ピカードグループ

数学において、環空間Xのピカール群はPic( X ) と表記され、X上の可逆層(または直線束)の同型類の群であり、群演算はテンソル積である。この構成は、因子類群またはイデアル類群の構成の大域的バージョンであり、代数幾何学や複素多様体理論でよく用いられる。

あるいは、ピカール群は層コホモロジー群 として定義することもできる。

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,}$

積分スキームの場合、ピカール群はカルティエ因子の類群と同型です。複素多様体の場合、指数層列はピカール群に関する基本的な情報を提供します。

この名前はエミール・ピカールの理論、特に代数曲面上の因子理論に敬意を表して付けられたものです。

• デデキント域のスペクトルのピカール群はその理想類群である。
• k体に対する射影空間 P n ⁽ k )上の可逆層はねじり層なので、 P ⁿ ( k )のピカール群はZと同型です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m),\,}$
• k上の 2 つの原点を持つアフィン直線のピカール群はZと同型です。
• 次元複素アフィン空間のピカール群：、指数列はコホモロジーにおける次の長完全列を与える。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0}$

  ${\displaystyle \dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots }$

そして^[1]は収縮可能であるためであり、そしてドルボー同型を適用してドルボー–グロタンディークの補題によって計算することができる。${\displaystyle H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })}$${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0}$

ピカール群（の表現可能な関数バージョン）上のスキーム構造、ピカールスキームの構築は、代数幾何学、特にアーベル多様体の双対性理論における重要なステップです。これはグロタンディーク（1962）によって構築され、マンフォード（1966）とクライマン（2005）によっても説明されました。

古典代数幾何学にとって最も重要な場合、特性ゼロの体上の非特異 完備多様体 Vに対して、ピカール方式の恒等式の連結成分はピカール多様体と呼ばれるアーベル多様体であり、 Pic ⁰ ( V ) と表記される。ピカール多様体の双対はアルバネーゼ多様体であり、 Vが曲線である特定のケースでは、ピカール多様体はVのヤコビ多様体と自然に同型である。しかし、正の特性を持つ体に対して、井草はPic ⁰ ( S ) が非約数であり、したがってアーベル多様体ではない滑らかな射影面Sの例を構築した。

Pic( V )/Pic ⁰ ( V )の商は、NS( V )で示される有限生成アーベル群であり、 Vのネロン・セヴェリ群である。言い換えれば、ピカール群は正確な数列に当てはまる。

${\displaystyle 1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 1.\,}$

NS( V ) の階数が有限であるという事実は、フランチェスコ・セヴェリの基底定理です。階数はVのピカール数であり、ρ( V ) と表記されることが多いです。幾何学的には、 NS( V ) はV上の因子の代数同値類を表します。つまり、因子の線形同値の代わりに、より強い非線形同値関係を使用すると、分類は離散不変量に適合するようになります。代数同値性は、交差数による本質的に位相的な分類である数値同値性と密接に関連しています。

f : X → S をスキームの射とする。相対ピカール関手（スキームの場合は相対ピカールスキーム）は次のように与えられる: ^[2]任意のSスキームTに対して、

${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)=\operatorname {Pic} (X_{T})/f_{T}^{*}(\operatorname {Pic} (T))}$

ここで、 はfのベース変化であり、f _T ^{* は}プルバックです。 ${\displaystyle f_{T}:X_{T}\to T}$

任意の幾何学的点s → Tに対して、 sに沿ったLの引き戻しがファイバーX _s上の可逆層として次数r を持つ場合、 L は次数r を持つといいます(次数がX _sのピカール群に対して定義されている場合)。 ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)}$${\displaystyle s^{*}L}$

• 層コホモロジー
• チャウチャウ
• カルティエ除数
• 正則直線束
• 理想的なクラスグループ
• アラケロフ級群
• グループスタック
• ピカード部門

• Grothendieck、A. (1962)、V. Les schemas de Picard。存在の理論、ブルバキセミナー、t. 14: アネ 1961/62、暴露 223-240、いいえ。 7、トークNo. 232、143–161ページ
• グロタンディーク、A. (1962)、VI。ピカールのスキーマ。 Propriétés générales、Séminaire Bourbaki、t. 14: アネ 1961/62、暴露 223-240、いいえ。 7、トークNo. 236、221–243ページ
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157、OCLC  13348052
• 井草 淳一(1955)、「抽象代数幾何学におけるいくつかの問題について」、Proc. Natl. Acad. Sci. USA、41 (11): 964–967、Bibcode :1955PNAS...41..964I、doi : 10.1073/pnas.41.11.964、PMC  534315、PMID  16589782
• クライマン、スティーブン L. (2005)、「ピカール スキーム」、基礎代数幾何学、Math. Surveys Monogr.、vol. 123、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、pp. 235–321、arXiv : math/0504020、Bibcode :2005math......4020K、MR  2223410
• マンフォード、デイビッド（1966）、代数面上の曲線に関する講義、数学研究年報、第59巻、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-07993-6、MR  0209285、OCLC  171541070
• マンフォード、デイヴィッド（1970）、アーベル多様体、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-560528-0、OCLC  138290