ザリスキ面

数学の一分野である代数幾何学において、ザリスキ面は、特性 p > 0 の体上の面であり、射影平面から面への次数 p の支配的な分離不可能な写像が存在する。特に、すべてのザリスキ面は単有理面である。これらは、1958 年に特性p > 0 の有理ではない単有理面 の例を示すためにそれらを使用したオスカー・ザリスキにちなんで、1977 年にピオトル・ブラスによって命名された 。(対照的に、特性 0 では、カステルヌオーヴォの定理により、すべての単有理面は有理面となる。)

ザリスキ面は、次の形式の 既約多項式で定義されるアフィン3次元空間A ³の面に対して双有理的である。

${\displaystyle z^{p}=f(x,y).\ }$

次の問題は、1971 年に Oscar Zariski によって提起されました。Sを、幾何種数がゼロの Zariski 面とします。S は必ず有理曲面になりますか? p = 2 およびp = 3 の場合、上記の問題の答えは、1977 年に Piotr Blass がミシガン大学の博士論文で、また 1978 年に William E. Lang がハーバード大学の博士論文で示したように、否定になります。Kentaro Mitsui (2014) は、すべての特性 p>0 で Zariski の質問に否定的な答えを与えるさらなる例を発表しました。ただし、彼の方法は現時点では非構成的であり、p>3 の明示的な方程式はありません。

• 代数曲面のリスト

• ブラス、ピオトル、ラング、ジェフリー（1987）、特性p >0のザリスキ面と微分方程式、純粋および応用数学のモノグラフと教科書、第 106 巻、ニューヨーク：マルセル デッカー社、ISBN 978-0-8247-7637-4、MR  0879599
• 三井健太郎 (2014)、「ザリスキー面上のザリスキーの問題について」、数学 Z.、276 ( 1– 2): 237– 242、doi :10.1007/s00209-013-1195-0、MR  3150201
• ザリスキ、オスカー(1958)、「代数面のカステルヌオーヴォの合理性基準 pa=P2=0 について」、イリノイ数学ジャーナル、2 : 303– 315、ISSN  0019-2082、MR  0099990