体も分化している可能性があり、一部の静水力天体（特にカリスト）は形成以来完全に分化していない。平衡形状は、地球の場合のように扁平な回転楕円体であることが多い。ただし、同期軌道にある衛星の場合は、ほぼ一方向の潮汐力によって不等辺楕円体が形成される。また、準惑星とされるハウメアは、自転速度が速いため不等辺惑星であるが、現在は平衡状態ではない可能性がある。

氷の物体は、これまで岩石の物体よりも静水圧平衡に達するのに必要な質量が少ないと考えられていた。平衡形状をしているように見える最小の物体は、396 kmの氷衛星ミマスである。一方、明らかに非平衡形状であることが知られている最大の氷の物体は、420 ​​kmの氷衛星プロテウスである。また、明らかに非平衡形状をしている最大の岩石の物体は、約520 kmの小惑星パラスとベスタである。しかし、ミマスは、現在の自転では実際には静水圧平衡状態ではない。静水圧平衡状態にあることが確認されている最小の物体は、945 kmの氷の準惑星ケレスである。一方、静水圧平衡から著しく逸脱している最大の物体は、ほとんどが浸透性の氷でできており、岩石がほとんどないイアペトゥスである。 ^[12]イアペトゥスは1,469 kmで、球形でも楕円形でもない。むしろ、独特の赤道尾根のため、奇妙なクルミのような形をしています。^[13]一部の氷天体は、少なくとも部分的には地下の海によって平衡状態にある可能性がありますが、これはIAUが使用する平衡の定義（重力が内部の剛体力に打ち勝つ）ではありません。楕円体であっても、より大きな天体は静水力平衡から外れます。例としては、地球の月は3,474 km（ほとんどが岩石）、^[14]や水星は4,880 km（ほとんどが金属）です。^[15]

2024年、キスらは、クワオアーが現在の自転では静水圧平衡と相容れない楕円形をしていることを突き止めた。彼らは、クワオアーはもともと高速で自転しており静水圧平衡にあったが、衛星ウェイウォットの潮汐力により自転しながら形状が「固定」され変化しなかったと仮説を立てた。^[16]もしそうなら、これは現在の自転では扁平すぎるイアペトゥスの状況に似ているだろう。^{[17] [18]}それでもイアペトゥスは一般には依然として惑星質量の衛星と考えられているが、^[19]常にそうであるとは限らない。^[20]

固体の表面は不規則ですが、局所的な不規則性は地球全体の平衡と一致する場合があります。たとえば、地球上で最も高い山であるマウナ ケアの巨大な基底部は変形して周囲の地殻の高さを下げており、そのため全体的な質量分布は平衡に近づいています。

大気圏では、高度が上がるにつれて気圧が低下します。この圧力差により、圧力傾度力と呼ばれる上向きの力が生じます。重力の力によってこの力がバランスされ、大気圏は地球に縛られ、高度による圧力差が維持されます。

• 太陽系の重力によって丸みを帯びた天体の一覧。自身の重力によって丸みを帯びた楕円形をしている天体の一覧（ただし、静水圧平衡にあるとは限らない）
• 静力学
• 2つの風船を使った実験

• ストロベル、ニック。(2001 年 5 月) ニック ストロベルの天文学ノート。
• オハイオ州立大学天文学部のリチャード・ポッゲによるYouTubeでのデモンストレーション