汎用プロパティ

数学では、「典型的な」例に当てはまる性質を、一般的な性質と呼びます。たとえば、関数のクラスの一般的な性質とは、それらの関数の「ほぼすべて」に当てはまる性質のことです。たとえば、「一般的な多項式はゼロに根を持たない」や「一般的な正方行列は逆行列である」などです。別の例として、空間の一般的な性質とは、空間の「ほぼすべて」の点で当てはまる性質のことです。たとえば、「f  : M → Nが滑らかな多様体間の滑らかな関数である場合、 Nの一般的な点はfの臨界値ではない」などです。(これはサードの定理によるものです。)

数学には「一般的な」（「ほぼすべて」が意味するもの）というさまざまな概念があり、それに対応する「ほとんどない」（無視できる集合）という二重の概念があります。2 つの主なクラスは次のとおりです。

• 測度論では、一般的な性質とはほとんどすべての場所で成り立つ性質であり、双対概念はヌルセット、つまり「確率 0」を意味します。
• 位相幾何学および代数幾何学において、一般的な性質とは、稠密な 開集合、またはより一般的には残余集合に成り立つ性質であり、双対概念はどこにも稠密でない集合、またはより一般的には希薄集合である。

これらの概念が等しくない自然な例がいくつかあります。^{[1]たとえば、}リウヴィル数 の集合は位相的な意味では一般ですが、ルベーグ測度はゼロです。^[2]

測度論では、一般的な性質とはほとんどどこでも成り立つ性質のことです。双対概念はヌル集合、つまり測度がゼロの集合です。

確率において、一般的な特性とは、ほぼ確実に発生するイベント、つまり確率 1 で発生するイベントのことです。たとえば、大数の法則では、標本平均はほぼ確実に母平均に収束するとされています。これは、確率空間に特化した測度論の場合の定義です。

離散数学では、「ほぼすべて」という用語は、余有限（有限数以外すべて）、余可算（可算数以外すべて）、十分に大きな数、または場合によっては漸近的にほぼ確実にという意味で使用されます。この概念は、ランダム グラフの研究で特に重要です。

位相幾何学と代数幾何学において、一般的な性質とは、稠密な開集合、またはより一般的には残余集合（稠密な開集合の可算な共通部分）に成り立つ性質であり、双対概念は、どこにも稠密でない閉集合、またはより一般的には、貧集合（どこにも稠密でない閉集合の可算な和集合）である。

しかし、密度だけでは一般的な特性を特徴付けるのに十分ではありません。これは実数でも見られ、有理数とその補数である無理数は両方とも稠密です。集合とその補数の両方が典型的な動作を示すと言うのは意味がないので、有理数と無理数は両方とも典型的であるほど大きい集合の例にはなり得ません。したがって、無理数は典型的で有理数はそうではないことを意味する上記のより強い定義に依存します。

応用面では、残差集合に特性が成り立つ場合、その特性はすべての点に成立するとは限りませんが、わずかに摂動を加えると、一般に残差集合の内側に収まるようになります (希薄集合の成分の密度がどこにも存在しないため)。そのため、これらは定理やアルゴリズムで扱う最も重要なケースです。

ある特性を持つ集合がC ^r位相の残差部分集合を含む場合、その特性はC ^rにおいてジェネリックである。ここでC ^{r は、多様体}Mから多様体Nへのr 個の連続導関数を持つ連続関数をそのメンバーとする関数空間である。

MとN の間のC ^r写像の空間C ^r ( M , N ) はベール空間であるため、任意の残差集合は稠密です。関数空間のこの性質により、一般的な性質が典型的になります。

既約代数多様体 Xの性質は、 Xの適切なザリスキ閉部分集合以外で成り立つ場合、言い換えれば、空でないザリスキ開部分集合で成り立つ場合に、一般的に真であると言われます。この定義は上記の位相的な定義と一致します。なぜなら、既約代数多様体では、空でない開集合はどれも稠密だからです。

たとえば、正則性に関するヤコビアン基準により、標数 0 の体上の多様体の一般的な点は滑らかです。(この記述は一般的な滑らかさとして知られています。) これは、ヤコビアン基準を使用して、滑らかでない点の方程式を見つけることができるため当てはまります。それらは、 Xの点のヤコビアン行列がフルランクを持たない点とまったく同じです。標数 0 では、これらの方程式は自明ではないため、多様体内のすべての点に対して真であるわけではありません。したがって、 Xのすべての非正則点の集合は、Xの適切なザリスキ閉部分集合です。

もう 1 つ例を挙げます。f  : X → Y を2 つの代数多様体間の正則写像とします。Yのすべての点yについて、 y上のfのファイバーの次元、つまり dim f ⁻¹ ( y ) を考えます。一般に、この数は定数です。ただし、どこでも定数であるとは限りません。たとえば、X がYのある点での拡大で、 f が自然な射影である場合、拡大された点を除いてfの相対次元は0 になり、拡大された点では dim Y - 1になります。

いくつかの特性は、非常に一般的に成り立つと言われています。これは、基底体が非可算であり、適切なザリスキ閉部分集合の可算和を除いて特性が真であることを意味します（つまり、特性は稠密なG _δ集合上で成り立ちます）。たとえば、この非常に一般的な概念は、有理連結性を考慮するときに発生します。ただし、他のコンテキストでは、非常に一般的な他の定義が発生することがあります。

代数幾何学において、代数多様体の一般点とは、その座標が多様体のあらゆる点が満たす代数関係以外のいかなる代数関係も満たさない点である。たとえば、体k上のアフィン空間の一般点とは、その座標がk上で代数的に独立な点である。

点が部分多様体であるスキーム理論では、多様体の一般点とは、ザリスキー位相の閉包が多様体全体となる点のことである。

ジェネリック プロパティはジェネリック ポイントのプロパティです。任意の合理的なプロパティについて、そのプロパティがジェネリック ポイントで真である場合に限り、そのプロパティがサブ多様体でジェネリックに真であることがわかります (開いた稠密な部分集合で真であるという意味で)。このような結果は、EGA IV 8で開発されたアフィン スキームの極限の方法を使用して頻繁に証明されます。

代数幾何学における関連概念は一般位置であり、その正確な意味は文脈によって異なります。たとえば、ユークリッド平面では、一般位置にある 3 つの点は同一直線上にありません。これは、同一直線上にないという性質が、R ²内の 3 つの点の配置空間の一般的な性質であるためです。

計算可能性とアルゴリズム的ランダム性において、自然数の無限列は、 任意のce 集合に対して、内の初期セグメントを持つか、またはすべての拡張が W に含まれないような初期セグメントを持つ場合、 1-ジェネリックと呼ばれます。1-ジェネリックは計算可能性において重要であり、適切な 1-ジェネリックを考慮することで多くの構成を簡略化できます。^[3]いくつかの重要な特性は次のとおりです。 ${\displaystyle f\in \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle W\subseteq \omega ^{<\omega }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \tau \succcurlyeq \sigma }$

• 1 ジェネリックにはすべての自然数が要素として含まれます。
• 1 ジェネリックは計算可能ではありません (計算可能な関数によって制限されることもありません)。
• すべての 1 ジェネリックは一般化されて低くなります: 。${\displaystyle f}$${\displaystyle f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '}$

1-ジェネリック性は、次のように「ジェネリック」という位相概念と関連しています。ベール空間には 、自然数の有限文字列ごとに基本開集合を持つ位相があります。したがって、要素が1-ジェネリックであるのは、どの開集合の境界上にもない場合のみです。特に、1-ジェネリックはすべての稠密開集合を満たす必要があります (ただし、これは厳密に弱い特性であり、弱 1-ジェネリックと呼ばれます)。 ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle [\sigma ]=\{f:\sigma \preccurlyeq f\}}$${\displaystyle \sigma \in \omega ^{<\omega }}$${\displaystyle f\in \omega ^{\omega }}$

• サード定理: が滑らかな多様体間の滑らかな関数である場合、 Nの一般点はfの臨界値ではありません。つまり、 fの臨界値はN内のヌル集合です。${\displaystyle f\colon M\to N}$
• ヤコビアン基準 /一般的な滑らかさ: 特性 0 の体上の多様体の一般的な点は滑らかです。
• 線形時間不変システムの制御可能性と観測可能性は、位相論と測度論の両方の意味で一般的である。^[4]

• ウィギンズ、スティーブン（2003）、応用非線形動的システムとカオス入門、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-00177-7
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ（1994）、代数幾何学の原理、ワイリークラシックスライブラリー、ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ、doi：10.1002 / 9781118032527、ISBN 978-0-471-05059-9、MR  1288523