ブラック・ショールズモデル

ブラック・ショールズ・モデル（ / ˌblækˈʃoʊlz / ^{[ 1 ]）}またはブラック・ショールズ・マートン・モデルは、デリバティブ投資商品を含む金融市場のダイナミクスを数学的にモデル化したものです。このモデルにおける放物線型の偏微分方程式（ブラック・ショールズ方程式として知られる）から、ブラック・ショールズ公式を導き出すことができます。この公式は、ヨーロピアン・オプションの価格を理論的に推定し、証券のリスクと期待収益率（証券の期待収益率をリスク中立レートに置き換える）が与えられた場合、オプションには一意の価格が存在することを示しています。この方程式とモデルは、経済学者のフィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズにちなんで名付けられました。このテーマに関する最初の学術論文を書いたロバート・C・マートンも、功績を称えられることがあります。

このモデルの基本原理は、特定の取引方法に従って原資産を売買することでオプションをヘッジし、リスクを排除することです。この種のヘッジは「継続的デルタヘッジ」と呼ばれ、投資銀行やヘッジファンドなどが用いるような、より複雑なヘッジ戦略の基礎となっています。

このモデルは、オプション市場の参加者によって、しばしば多少の調整を加えながら広く使用されています。^{[ 2 ]}^{： 751}このモデルの仮定は、さまざまな方向に緩和および一般化され、現在デリバティブの価格設定とリスク管理で使用されている多数のモデルにつながっています。ブラック・ショールズ式に代表されるこのモデルの知見は、実際の価格とは区別して、市場参加者によって頻繁に使用されています。これらの知見には、無裁定境界とリスク中立価格設定（継続的な改訂のおかげで）が含まれます。さらに、オプション価格を支配する偏微分方程式であるブラック・ショールズ方程式は、明示的な式が不可能な場合に数値的方法を使用して価格設定することを可能にします。

ブラック・ショールズ式には、市場で直接観測できないパラメータが1つだけあります。それは、原資産の将来の平均ボラティリティですが、他のオプションの価格から求めることができます。オプション価格（プットオプションでもコールオプションでも）はこのパラメータに関して増加するため、これを逆算することで「ボラティリティ曲面」を作成し、それを他のモデル（例えば、店頭デリバティブなど）のキャリブレーションに使用することができます。

歴史

ルイ・バシュリエの1900年の論文^{[ 3 ]}は、ブラウン運動をデリバティブ価格に適用した最初の出版物でしたが、彼の研究は長年にわたってほとんど影響を与えず、現代の市場への適用には重要な制約がありました^{[ 4 ]} 。 1960年代には、ケース・スプレンクル^{[ 5 ]}、ジェームズ・ボネス^{[ 6 ]} 、ポール・サミュエルソン^{[ 7 ]}、そして当時サミュエルソンの博士課程の学生であったロバート・C・マートン^{[ 8 ]}が、オプション価格理論に重要な改良を加えました。

フィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズは1968年に、ポートフォリオの動的な修正によって証券の期待収益がなくなることを実証し、リスク中立論を発明した。^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}彼らは、上記の研究やシーン・カソフとエドワード・O・ソープの研究など、市場調査員や実務家が以前に行った研究に基づいて考えを固めた。ブラックとショールズはその後、この公式を市場に適用しようとしたが、取引におけるリスク管理の欠如により損失を被った。1970年、彼らは学術界に戻ることを決めた。 ^{[ 11 ]} 3年間の努力の後、この公式は、それを公表した彼らにちなんで名付けられ、1973年に「オプションと企業負債の価格設定」というタイトルの記事でついに『政治経済学ジャーナル』に発表された。^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}ロバート・C・マートンは、オプション価格モデルの数学的理解を拡張する論文を最初に発表し、「ブラック・ショールズ・オプション価格モデル」という用語を作り出した。^{[ 8 ]}

この公式はオプション取引のブームを招き、 Cboe Global Marketsが主導するオプション取引活動に数学的な正当性を与えた。^{[ 15 ]}

マートンとショールズは、その業績により1997年のノーベル経済学賞を受賞しました。選考委員会は、彼らが発見したリスク中立動的修正が、オプションを原資産のリスクから分離する画期的な成果であると評価しました。^{[ 16 ]}ブラックは1995年に亡くなったため受賞資格はありませんでしたが、スウェーデン科学アカデミーから貢献者として言及されました。^{[ 17 ]}

基本仮説

ブラック・ショールズ・モデルは、市場が少なくとも1つのリスク資産（通常は株式と呼ばれる）と1つのリスクのない資産（通常はマネーマーケット、現金、または債券と呼ばれる）から構成されていると仮定している。

資産（資産名に関連するもの）に関して、以下の仮定がなされています。

リスクフリーレート：リスクのない資産の収益率は一定であるため、リスクフリー金利と呼ばれます。
ランダムウォーク：株価の瞬間的な対数リターンは、ドリフトを伴う無限小ランダムウォークです。より正確には、株価は幾何ブラウン運動に従い、その運動のドリフトとボラティリティは一定であると仮定します。ドリフトとボラティリティが時間とともに変化する場合でも、ボラティリティがランダムでない限り、適切に修正されたブラック・ショールズ式を導出できます。
この株式は配当金を支払いません。^{[注1 ]}

市場に関する前提条件は以下のとおりです。

裁定取引の機会はない（つまり、リスクフリーレートを超えるリスクのない利益を得る方法はない）。
少額の現金であっても、リスクのない金利で借り入れや貸し出しができる。
株式を端数を含む任意の数量で売買できる能力（空売りも含む）。
上記の取引には手数料や費用は一切かかりません（つまり、摩擦のない市場です）。

これらの仮定の下で、この市場で取引されているデリバティブ証券も存在すると仮定します。この証券は、特定の将来の日付に、その日までの株価に応じて一定のペイオフを持つことが規定されています。株価が将来どのような経路をたどるかは不明ですが、デリバティブの価格は現在の時点で決定できます。ヨーロピアンコールオプションまたはプットオプションの特殊なケースでは、ブラックとショールズは、「株価に依存しない価値を持つ、株式のロングポジションとオプションのショートポジションからなるヘッジポジションを作成することが可能である」ことを示しました。 ^{[ 18 ]}彼らの動的ヘッジ戦略は、オプションの価格を支配する偏微分方程式につながりました。その解はブラック・ショールズ式によって与えられます。

元のモデルのこれらの仮定のいくつかは、その後のモデルの拡張で削除されました。現代のバージョンでは、動的な金利（Merton、1976）、取引コストと税金（Ingersoll、1976）、および配当金の支払いが考慮されています。^[¹⁹^]

表記法

特に時刻tにおいて：

C(S,t)

はヨーロピアンコールオプションの価格であり、

P(S,t)

これはヨーロピアン・プット・オプションの価格です。

T

オプションの満期時刻です。

\displaystyle \tau }

成熟までの時間：

\tau =Tt

。

K

これはオプションの権利行使価格、または行使価格とも呼ばれます。

$N(x)$ は標準正規累積分布関数を表します。

N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz.

$N'(x)$ は標準正規確率密度関数を表します。

N'(x)={\frac {dN(x)}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.

ブラック・ショールズ方程式

ブラック・ショールズ方程式は、価格を記述する放物型偏微分方程式である。 $V(S,t)$ オプションの $S$ は原資産の価格であり、 $t$ 時間です:

{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0

この方程式の背後にある重要な金融的洞察は、原資産と銀行口座資産（現金）を売買することで「リスクを排除」し、オプションを完全にヘッジできるという点です。これは、ブラック・ショールズ式によって与えられるオプション価格が一意に存在することを意味します（次のセクションを参照）。

ブラック・ショールズの公式

{\displaystyle S} — 資産価格の変動に対するブラック・ショールズ価格方程式を用いて評価されたヨーロピアンコール $S$ 有効期限 $T$ この例では、行使価格は1に設定されています。

ブラック・ショールズ式はヨーロピアン・プット・オプションとコール・オプションの価格を計算します。この価格はブラック・ショールズ方程式と一致します。これは、対応する終端条件と境界条件について方程式を解くことで式が得られるためです。^[²⁰^]

{\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\sim S-Ke^{-r(T-t)}{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}

配当を支払わない原資産株式のコールオプションの価値をブラック・ショールズ・モデルのパラメータで表すと次のようになる。

{\begin{aligned}C(S_{t},t)&=N(d_{+})S_{t}-N(d_{-})Ke^{-r(T-t)}\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}

割引率を考慮したプット・コール・パリティに基づく対応するプットオプションの価格 $e^{-r(T-t)}$ は：

{\begin{aligned}P(S_{t},t)&=Ke^{-r(T-t)}-S_{t}+C(S_{t},t)\\&=N(-d_{-})Ke^{-r(T-t)}-N(-d_{+})S_{t}\end{aligned}}\,

代替製剤

補助変数を導入することで、式を簡略化し、より便利な形式に再定式化することが可能になります（これはブラック'76式の特殊なケースです）。

{\begin{aligned}C(F,\tau )&=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\ln \left({\frac {F}{K}}\right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}

どこ：

$D=e^{-r\tau }$ 割引係数

$F=e^{r\tau }S={\frac {S}{D}}$ は原資産の先物価格であり、 $S=DF$

プット・コール・パリティは、次のように表現されます。

C-P=D(F-K)=S-DK

プットオプションの価格は次のとおりです。

P(F,\tau )=D\left[N(-d_{-})K-N(-d_{+})F\right]

解釈

ブラック・ショールズ式には直感的な解釈が可能であり、主な微妙な点は、 $d_{\pm }$ そして、なぜ2つの異なる用語が存在するのか。^{[ 21 ]}

この式は、まずコールオプションを2つのバイナリーオプションの差、つまり資産またはナッシングのコールオプションからキャッシュまたはナッシングのコールオプションを差し引いたもの（資産またはナッシングのコールオプションを買い、キャッシュまたはナッシングのコールオプションを売り）に分解することで解釈できます。コールオプションは満期時に資産と引き換えに現金を受け取りますが、資産またはナッシングのコールオプションは資産のみを受け取り（現金との交換なし）、キャッシュまたはナッシングのコールオプションは現金のみを受け取ります（資産との交換なし）。ブラック・ショールズ式は2つの項の差であり、これらの2つの項はバイナリーコールオプションの値に等しくなります。これらのバイナリーオプションは、通常のコールオプションよりも取引頻度は低いですが、分析は容易です。

したがって、式は次のようになる。

C=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]

内訳は以下のとおりです。

C=DN(d_{+})F-DN(d_{-})K,

どこ $DN(d_{+})F$ は、資産かナッシングかのコールオプションの現在価値であり、 $DN(d_{-})K$ これは、現金または無現金のコールオプションの現在価値です。D係数は割引のためのもので、満期日が将来であるため、これを取り除くと現在価値が将来価値（満期時の価値）に変わります。したがって $N(d_{+})~F$ は、資産またはナッシングのコールオプションの将来価値であり、 $N(d_{-})~K$ これは、現金化または払い戻しの条件が満たされるコールオプションの将来価値です。リスク中立的な観点から見ると、これらはリスク中立的な尺度における資産の期待値と現金の期待値に相当します。

これらの用語の素朴でやや不正確な解釈は、 $N(d_{+})F$ オプションがイン・ザ・マネーで満期を迎える確率は $N(d_{+})$ 満期時の原資産の価値Fを乗じ、 $N(d_{-})K$ オプションがイン・ザ・マネーで満期を迎える確率は $N(d_{-}),$ 満期時の現金価値Kを乗じる。この解釈は誤りである。なぜなら、両方のバイナリーがイン・ザ・マネーで満期を迎えるか、両方ともアウト・オブ・ザ・マネーで満期を迎えるかのどちらかだからである（現金が資産と交換されるか、交換されないかのどちらかである）。しかし、確率は $N(d_{+})$ そして $N(d_{-})$ 平等ではない。実際、 $d_{\pm }$ は、金銭的価値の尺度（標準偏差）として解釈でき、 $N(d_{\pm })$ それぞれのヌメレールにおける、満期時のITM（マネーネス率）の確率として、以下で説明します。簡単に言うと、キャッシュオプションの解釈は、 $N(d_{-})K$ は正しい。現金の価値は原資産の変動とは無関係であり、したがって「確率×価値」の単純な積として解釈できるが、 $N(d_{+})F$ 満期時にイン・ザ・マネーとなる確率と満期時の資産価値は独立ではないため、より複雑になります。^{[ 21 ]}より正確には、満期時の資産価値は現金に関しては変動しますが、資産自体（資産の固定量）に関しては一定であるため、基準を現金ではなく資産に変更すれば、これらの量は独立になります。

前方Fの代わりにスポットSを使用する場合、 $d_{\pm }$ 代わりに ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$ 用語は ${\textstyle \left(r\pm {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau ,}$ これは（適切な基準通貨に対するリスク中立的な尺度において）ドリフト要因として解釈できる。標準化された貨幣性ではなく、貨幣性を表すd ₋の使用 ${\textstyle m={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\ln \left({\frac {F}{K}}\right)}$ 言い換えれば、 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$ 因子は、対数正規分布の中央値と平均値の差によるものであり、幾何ブラウン運動に適用された伊藤の補題と同じ因子です。さらに、素朴な解釈が間違っていることを示す別の方法は、を置き換えることです。 $N(d_{+})$ による $N(d_{-})$ この式では、アウトオブザマネーのコールオプションに対して負の値が得られる。^{[ 21 ]}^{： 6}

詳細には、 $N(d_{+}),N(d_{-})$ これらは、それぞれ等価指数マルチンゲール確率測度（numéraire=株式）および等価マルチンゲール確率測度（numéraire=リスクフリー資産）の下でのオプションがイン・ザ・マネーで満期を迎える確率である。 ^[²¹^]株価のリスク中立確率密度 $S_{T}\in (0,\infty )$ は

p(S,T)={\frac {N^{\prime }[d_{-}(S_{T})]}{S_{T}\sigma {\sqrt {T}}}}

どこ $d_{-}=d_{-}(K)$ 上記のように定義される。

具体的には、 $N(d_{-})$ これは、資産の変動率がリスクフリーレートであると仮定した場合に、コールオプションが行使される確率である。 $N(d_{+})$ しかし、それは単純な確率的解釈には適さない。 $SN(d_{+})$ これは、満期時の資産価格が行使価格を上回っているという条件の下で、リスクフリー金利を使用して期待される満期時の資産価格の現在価値として正しく解釈されます。[ 22 ^{]関連する}議論と図表については、実物オプション評価のための Datar–Mathews 法を参照してください。

同等のマルチンゲール確率測度は、リスク中立確率測度とも呼ばれます。これらはどちらも測度論的な意味での確率であり、どちらも実際の確率測度の下でイン・ザ・マネーで満期を迎える真の確率ではないことに注意してください。実際の（「物理的」）確率測度の下での確率を計算するには、追加の情報、つまり物理的測度におけるドリフト項、あるいは同等にリスクの市場価格が必要です。

派生

ブラック・ショールズ偏微分方程式を解くための標準的な導出は、ブラック・ショールズ方程式に関する記事に記載されています。

ファインマン・カッツの公式によれば、この種の偏微分方程式の解は、適切に割引すると、実際にはマルチンゲールになります。したがって、オプション価格は、オプションの割引ペイオフの期待値となります。この期待値を用いてオプション価格を計算することは、リスク中立アプローチであり、偏微分方程式の知識がなくても実行できます。^{[ 21 ]}オプションペイオフの期待値は、現実世界の確率測度ではなく、現実世界の測度とは異なる人工的なリスク中立測度で計算されることに注意してください。その根拠となる論理については、「合理的価格設定」の「リスク中立評価」のセクション、および「数理ファイナンス」の「デリバティブ価格設定：Qの世界」のセクションを参照してください。詳細については、ハル^[²³^]^:^307-309を参照してください。

オプション・グリークス

「ギリシャ指標」とは、他のパラメータを固定したまま、デリバティブ商品や金融ポートフォリオの価値がパラメータ値の変化に対してどれだけ敏感に反応するかを測定する指標です。これらは、価格をパラメータ値に関して偏微分したものです。ギリシャ指標の一つである「ガンマ」（およびここに記載されていない他の指標）は、この場合「デルタ」という別のギリシャ指標の偏微分です。

ギリシャ指標は、金融の数学理論において重要であるだけでなく、実際に取引を行う人々にとっても重要です。金融機関は通常、トレーダーが超えてはならない各ギリシャ指標の（リスク）制限値を設定します。^{[ 24 ]}

デルタは、通常最も大きなリスクを伴うため、最も重要なギリシャ指標です。多くのトレーダーは、市場の方向性を予測して投機を行っておらず、ブラック・ショールズモデルで定義されるデルタニュートラルなヘッジ手法を採用している場合、一日の終わりにデルタをゼロにします。トレーダーがポートフォリオに対して効果的なデルタヘッジを確立しようとする場合、ポートフォリオのガンマを中立化することも検討します。これは、ヘッジがより広い範囲の原資産価格変動に対して有効であることを保証するためです。

ブラック・ショールズ方程式のグリークスは、以下に閉じた形で示されています。これらは、ブラック・ショールズ方程式を微分することによって得られます。

コールオプションとプットオプションのガンマとベガの値は同じであることに注意してください。これはプット・コール・パリティから直接確認できます。プットオプションとコールオプションの差はフォワードであり、フォワードはSに対して線形であり、 σに依存しないためです（したがって、フォワードのガンマとベガはゼロになります）。

実際には、パラメータの変動規模に合わせて、感度の一部は縮小された値で示されるのが一般的です。例えば、ρは10,000（1ベーシスポイントの金利変動）、vegaは100（1ボラティリティポイントの変動）、thetaは365または252（暦日または年間取引日数に基づく1日分の減衰）で割った値で報告されることがよくあります。

「ベガ」はギリシャ文字ではないことに注意してください。この名前はギリシャ文字のニュー（さまざまな表記で）を誤読したことに由来します。 $\nu$ 、 $ν$ 、およびν）をVとして。

モデルの拡張

上記のモデルは、変動する（ただし確定的な）金利とボラティリティにも拡張できます。このモデルは、配当金を支払う金融商品のヨーロピアンオプションの評価にも使用できます。この場合、配当金が株価の既知の割合である場合は、閉形式の解が得られます。アメリカンオプションや、既知の現金配当を支払う株式のオプション（短期的には、比例配当よりも現実的）は評価がより困難であり、解法の選択肢があります（例えば、格子法やグリッド法など）。

継続的に配当金を支払う金融商品

指数オプションの場合、配当金は継続的に支払われ、配当額は指数の水準に比例するという簡略化された仮定を置くのが妥当である。

当該期間に支払われた配当金 $[t,t+dt]$ 次のようにモデル化されます。

qS_{t}\,dt

ある定数に対して $q$ （配当利回り）

この定式化の下では、ブラック・ショールズ・モデルによって示される無裁定価格は次のようになることが示される。

C(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,

そして

P(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]\,

今どこにいるのか

F=S_{t}e^{(r-q)(T-t)}\,

条件に現れる修正先物価格 $d_{1},d_{2}$ :

d_{1}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]

そして

d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]

[ ²⁵^]

離散的な比例配当を支払う金融商品

ブラック・ショールズ・モデルの枠組みは、離散的な比例配当を支払う金融商品のオプションにも拡張できる。これは、オプションが単一銘柄に対して行使される場合に特に有効である。

典型的なモデルでは、 $\delta$ 株価の一部は、あらかじめ定められた時期に支払われる。 $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ 株価は次のようにモデル化されます。

S_{t}=S_{0}(1-\delta )^{n(t)}e^{ut+\sigma W_{t}}

どこ $n(t)$ は、時間までに支払われた配当金の数です。 $t$ 。

このような株式のコールオプションの価格は次のようになります。

C(S_{0},T)=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,

今どこにいるのか

F=S_{0}(1-\delta )^{n(T)}e^{rT}\,

これは、配当金を支払う株式の先物価格です。

アメリカの選択肢

アメリカンオプションの価格を求める問題は、オプションを実行する最適なタイミングを求める最適停止問題と関連している。アメリカンオプションは満期日前の任意の時点で行使できるため、ブラック・ショールズ方程式は次の形式の変分不等式となる。

{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV\leq 0

^{[ 26 ]}

と共に $V(S,t)\geq H(S)$ どこ $H(S)$ 株価におけるペイオフを表す $S$ そして最終条件： $V(S,T)=H(S)$ 。

一般にこの不等式には閉形式の解はありませんが、配当のないアメリカンコールはヨーロピアンコールと等しく、ロール・ゲスケ・ホエイリー法は配当が1つのアメリカンコールの解を提供します。^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}ブラックの近似も参照してください。

Barone-AdesiとWhaley ^{[ 29 ]}は、さらに近似式を示しています。ここでは、確率微分方程式（任意のデリバティブの値に対して有効）が、ヨーロピアンオプションの価値と早期行使プレミアムの2つの要素に分割されます。いくつかの仮定の下で、後者の解を近似する二次方程式が得られます。この解には、臨界値を見つけることが含まれます。 $s*$ 早期運動と成熟まで運動を続けることのどちらでも構わないということになる。^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}

ビャークスンドとステンスランド^{[ 32 ]は}、トリガー価格に対応する行使戦略に基づく近似値を提示している。ここで、原資産価格がトリガー価格以上であれば行使するのが最適であり、その値は等しくなければならない。 $S-X$ そうでなければ、オプションは「(i) ヨーロピアンアップアンドアウトコールオプション... および (ii) オプションが満期日より前にノックアウトされた場合にノックアウト日に受け取るリベート」に帰着する。この式は、プットコールパリティを使用してプットオプションの評価用に容易に修正できる。この近似は計算コストが低く、この方法は高速であり、この近似は長期オプションの価格設定において Barone-Adesi および Whaley よりも正確である可能性があることを示す証拠がある。^{[ 33 ]}

永久プット

アメリカン・プット・オプションの一般的な解析解は存在しないが、永久オプションの場合（つまり、オプションが決して期限切れにならない場合）には、そのような公式を導き出すことができる。 $T\rightarrow \infty$ ) ^{[ 34 ]}この場合、オプションの時間的減衰はゼロに等しくなり、ブラック・ショールズ偏微分方程式は常微分方程式になります。 ${1 \over {2}}\sigma ^{2}S^{2}{d^{2}V \over {dS^{2}}}+(r-q)S{dV \over {dS}}-rV=0$ させて $S_{-}$ オプションを行使するのに最適な下限値を示します。境界条件は次のとおりです。 $V(S_{-})=K-S_{-},\quad {dV \over {dS}}(S_{-})=-1,\quad V(S)\leq K$ 常微分方程式の解は、任意の2つの線形独立な解の線形結合で表されます。 $V(S)=A_{1}S^{\lambda _{1}}+A_{2}S^{\lambda _{2}}$ のために $S_{-}\leq S$ この解を常微分方程式に代入すると、 $i={1,2}$ 収量： $\left[{1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}(\lambda _{i}-1)+(r-q)\lambda _{i}-r\right]S^{\lambda _{i}}=0$ 項を並べ替えると次のようになる。 ${1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}^{2}+\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)\lambda _{i}-r=0$ 二次方程式の解の公式を用いると、 $\lambda _{i}$ は： ${\begin{aligned}\lambda _{1}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)+{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\\\lambda _{2}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)-{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\end{aligned}}$ 永久プットの有限解を得るためには、境界条件がプットの価値に上下限の有限境界を規定するため、 $A_{1}=0$ 解決策につながる $V(S)=A_{2}S^{\lambda _{2}}$ 最初の境界条件から、次のことが分かります。 $V(S_{-})=A_{2}(S_{-})^{\lambda _{2}}=K-S_{-}\implies A_{2}={K-S_{-} \over {(S_{-})^{\lambda _{2}}}}$ したがって、永久プットオプションの価値は次のようになります。 $V(S)=(K-S_{-})\left({S \over {S_{-}}}\right)^{\lambda _{2}}$ 2番目の境界条件から、運動の下限境界の位置がわかります。 ${dV \over {dS}}(S_{-})=\lambda _{2}{K-S_{-} \over {S_{-}}}=-1\implies S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}$ 結論として、 ${\textstyle S\geq S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}}$ 永久アメリカン・プットオプションの価値は以下のとおりです。 $V(S)={K \over {1-\lambda _{2}}}\left({\lambda _{2}-1 \over {\lambda _{2}}}\right)^{\lambda _{2}}\left({S \over {K}}\right)^{\lambda _{2}}$

バイナリーオプション

境界条件としてヘヴィサイド関数を用いたブラック・ショールズ微分方程式を解くことで、あらかじめ定義された行使価格より1単位高い価格で、低い価格では何も支払わないオプションの価格設定が得られる。^{[ 35 ]}

実際、バニラコールオプション（またはプットオプション）の価格に関するブラック・ショールズ式は、コールオプションを資産オアナッシングコールオプションからキャッシュオアナッシングコールオプションを差し引いたものに分解することで解釈でき、プットオプションについても同様です。バイナリーオプションは分析が容易で、ブラック・ショールズ式の2つの項に対応します。

現金か無かの電話

満期時のスポット価格がストライク価格を上回った場合、1単位の現金が支払われます。その価値は次のように表されます。

C=e^{-r(T-t)}N(d_{2}).\,

現金か無かのプット

満期時のスポット価格がストライク価格を下回った場合、1単位の現金が支払われます。その価値は次のように表されます。

P=e^{-r(T-t)}N(-d_{2}).\,

資産か無かのコール

満期時のスポット価格がストライク価格を上回った場合、資産1単位が支払われます。その価値は次のように表されます。

C=Se^{-q(T-t)}N(d_{1}).\,

資産か無かのプット

満期時のスポット価格がストライク価格を下回った場合、資産1単位が支払われます。その価値は次のように表されます。

P=Se^{-q(T-t)}N(-d_{1}),

外国為替（FX）

FOR/DOM為替レートをSとすると（つまり、外貨1単位は国内通貨S単位に相当する）、満期時のスポットレートがストライクレートを上回るか下回る場合に国内通貨1単位を支払うことは、それぞれ現金または無のコールオプションとプットオプションと全く同じであることがわかる。同様に、満期時のスポットレートがストライクレートを上回るか下回る場合に外貨1単位を支払うことは、それぞれ資産または無のコールオプションとプットオプションと全く同じである。したがって、 $r_{f}$ 外国の金利、 $r_{d}$ 国内金利、その他は上記と同じ条件で、以下の結果が得られる。

デジタルコール（これはFOR/PUT DOM）の場合、現在価値として得られる国内通貨1単位が支払われます。

C=e^{-r_{d}T}N(d_{2})\,

デジタルプット（これはプットFOR/コールDOM）の場合、現在価値として得られる国内通貨1単位が支払われます。

P=e^{-r_{d}T}N(-d_{2})\,

デジタルコール（これはコールFOR/プットDOM）の場合、現在価値として得られる外貨1単位が支払われます。

C=Se^{-r_{f}T}N(d_{1})\,

デジタルプット（これはプットFOR/コールDOM）の場合、現在価値として得られる外貨1単位が支払われます。

P=Se^{-r_{f}T}N(-d_{1})\,

スキュー

標準的なブラック・ショールズ・モデルでは、リスク中立的な世界におけるバイナリーオプションのプレミアムは、期待値＝イン・ザ・マネーとなる確率×単位を現在価値に割り引いた値として解釈できます。ブラック・ショールズ・モデルは分布の対称性を前提としており、資産の分布の歪度を無視しています。マーケットメーカーは、原資産の単一の標準偏差を使用する代わりに、このような歪度を調整します。 $\sigma$ すべてのストライキにおいて、可変の $\sigma (K)$ ボラティリティは行使価格に依存するため、ボラティリティの歪みが考慮される。この歪みは、通常のオプションよりもバイナリーオプションに大きな影響を与えるため重要である。

バイナリーコールオプションは、満期までの期間が長い場合、2つのバニラオプションを使用したタイトなコールスプレッドに似ています。バイナリーキャッシュオアナッシングオプションCのストライクKにおける価値は、無限小のタイトスプレッドとしてモデル化できます。 $C_{v}$ バニラヨーロピアンコールです: ^{[ 36 ]}^{[ 37 ]}

C=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {C_{v}(K-\epsilon )-C_{v}(K)}{\epsilon }}

したがって、バイナリーコールの値は、バニラコールの価格を権利行使価格に関して微分した値の負の値となる。

C=-{\frac {dC_{v}}{dK}}

変動性の歪みを考慮に入れると、 $\sigma$ は関数である $K$ :

C=-{\frac {dC_{v}(K,\sigma (K))}{dK}}=-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}-{\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial K}}

第1項は、スキューを無視したバイナリーオプションのプレミアムに等しい。

-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}=-{\frac {\partial (SN(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2}))}{\partial K}}=e^{-r(T-t)}N(d_{2})=C_{\text{no skew}}

${\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}$ バニラコールのベガです。 ${\frac {\partial \sigma }{\partial K}}$ これは「スキュー勾配」または単に「スキュー」と呼ばれることもあります。スキューが一般的に負の値である場合、スキューを考慮に入れるとバイナリーコールの値は高くなります。

C=C_{\text{no skew}}-{\text{Vega}}_{v}\cdot {\text{Skew}}

バニラオプションのグリークスとの関係

バイナリーコールは、ストライク価格に関するバニラコールの数学的微分であるため、バイナリーコールの価格はバニラコールのデルタと同じ形状を持ち、バイナリーコールのデルタはバニラコールのガンマと同じ形状を持つ。

ブラック・ショールズ方程式の実践

ブラック・ショールズ・モデルの仮定は、必ずしも全てが経験的に妥当であるとは限りません。このモデルは現実を近似する有用なモデルとして広く用いられていますが、適切に適用するにはその限界を理解する必要があります。モデルを盲目的に踏襲すると、予期せぬリスクにさらされることになります。^[³⁸^]最も重要な限界としては、以下の点が挙げられます。

極端な値動きを過小評価するとテールリスクが発生するが、これはアウトオブザマネーオプションでヘッジすることができる。
即時かつコストのかからない取引を前提としているため、ヘッジが困難な流動性リスクが生じる。
定常過程を仮定することで、ボラティリティリスクが生じるが、これはボラティリティヘッジによってヘッジすることができる。
連続的な時間と連続的な取引を前提としているため、ギャップリスクが生じるが、これはガンマヘッジングによってヘッジすることができる。
このモデルは、アウトオブザマネーのオプションを過小評価し、インザマネーのオプションを過大評価する傾向がある。^{[ 39 ]}

要するに、ブラック・ショールズ・モデルではデルタ・ヘッジだけでオプションを完全にヘッジできるが、実際には他にも多くのリスク要因が存在する。

ブラック・ショールズ・モデルを用いた結果は、モデルの単純化された仮定のために、現実世界の価格とは異なります。重要な制約の一つは、現実には証券価格が厳密な定常対数正規過程に従わないこと、またリスクフリー金利が実際には既知ではなく（そして時間とともに一定ではない）、分散が一定でないことが観察されているため、ボラティリティの変化をモデル化するためにGARCHなどのモデルが用いられています。実証価格とブラック・ショールズ・モデルとの価格の乖離は、極端な価格変動に対応する、アウト・オブ・ザ・マネーのオプションで長年観察されてきました。リターンが対数正規分布に従う場合、このような事象は非常にまれですが、実際にははるかに頻繁に観察されます。

それにもかかわらず、ブラック・ショールズ価格設定は、実務において広く用いられている。^{[ 2 ]}^{： 751}^{[ 40 ]}その理由は以下のとおりである。

計算しやすい
特に価格が重要なポイントを通過する際の価格変動の方向を分析する際には、有用な近似値となる。
より洗練されたモデルのための強固な基盤
可逆的であり、モデルの元の出力である価格を入力として使用して、他の変数の1つを求めることができます。このようにして計算されたインプライドボラティリティは、オプション価格の提示によく使用されます（つまり、価格提示の慣例として）。

最初の点は言うまでもなく有用である。その他の点については、さらに議論の余地がある。

有用な近似値：ボラティリティは一定ではありませんが、モデルの結果は、リスクを最小限に抑えるために適切な比率でヘッジを設定する際に役立つことがよくあります。結果が完全に正確でない場合でも、調整を行うための最初の近似値として機能します。

より洗練されたモデルの基礎: ブラック・ショールズ・モデルは、その欠点のいくつかに対処するために調整できるという点で堅牢です。ボラティリティや金利などの一部のパラメータを定数とみなすのではなく、変数として、つまり追加のリスク源としてみなします。これはグリークス（これらのパラメータの変化に対するオプション価値の変化、または同等にこれらの変数に関する偏微分）に反映され、これらのグリークスをヘッジすることで、これらのパラメータの非定数性によって引き起こされるリスクが軽減されます。ただし、テールリスクや流動性リスクなど、モデルを修正しても軽減できない他の欠陥があり、これらは主にこれらのリスクを最小限に抑えることとストレステストによって、モデルの外で管理されます。

明示的モデリング：この機能は、ボラティリティを事前に仮定して価格を計算するのではなく、モデルを使用してボラティリティを解くことができることを意味します。これにより、特定の価格、期間、および行使価格におけるオプションのインプライド・ボラティリティが得られます。特定の期間と行使価格のセットにわたってボラティリティを解くことで、インプライド・ボラティリティ曲面を構築できます。このブラック・ショールズ・モデルの適用では、価格領域からボラティリティ領域への座標変換が得られます。オプション価格を単位当たりのドル（行使価格、期間、クーポン頻度間で比較するのが難しい）で表示するのではなく、インプライド・ボラティリティで表示できるため、オプション市場でボラティリティの取引が可能になります。

ボラティリティ・スマイル

ブラック・ショールズ・モデルの魅力的な特徴の一つは、ボラティリティ以外のモデルパラメータ（満期までの期間、行使価格、リスクフリー金利、現在の原資産価格）が明確に観測可能である点です。他の条件がすべて同じであれば、オプションの理論値はインプライド・ボラティリティの単調増加関数となります。

異なる権利行使価格と満期日を持つ取引オプションのインプライド・ボラティリティを計算することで、ブラック・ショールズ・モデルを検証できます。ブラック・ショールズ・モデルが成り立つ場合、特定の銘柄のインプライド・ボラティリティは、すべての権利行使価格と満期日で同じになります。しかし実際には、ボラティリティ・サーフェス（権利行使価格と満期日に対するインプライド・ボラティリティの3Dグラフ）は平坦ではありません。

特定の満期におけるインプライド・ボラティリティ・カーブの典型的な形状は、原資産によって異なります。株式は、一般的にカーブが歪んでいます。アット・ザ・マネーと比較すると、ストライク価格が低いほどインプライド・ボラティリティは大幅に高くなり、ストライク価格が高いほどわずかに低くなります。通貨は、より対称的なカーブを示す傾向があり、アット・ザ・マネーでインプライド・ボラティリティが最も低く、両端でボラティリティが高くなります。コモディティは、株式とは逆の挙動を示すことが多く、ストライク価格が高いほどインプライド・ボラティリティが高くなります。

ボラティリティ・スマイルの存在（およびブラック・ショールズ・モデルの他のすべての仮定の違反）にもかかわらず、ブラック・ショールズ偏微分方程式とブラック・ショールズ式は、実務上依然として広く使用されています。典型的なアプローチは、ボラティリティ曲面を市場に関する事実とみなし、そこから得られるインプライド・ボラティリティをブラック・ショールズ評価モデルで使用することです。これは、「正しい価格を得るために間違った式に間違った数値を使用する」と表現されています。^{[ 41 ]}このアプローチは、ヘッジ比率（グリークス）にも使用可能な値を与えます。より高度なモデルが使用される場合でも、トレーダーは、異なる満期、ストライクなどのオプションを評価および比較できるため、ブラック・ショールズのインプライド・ボラティリティの観点から考えることを好みます。ここで開発されたさまざまな代替アプローチについての議論については、金融経済学§ 課題と批判を参照してください。

債券オプションの評価

ブラック・ショールズモデルは、プル・トゥ・パー現象のため、債券に直接適用することはできません。債券が満期日を迎えると、債券に関連するすべての価格が確定し、ボラティリティが低下しますが、単純なブラック・ショールズモデルはこのプロセスを反映していません。この現象に対処するために、ブラックモデルをはじめとするブラック・ショールズモデルの多くの拡張が用いられてきました。^[⁴²^]債券オプション§評価を参照してください。

金利曲線

実際には、金利は一定ではなく、期間（クーポン支払頻度）によって変動します。そのため、金利曲線を補間することで、ブラック・ショールズ式で使用する適切な金利を選択できます。また、金利は時間とともに変動するという点も考慮すべきです。この変動性は、特に長期オプションの価格に大きな影響を与える可能性があります。これは、金利と債券価格が逆相関関係にあるのと同様です。

空売りレート

導出過程に内在する空売りポジションを取ることは、通常、コストがかからないわけではありません。同様に、少額の手数料で買い持ちポジションを貸し出すことも可能です。いずれの場合も、空売りポジションの借入コストと買い持ちポジションの貸出収益の間に著しい非対称性がない限り、ブラック・ショールズ評価においては、これを連続配当として扱うことができます。

批判とコメント

エスペン・ガーダー・ハウグとナシーム・ニコラス・タレブは、ブラック・ショールズ・モデルは、主流の新古典派経済学理論との整合性を高めるために、既存の広く使われているモデルを「リスク」ではなく、実際には不可能な「動的ヘッジ」の観点から単に再構成しただけだと主張している。^{[ 43 ]}また、彼らは、ボネスが1964年にブラック・ショールズのコールオプション価格決定式と「実際には同一」の式を既に発表していたと主張している。^{[ 44 ]}エドワード・ソープも、1967年にブラック・ショールズの式を推測したが、投資家のために利益を上げるためにそれを秘密にしていたと主張している。^{[ 45 ]}エマニュエル・ダーマンとタレブも動的ヘッジを批判し、ブラックとショールズ以前に多くの研究者が同様のモデルを提唱していたと述べている。^{[ 46 ]}これに対し、ポール・ウィルモットはこのモデルを擁護している。^{[ 40 ]}^{[ 47 ]}

ウォーレン・バフェットは、 2008年にバークシャー・ハサウェイの株主宛ての手紙の中で、「ブラック・ショールズ式はオプションのドル建て負債を算定する標準式ではあるものの、長期オプションを評価する際には奇妙な結果を生み出すと私は考えている…ブラック・ショールズ式は金融界で聖典のような地位に近づいている…しかし、この式を長期間に適用すると、とんでもない結果を生み出す可能性がある。公平を期すために言えば、ブラックとショールズはこの点をほぼ間違いなくよく理解していた。しかし、彼らの熱心な信奉者たちは、この2人が最初にこの式を発表した際に付した注意書きを無視しているかもしれない。」と書いている。^[⁴⁸^]

2012年に『未知なるものを求めて：世界を変えた17の方程式』^という本を著したイギリスの数学者イアン・スチュワート[ ⁴⁹^]^[⁵⁰^]は、ブラック・ショールズ方程式が「大規模な経済成長を支えてきた」とし、2007年までに「国際金融システムは年間1京ドル相当のデリバティブ取引を行っていた」と述べた。彼は、ブラック・ショールズ方程式は「取引の数学的正当化」であり、したがって「2008年の金融危機の一因となった、金融の無責任さ、政治的無能さ、歪んだインセンティブ、緩い規制といった複雑な要素の1つ」であると述べた^[⁵¹^]。彼は、「方程式自体が本当の問題ではなく」、金融業界におけるその悪用が問題であると明確にした^[⁵¹^{] 。}

ブラック・ショールズ・モデルは原資産価格が正であることを前提としています。原資産価格が負の場合、このモデルは直接機能しません。^{[ 52 ]}^{[ 53 ]}原資産価格が負になる可能性のあるオプションを扱う場合、実務家はバチェリエ・モデル^{[ 53 ]}^{[ 54 ]}などの別のモデルを使用するか、価格に定数オフセットを追加するだけで済みます。

注記

↑元のモデルでは配当金は想定されていませんでしたが、モデルに簡単な拡張を加えることで、連続的な配当利回り係数に対応できます。

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さらに読む

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トリアナ、パブロ（2009）。鳥に飛行について講義する：数学理論は金融市場を破壊できるか？ワイリー。ISBN 978-0-470-40675-5。本書は、ブラック、ショールズ、マートンモデルを批判的に検証している。

外部リンク

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銀行破綻を引き起こした数式イアン・スチュワート著オブザーバー紙、2012年2月12日
継続的にヘッジできない場合：ブラック・ショールズ・モデルの修正、エマニュエル・ダーマン

導出と解法

グリーン関数を用いたブラック・ショールズ方程式の解法、デニス・シルバーマン教授
数学者テレンス・タオによるブラック・ショールズ方程式の解説記事。

コンピュータ実装

多言語版ブラック・ショールズモデル
Java版ブラック・ショールズ方程式 -以下のリンクへ移動-
Javaにおけるブラック・ショールズ
シカゴオプション価格モデル（グラフ版）
ブラック・ショールズ・マートン・インプライド・ボラティリティ曲面モデル（Java）
オンラインブラック・ショールズ計算ツール

歴史的

1兆ドルの賭け― 2000年2月8日に放送されたNovaの番組の関連ウェブサイト。「この番組は、金融の世界を永遠に変え、開発者に1997年のノーベル経済学賞をもたらした数学上の聖杯、ブラック・ショールズ公式の発明という魅力的な物語を描いています。」
BBCホライズン：いわゆるミダス方式とロングターム・キャピタル・マネジメント（LTCM）の破綻に関するテレビ番組
BBCニュースマガジン「ブラック＝ショールズ：金融危機と関連した数学的公式」（2012年4月27日掲載記事）

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