エンリケス表面

数学において、 エンリケス曲面は、不規則性q = 0 で標準直線束Kが非自明であるが自明な平方を持つような代数曲面である。エンリケス曲面はすべて射影的 (したがって複素数上のケーラー曲面) で、種数0の楕円曲面である。標数が2 でない体上では、それらは不動点なしに作用する位数2の群によるK3 曲面の商であり、その理論は代数 K3 曲面の理論に似ている。エンリケス曲面は、q = p _g = 0 の曲面が必ず有理曲面であるかどうかという Castelnuovo (1895) によって議論された質問に対する答えとして、Enriques (1896) によって初めて詳細に研究されたが、それ以前にReye (1882)によって導入された Reye 合同のいくつか もエンリケス曲面の例である。

エンリケス面は他の体上でも定義できます。特性数が 2 以外の体上では、アルティン (1960) は理論が複素数上の理論に似ていることを示しまし た。特性数が 2 の体上では定義が変更され、ボンビエリとマンフォード (1976) によって記述された特異エンリケス面と超特異エンリケス面と呼ばれる 2 つの新しい族が存在します。これら 2 つの追加族は、特性数が 2 の 2 つの非離散代数群スキームに関連しています。

多種族 P _{n は}、 nが偶数の場合には 1 になり、 nが奇数の場合には 0 になる。基本群の位数は 2 である。第 2 コホモロジー群 H ² ( X , Z )は、次元が 10 で符号が -8 である唯一の偶ユニモジュラー格子II _1,9と位数が 2 の群の和に同型である。

ホッジダイヤモンド:

マークされたエンリケス面は連結された 10 次元族を形成し、近藤 (1994) はそれが有理数であることを示した。

特性 2 には、準エンリケス面、非古典的エンリケス面、または(超) 特異エンリケス面と呼ばれることもある、いくつかの新しいエンリケス面の族があります。(「特異」という用語は、面が特異点を持つことを意味するのではなく、面が何らかの点で「特別」であることを意味します。) 特性 2 では、エンリケス面の定義が変更されています。つまり、標準クラスKが数値的に 0 に等しく、第 2ベッティ数が 10 である極小面として定義されます。(特性 2 以外の場合、これは通常の定義に等しくなります。) 現在、エンリケス面の族は 3 つあります。

• 古典的: dim(H ¹ (O)) = 0。これは 2 K = 0 を意味しますが、Kはゼロではなく、 Pic ^τはZ /2 Zです。表面は、縮小された特異ゴレンシュタイン表面をグループスキーム μ ₂で商したものです。
• 特異: dim(H ¹ (O)) = 1 であり、フロベニウス自己準同型によって非自明に作用します。これはK = 0 を意味し、Pic ^τは μ ₂です。曲面は、グループスキーム Z/2Z による K3 曲面の商です。
• 超特異: dim(H ¹ (O)) = 1 であり、フロベニウス自己準同型によって自明に作用します。これはK = 0 を意味し、 Pic ^{τは α} ₂です。曲面は、縮小された特異ゴレンシュタイン曲面をグループスキーム α ₂で割った商です。

すべてのエンリケス面は楕円形または準楕円形です。

• ライ合同は、 P ³の 3 次元線形二次曲面システムの少なくとも 2 つの二次曲面に含まれる直線の族です。線形システムが汎用である場合、ライ合同はエンリケス面です。これらはライ (1882) によって発見され、エンリケス面の最も古い例である可能性があります。
• 3次元射影空間で、四面体の辺に沿って二重線が引かれた6次の面を考えます。

${\displaystyle w^{2}x^{2}y^{2}+w^{2}x^{2}z^{2}+w^{2}y^{2}z^{2} +x^{2}y^{2}z^{2}+wxyzQ(w,x,y,z)=0}$

2次の一般的な同次多項式 Qに対して、その正規化はエンリケス面になります。これは、エンリケス(1896)によって発見された例の族です。

• K3 曲面を不動点フリー反転で割った商はエンリケス曲面であり、特性 2 以外のすべてのエンリケス曲面はこのようにして構成できます。たとえば、Sが K3 曲面w ⁴ + x ⁴ + y ⁴ + z ⁴ = 0 で、T が( w , x , y , z ) を ( w , ix ,– y ,– iz ​​) とする4 次自己同型である場合、T ²には 8 つの不動点があります。これらの 8 つの点を分解し、T ²で商を取ると、不動点フリー反転Tを持つ K3 曲面が得られ、これをTで割った商がエンリケス曲面です。あるいは、元の曲面を 4 次自己同型Tで割った商の 8 つの特異点を解決して、エンリケス曲面を構成することもできます。もう 1 つの例は、形式P _i ( u , v , w ) + Q _i ( x , y , z ) = 0 の 3 つの二次曲線の交差を取り、( u : v : w : x : y : z ) から (– x :– y :– z : u : v : w ) への反転によって商を取ることによって与えられます。一般的な二次曲線の場合、この反転はK3 曲面の固定小数点のない反転であるため、商はエンリケス曲面になります。

• 代数曲面のリスト
• エンリケス – 小平分類
• 超特異多様体

• アルティン、マイケル(1960)、「エンリケス面について」、博士論文、ハーバード大学
• Compact Complex Surfaces (Wolf P. Barth、Klaus Hulek、Chris AM Peters、Antonius Van de Ven 著) ISBN 3-540-00832-2これはコンパクト複素表面の標準的な参考書です。 
• ボンビエリ、エンリコ、マンフォード、デイビッド(1976)、「エンリケスの曲面の分類、第 III 章」(PDF)、Inventiones Mathematicae、35 (1): 197–232、Bibcode :1976InMat..35..197B、doi :10.1007/BF01390138、ISSN  0020-9910、MR  0491720、S2CID  122816845
• Castelnuovo、G. (1895)、「Sulle superficie digenere zero」、Mem。デッレ協会イタル。デッレ サイエンス、シリーズ III、10 : 103–123
• コセック、フランソワ R.ドルガチョフ、イーゴリ V. (1989)、エンリケスが浮上。 I、数学の進歩、vol. 76、ボストン: ビルクホイザー ボストン、ISBN 978-0-8176-3417-9、MR  0986969
• Dolgachev、Igor V. (2016)、エンリケス曲面の簡単な紹介(PDF)
• エンリケス、フェデリゴ (1896)、「Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche」、Mem。社会イタル。デッレ・サイエンス、10 : 1–81
• エンリケス、フェデリゴ (1949)、Le Superfie Algebriche (PDF)、ニコラ ザニケリ、ボローニャ、MR  0031770
• 近藤重之（1994）「エンリケス面のモジュライ空間の合理性」Compositio Mathematica、91（2）：159–173
• Reeye, T. (1882)、Die Geometrie der Lage、ライプツィヒ: Baumgärtnerś Buchhandlung