ファビウス関数

数学において、ファビウス関数は、ヤープ・ファビウス（1966年）によって発見された、至るところで解析的ではない無限微分可能な関数の例である。 

この関数は初期条件を満たします${\displaystyle f(0)=0}$対称条件${\displaystyle f(1-x)=1-f(x)}$のために⁠${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$⁠、そして関数微分方程式

${\displaystyle f'(x)=2f(2x)}$

のために⁠${\displaystyle 0\leq x\leq 1/2}$⁠。したがって、${\displaystyle f(x)}$単調増加です${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$⁠、${\displaystyle f(1/2)=1/2}$そして${\displaystyle f(1)=1}$そして${\displaystyle f'(1-x)=f'(x)}$そして​${\displaystyle f'(x)+f'({\tfrac {1}{2}}-x)=2}$⁠。すべての導関数は 0 でゼロになります。${\displaystyle f'(0)=f''(0)=f'''(0)=\cdots =0}$、およびは、すべての正の整数においてすべてゼロである。

また、フーリエ変換として書き記された。

${\displaystyle {\hat {f}}(z)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(\cos {\frac {\pi z}{2^{m}}}\right)^{m}}$

ボーゲ・ジェッセンとオーレル・ウィントナー著（1935年）。 

ファビウス関数は単位区間上で定義され、累積分布関数によって与えられる。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\xi _{n},}$

ここで、ξ _nは単位区間上で一様分布する独立な確率変数である。その分布の期待値は${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$そして、その分散は${\displaystyle {\tfrac {1}{36}}}$⁠ .

実数へのfの唯一の拡張があり、すべてのxに対して同じ微分方程式を満たします。この拡張は、x ≤ 0の場合f ( x ) = 0、0 ≤ x ≤ 1 の場合f ( x + 1) = 1 − f ( x )、 0 ≤ x ≤ 2 ^rの場合f ( x + 2 ^r ) = − f ( x )で定義できます。ここでrは正の整数です。この関数が正または負となる区間のシーケンスは、Thue–Morse シーケンスと同じパターンに従います。

Rvachëv上向き関数^{[ 1 ]}はFabius 関数fと密接に関連しています。$${\displaystyle u(t)={\begin{cases}f(t+1),\quad |t|<1\\0,\quad |t|\geq 1\end{cases}}.}$$これは遅延微分方程式^{[ 2 ]}を満たす。$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}u(t)=2u(2t+1)-2u(2t-1).}$$ （別の例については、遅延微分方程式を参照してください。）

ファビウス関数は、すべての非正の引数に対して定数ゼロであり、正の二進有理引数に対して有理値をとります。例：^{[ 3 ] [ 4 ]}

• ${\displaystyle f(1)=1}$
• ${\displaystyle f({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle f({\tfrac {1}{4}})={\tfrac {5}{72}}}$
• ${\displaystyle f({\tfrac {1}{8}})={\tfrac {1}{288}}}$
• ${\displaystyle f({\tfrac {1}{16}})={\tfrac {143}{2073600}}}$
• ${\displaystyle f({\tfrac {1}{32}})={\tfrac {19}{33177600}}}$
• ${\displaystyle f({\tfrac {1}{64}})={\tfrac {1153}{561842749440}}}$
• ${\displaystyle f({\tfrac {1}{128}})={\tfrac {583}{179789679820800}}}$

分子はOEIS : A272755 に、分母はOEIS : A272757 に記載されている。

${\displaystyle {\begin{aligned}\log f(x)&=-{\frac {\log ^{2}x}{2\log 2}}+{\frac {\log x\cdot \log(-\log x)}{\log 2}}-\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1+\log \log 2}{\log 2}}\right)\log x-{\frac {\log ^{2}(-\log x)}{2\log 2}}+{\frac {\log \log 2\cdot \log(-\log x)}{\log 2}}\\&+\left({\frac {6\gamma ^{2}+12\gamma _{1}-\pi ^{2}-6\log ^{2}\log 2}{12\log 2}}-{\frac {7\log 2}{12}}-{\frac {\log \pi }{2}}\right)+{\frac {\log ^{2}(-\log x)}{2\log 2\cdot \log x}}-{\frac {\log \log 2\cdot \log(-\log x)}{\log 2\cdot \log x}}+O\!\left({\frac {1}{\log x}}\right)\end{aligned}}}$

のために⁠${\displaystyle x\to 0^{+}}$⁠、そこで${\displaystyle \gamma }$はオイラー定数であり、${\displaystyle \gamma _{1}}$はスティルチェス定数である。言い換えれば、

${\displaystyle \log f\!\left(2^{-n}\right)=-{\frac {n^{2}\log 2}{2}}-n\log n+\left(1+{\frac {\log 2}{2}}\right)n-{\frac {\log ^{2}n}{2\log 2}}+\left({\frac {6\gamma ^{2}+12\gamma _{1}-\pi ^{2}}{12\log 2}}-{\frac {7\log 2}{12}}-{\frac {\log \pi }{2}}\right)-{\frac {\log ^{2}n}{2n\log ^{2}2}}+O\!\left({\frac {1}{n}}\right)}$

のために⁠${\displaystyle n\to \infty }$⁠ .

• Fabius, J. (1966)、「どこにもない解析的C ^∞ -関数の確率的例」、Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete、5 (2): 173–174、doi : 10.1007/bf00536652、MR 0197656、S2CID 122126180  
• Jessen, Børge ; Wintner, Aurel (1935)、「分布関数とリーマンゼータ関数」、Trans. Amer. Math. Soc.、38 : 48– 88、doi : 10.1090/S0002-9947-1935-1501802-5、MR 1501802 
• ディミトロフ、ユーリ（2006）。二部自己微分関数方程式の多項式分割解（学位論文）。
• Arias de Reyna, Juan (2017). "Fabius関数の算術". arXiv : 1702.06487 [ math.NT ].
• Arias de Reyna, Juan (2017). "コンパクト台を持つ無限微分可能関数: 定義と性質". arXiv : 1702.05442 [ math.CA ].（著者が1982年にスペイン語で発表した論文の英語訳）
• Alkauskas、Giedrius (2001)、Thue–Morse数列に関連するディリクレ級数プレプリント。
• Rvachev, VL ; Rvachev, VA (1979)、境界値問題における近似理論の非古典的方法（ロシア語）、キエフ：Naukova Dumka