社会福祉機能

厚生経済学と社会的選択理論において、社会福祉関数（社会的 順序付け、順位付け、効用、選択 関数とも呼ばれる）とは、一連の社会状態をその望ましさによって順位付ける関数である。各人の好みが何らかの方法で組み合わされ、社会全体としてどの結果がより良いとみなされるかが決定される。^{[1]これは、}ルソーの一般意志の考えを数学的に形式化したものと考えることができる。

社会選択関数は、社会的に最適な決定を特定する方法として経済学者によって研究されており、2つの結果のうちどちらが社会全体にとってより良いと考えられるかを厳密に定義する手順を示しています（たとえば、2つの異なる所得分配の可能性を比較するなど）。^[2]また、民主主義政府では、有権者の好みに基づいて選挙でいくつかの選択肢の中から選択するために社会的選択関数を使用しています。この文脈では、社会的選択関数は通常、選挙制度と呼ばれます。

社会的効用の概念は、消費者の選択における効用関数の概念に類似しています。ただし、社会福祉関数は、社会の全員の判断を考慮した形で、個々の効用関数を単一の出力にマッピングする点で異なります。

経済学者が用いる社会福祉の概念には 2 種類あります。

• 順序関数（または順位付け投票関数）は、順序情報、つまり、ある選択肢が他の選択肢よりも優れているかどうかのみを使用します。
• 基数(または評価投票) 関数も基数情報、つまり 1 つの選択肢が別の選択肢と比べてどれだけ優れているかを使用します。

アローの不可能性定理は社会福祉関数に関する重要な結果であり、社会的選択と消費者選択の重要な違いを示しています。つまり、消費者にとっては順序的選好のみに基づいて合理的な（自己矛盾のない）意思決定手順を構築することは可能ですが、社会的選択の設定では同じことを行うことは不可能であり、そのような順序的意思決定手順は次善のものになります。

一部の著者は、密接に関連した 3 つの概念を区別しています。

1. 社会的選択関数は、単一の最良の結果（勝利する単一の候補者、または同点の場合は複数の候補者）を選択します。
2. ソーシャルオーダー機能により、最良から最悪の順に候補者がリストされます。
3. ソーシャルスコアリング関数は、各候補者をその質を表す数値にマッピングします。たとえば、第一優先多数票の標準的なソーシャル スコアリング関数は、候補者を第一位にランク付けした投票者の合計数です。

あらゆる社会的順序付けは、最高ランクの結果のみを考慮することで選択関数にすることができます。しかし、それほど明白ではありませんが、あらゆる社会的選択関数は順序付け関数でもあります。最良の結果を削除し、新しい勝者を見つけると、次点者が2位に割り当てられます。このプロセスを繰り返すと、すべての候補者の完全な順位付けが得られます。^[3]

この密接な関係のため、用語の乱用によって 3 種類の機能が混同されることがよくあります。

トップ、センター、ボトムの間で行われる即時決選投票を考えてみましょう。トップは第一優先票が最も多く、ボトムは二番目に多く、センター（両者の間に位置する）は第一優先票が最も少ないです。

即時決選投票では、トップが勝者となります。センターは第 1 ラウンドで脱落し、その第 2 候補はトップとボトムの間で均等に分割され、トップが勝利します。

2 位の候補者を見つけるには、トップが立候補しなかった場合の勝者を見つけます。この場合、選挙はセンターとボトムの間で行われます。

（最終順位は、順次排除方式の排除順位と同じではないことに注意してください。最初に排除されたにもかかわらず、センターはこの選挙では次点者です。）

1938 年の論文で、アブラム・ベルクソンは「最大の経済的福祉の条件を導き出すために必要な価値判断を正確な形で述べる」という意図で、社会福祉関数という用語を導入しました。この関数は実数値で微分可能であり、社会全体を記述するために指定されました。この関数の引数には、生産および消費されるさまざまな商品の量、および労働を含むさまざまな商品の生産に使用される リソースの量が含まれていました。

必要な一般条件は、関数の最大値において次のとおりです。

• 限界的な「ドルの価値」の福祉は、各個人および各商品に対して等しい。
• 各「ドル相当」の労働の限界的な「不利益」は、各労働供給者が生産する各商品に等しい。
• 各資源単位の限界「ドル」コストは、各商品の限界価値生産性に等しくなります。

ベルクソンは、福祉経済学は個人間で比較可能な 基数効用を放棄しているにもかかわらず、経済効率の基準を記述していると主張したが、基数効用の仮説は単に価値判断、それも純粋に主観的な価値判断を隠蔽するだけかもしれない。

ベンサムの古典的功利主義を継承する、それ以前の新古典派福祉理論では、限界効用逓減の法則は個人間で比較可能な効用を意味するものとして扱われることが多かった。そのような比較可能性とは関係なく、所得や富は測定可能であり、裕福な人から貧しい人への所得の再分配は社会全体の効用（どのように測定されるかにかかわらず）を増加させる傾向があると一般的に推論されていた。しかし、ライオネル・ロビンズ（1935、第6章）は、精神的出来事としての効用が互いに対してどのように、またはどれだけ変化するかは、いかなる経験的テストでも測定できず、反証不可能であると主張した。したがってロビンズは、そのような効用は自身の哲学的行動主義と相容れないとして拒絶した。

補助的な仕様により、社会の各構成員による選好満足度の異なる社会状態の比較が可能になります。これらは、パレート効率を定義するのに役立ちます。パレート効率は、すべての選択肢が尽きて、少なくとも 1 人の人物がより好ましい立場に就き、誰もより好ましくない立場に置かれない場合に成立します。ベルクソンは、「経済的厚生の増加」(後にパレート改善と呼ばれる) を、少なくとも 1 人の個人がより好ましい立場に移動し、他のすべての人は無関心である状態と説明しました。その後、社会福祉関数を実質的に個人主義的な意味で指定して、パレート効率 (最適性) を導き出すことができます。ポール サミュエルソン(2004、p. 26) は、ベルクソンの関数は「パレート最適条件を導き出すことはできますが、個人間の規範的公平性を定義するのに十分ではありません」と述べています。それでも、パレート効率は、個人間の商品分配が別の次元を特徴付ける特定の社会福祉関数の1 つの次元を特徴付けることもできます。ベルクソンが指摘したように、社会福祉関数による福祉の向上は、他の個人の犠牲を払って「一部の個人の立場」が向上することによってもたらされる可能性がある。その社会福祉関数は、公平性の次元を特徴付けるものとして説明できる。

サミュエルソン（1947、p.221）自身も、パレート制約であろうとなかろうと、 あらゆる倫理的信念を特徴付ける社会福祉関数の柔軟性を強調しており、次のことと一致している。

• すべての社会的選択肢の完全かつ推移的なランキング（倫理的に「より良い」、「より悪い」、「無関心」のランキング）と
• 信念を特徴付けるための無数の福祉指標と基本指標のセット。

サミュエルソン（1983、p. xxii）が指摘するように、ベルクソンは生産と消費の効率条件が社会福祉機能の対人倫理的価値とどのように異なるかを明らかにしました。

サミュエルソンは、福祉関数と可能性関数を特定することで、その区別をさらに明確にした(1947、pp. 243–49)。それぞれは、社会の全員に対する効用関数の集合を引数として持つ。それぞれがパレート効率性を組み込むことができ (そして一般的にそうしている)、可能性関数は技術と資源の制約にも依存する。それは暗黙の形で書かれ、制約によって課され、パレート効率性によって許される効用の組み合わせの実行可能な軌跡を反映する。可能性関数の特定の点において、1 人を除く全員の効用が決まれば、残りの 1 人の効用も決まる。福祉関数は、社会の全員に対するさまざまな仮説上の効用集合を倫理的に最低のものから上へとランク付けする (同点も許される)。つまり、効用の個人間比較を行う。福祉最大化は、可能性関数を制約として福祉関数を最大化することで構成される。ベルクソンの分析と同じ福祉最大化条件が現れる。

ケネス・アローの1963 年の著書は、このようなアプローチの問題点を明らかにしたが、アローはすぐにはそれに気づかなかった。それ以前の考え方に沿って、アローの社会福祉関数 (「憲法」とも呼ばれる) は、社会のあらゆる人々に対する一連の個別の順序 (順序効用関数) を、代替の社会状態 (複数の候補者のうち誰が選出されるべきかなど) を順位付けする社会順序にマッピングする。

アローは、ライオネル・ロビンズや他の行動主義者の主張に反して、実数値（したがって基数）の社会的秩序の要件を放棄すると、社会的レベルでの合理的または首尾一貫した行動が不可能になることを発見しました。この結果は現在、アローの不可能性定理として知られています。アローの定理は、順序社会福祉関数が、無関係な選択肢の独立性と呼ばれる合理的行動の標準的な公理を満たすことは不可能であることを示しています。この公理は、1つの結果の値を変更しても、その結果に関係しない選択には影響しないはずだと述べています。たとえば、顧客がブルーベリーよりもリンゴを好むためにリンゴを購入する場合、さくらんぼがセール中であると言っても、リンゴではなくブルーベリーを購入するようにはならないはずです。

ジョン・ハーサニは後に、社会が不確実性の下で意思決定をしなければならない場合、一貫性とパレート効率性を満たす唯一の社会福祉関数が功利主義のルールであることを示し、この結果を補強した。

基数社会福祉関数は、個人の効用 (基数効用とも呼ばれる) の数値表現を入力として受け取り、集団の福祉の数値表現を出力として返す関数です。基本的な前提は、個人の効用を共通の尺度に置き、比較できるということです。このような尺度の例としては、平均寿命や一人当たりの所得などがあります。

このセクションでは、効用の尺度として所得を採用します。

社会福祉機能の形式は、社会の目的を表明することを目的としています。

功利主義的またはベンサム主義的な社会福祉関数は、社会福祉を個々の効用の合計または合計として測定します。

${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{n}Y_{i}}$

ここで、は社会福祉、 は社会における個人の所得です。この場合、社会福祉を最大化するということは、社会における所得の分配方法に関係なく、社会の人々の所得合計を最大化することを意味します。これは、富裕層から貧困層への所得移転と、その逆を区別しません。貧困層から富裕層への所得移転の結果、富裕層の効用が貧困層の効用の低下よりも大きく増加した場合、社会全体の効用が増加しているため、社会はそのような移転を受け入れることが期待されます。あるいは、社会の福祉は、個人所得の平均を取ることによってこの関数で測定することもできます。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle W={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}={\overline {Y}}}$

対照的に、最大最小またはロールズの社会福祉関数（ジョン・ロールズの哲学的研究に基づく）は、社会で最も恵まれない個人の福祉に基づいて社会の社会福祉を測定します。

${\displaystyle W=\min(Y_{1},Y_{2},\cdots ,Y_{n})}$

ここで、社会福祉を最大化するということは、他の個人の収入に関係なく、社会で最も貧しい人の収入を最大化することを意味します。

これら 2 つの社会福祉関数は、福祉を最大化するために社会をどのように組織する必要があるかについて、非常に異なる見解を表しています。最初の関数は総所得を重視し、2 番目の関数は最も恵まれない人々のニーズを重視しています。最大最小福祉関数は、社会の一員が直面する可能性のある最悪の状況のみに関係しているため、社会全体の 不確実性回避の極端な形を反映していると考えられます。

アマルティア・センは1973 年に福祉関数を提案しました。

${\displaystyle W_{\mathrm {Gini} }={\overline {Y}}(1-G)}$

測定対象グループ（例：国家）の一人当たりの平均所得は で乗算されます。ここで は相対的不平等の尺度であるジニ係数です。James E. Foster（1996）は、エントロピー尺度であるアトキンソン指数の1つを使用することを提案しました。アトキンソンのエントロピー尺度とTheil 指数の関係により、Theil-L 指数を使用して Foster の福祉関数を直接計算することもできます。 ${\displaystyle (1-G)}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle W_{\mathrm {Theil-L} }={\overline {Y}}\mathrm {e} ^{-T_{L}}}$

この関数によって得られる値には具体的な意味があります。所得が不均等に分配されている集団からランダムに選ばれた人が得る可能性のある所得は複数あります。この福祉関数は、ランダムに選ばれた人が持つ可能性が最も高い所得を示します。中央値と同様に、この所得は平均一人当たり所得よりも小さくなります。

${\displaystyle W_{\mathrm {Theil-T} }={\overline {Y}}\mathrm {e} ^{-T_{T}}}$

ここで、Theil-T 指数が適用されます。この関数によって得られる逆数値にも具体的な意味があります。ユーロが属する可能性のある所得は複数あり、不均等に分配されたすべての所得の合計からランダムに選択されます。この福祉関数は、ランダムに選択されたユーロが最も属する可能性の高い所得を示します。この関数の逆数値は、平均 1 人当たり所得よりも大きくなります。

効用プロファイルに関する選好関係 Rが与えられていると仮定する。Rは効用プロファイルに関する弱い全順序であり、任意の2つの効用プロファイルが与えられたときに、それらが無差別であるか、またはどちらかが他方よりも優れているかを示すことができる。合理的な選好順序は、いくつかの公理を満たす必要がある: ^{[4] : 66–69}

1.単調性: ある個体の効用が増加し、他のすべての効用が等しい場合、Rは厳密に 2 番目のプロファイルを優先します。たとえば、プロファイル (1, 4, 4, 5) を (1, 2, 4, 5) よりも優先します。このような変化はパレート改善と呼ばれます。

2.対称性:効用プロファイルの値の順序を変更したりラベルを変更したりしても、 Rの出力は変化しない。この公理は、社会においてすべての人が平等に扱われるべきであるという考えを形式化している。例えば、Rは(1, 4, 4, 5)と(5, 4, 4, 1)の間で無差別であるべきである。なぜなら、唯一の違いは、

3.連続性: すべてのプロファイルvに対して、 vより弱く良いプロファイルの集合とvより弱く悪いプロファイルの集合は閉集合である。^{[専門用語]}

4.無関係なエージェントの独立性: R は、効用が変化していない個人から独立している必要があります。たとえば、R が(2, 2, 4) を (1, 3, 4) より好む場合、(2, 2, 9) を (1, 3, 9) より好むことになります。エージェント 3 の効用は、エージェント 1 と 2 の 2 つの効用プロファイルの比較に影響を及ぼしてはなりません。この特性は、局所性または分離可能性とも呼ばれます。これにより、割り当て問題を局所的に扱い、社会の残りの部分での割り当てから分離することができます。

特性1～4を持つすべての選好関係は、次の形式の合計である 関数Wで表すことができます。

${\displaystyle W(u_{1},\dots ,u_{n})=\sum _{i=1}^{n}w(u_{i})}$

ここで、w は連続増加関数です。

もう一つの公理、つまりオランダの本の非存在、あるいは社会的選択が合理的選択の公理に従って行動するという公理を導入すると、社会的選択関数は功利主義の規則でなければならない、つまり重み関数は各個人の効用関数と等しくなければならないということになります。この結果は、ハルサニの功利主義定理として知られています。 ${\displaystyle w(u)}$

ハルサニの定理によれば、非功利主義的な社会的選択関数は矛盾することになります。言い換えれば、社会のすべてのメンバーが一致して反対する賭けに同意することになります。しかし、そのような関数の特性を確立することは依然として可能です。

社会効用関数に合理的行動を課す代わりに、共通尺度の独立性と呼ばれるより弱い基準を課すことができます。つまり、2 つの効用プロファイル間の関係は、両方に同じ定数を掛けても変化しません。たとえば、効用関数は、収入をセントで測定するかドルで測定するかに左右されるべきではありません。

選好関係が特性1～5を持つ場合、関数wは等弾性関数でなければならない。

${\displaystyle {\frac {c^{1-\eta }-1}{1-\eta }}}$

この家族にはおなじみのメンバーがいます:

• 制限は、leximin順序です。${\displaystyle \eta \to -\infty }$
• なぜなら、私たちはナッシュ交渉の解、つまり効用の積を最大化するという解を得るからです。${\displaystyle \eta =0}$
• なぜなら、私たちは功利主義的な福祉関数、つまり効用の合計を最大化する関数を得るからです。${\displaystyle \eta =1}$
• のときの限界は語彙最大順序です。${\displaystyle \eta \to \infty }$

ピグー・ドルトン原理（不平等は良いことではない）を要求する場合、上記の族では最大で 1 である必要があります。 ${\displaystyle \eta }$

• ケネス・J・アロー、1951年、第2版、1963年、社会的選択と個人の価値 ISBN 0-300-01364-7 
• エイブラム・バーグソン（バーク）「福祉経済学のある側面の再定式化」季刊経済学誌、52（2）、1938年2月、310-334
• ニュースクールのパレート福祉経済学におけるベルクソン＝サミュエルソンの社会福祉関数。
• ジェームズ・E・フォスターとアマルティア・セン、1996年、「経済不平等について」、付録付き拡張版、ISBN 0-19-828193-5。 
• ジョン・C・ハーサニ、1987、「個人間の効用比較」、ニュー・パルグレイブ：経済学辞典、第2巻、955-58ページ
• パタナイク、プラサンタ・K. (2008)、「社会福祉関数（定義）」、スティーブン・N. デュラウフ、ローレンス・E. ブルーム（編）、新パルグレイブ経済学辞典（第2版）、ベイシングストーク、ハンプシャー、ニューヨーク：パルグレイブ・マクミラン、ISBN 9780333786765。

ジャーナル記事としてもご利用いただけます。

• Jan de Van Graaff、1957 年、「理論的福祉経済学」、1957 年、ケンブリッジ、英国: Cambridge University Press。
• ライオネル・ロビンズ、1935年、第2版。経済科学の性質と意義に関するエッセイ、第6章
• ____、1938、「効用の個人間比較：コメント」、経済ジャーナル、43（4）、635-41
• ポール・A・サミュエルソン、1947年、1983年増補版『経済分析の基礎』、pp. xxi–xxiv および ch. VIII、「福祉経済学」、ISBN 0-674-31301-1 
• _____、1977年、「『合理的な』ベルクソン＝サミュエルソン社会福祉関数の存在の再確認」、エコノミカ、NS、44（173）、pp. 81-88。（1986）ポールA.サミュエルソンの科学論文集、pp. 47-54に再掲載。
• _____、1981年。「ベルクソンの福祉経済学」、S.ローズフィールド（編）、経済福祉とソビエト社会主義の経済学：エイブラム・ベルクソンを讃えるエッセイ、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、pp. 223-66。1986年、ポール・A・サミュエルソンの科学論文集、pp. 3-46に再録。
• セン、アマルティア・K.（1963）。「分配、推移性、リトルの厚生基準」、経済ジャーナル、73（292）、pp.771-778。
• _____、1970 [1984]、集団選択と社会福祉（説明）、第3章「集団合理性」。ISBN 0-444-85127-5 
• _____ (1982).選択、福祉、測定、MIT プレス。説明と章のプレビュー リンクへのスクロール。
• 鈴村光太郎（1980）「分配的価値判断と部分的福祉基準について」『エコノミカ』47（186）、125-139頁。
• _____、1987、「社会福祉機能」、新パルグレイブ経済学辞典、第4巻、418-20ページ