行儀の良い統計

科学文献では、「良好な統計量」という用語は、数学における「良好な性質」とほぼ同じ意味（つまり、「非病理的」という意味）で使われることが多いようですが^{[ 1 ] [ 2 ]}、数学的に正確な意味を与えることもでき、その方法は複数あります。前者の場合、この用語の意味は文脈によって異なります。後者の場合、数学的な条件を用いて、それぞれの意味で良好な性質を持つ統計量を持つ分布の組み合わせのクラスを導き出すことができます。

第一の定義：良好な統計的推定量の分散は有限であり、その平均に関する条件の一つは、推定対象のパラメータに関して微分可能であることである。 ^{[ 3 ]}

第二の定義：統計量は単調で、明確に定義され、局所的に十分である。^{[ 4 ]}

より正式には、これらの条件は次のように表現できます。${\textstyle T}$これは統計です${\textstyle \theta }$それはサンプルの関数であり、${\textstyle X_{1},\dots ,X_{n}}$。 のために${\textstyle T}$行儀よく振る舞うためには、以下のことが必要です。

${\textstyle \operatorname {E} _{\theta }\left(T\right)}$微分可能${\textstyle \theta \quad \forall \quad \theta \in \Theta }$、そして導関数は以下を満たす。

パラメータTの分布法則を導出するために、${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$統計量は、いくつかの技術的な特性を満たさなければならない。すなわち、統計量sは、次の3つの条件を満たす場合に、良好な性質を持つと言われる。

1. 単調性。任意の固定シードに対して、sと?の間には一様単調な関係が存在する。 ${\displaystyle \{z_{1},\ldots ,z_{m}\}}$（１）の唯一の解が得られるようにする。
2. 明確に定義されている。各観測値 sについて、統計量は ​​ ? のすべての値、つまり任意のサンプル仕様に対して明確に定義されている。$\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}\in {\mathfrak {X}}^{m}}$そのため${\displaystyle \rho (x_{1},\ldots ,x_{m})=s}$確率密度が 0 と異なるため、非全射写像を考慮することを避ける${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{m}}$に${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$つまり、関連付ける${\displaystyle s}$サンプルへ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$ サンプル自体を生成できなかった？
3. 地域的充足性。${\displaystyle \{{\breve {\theta }}_{1},\ldots ,{\breve {\theta }}_{N}\}}$これは観測されたsに対する真のTサンプルを構成するため、各サンプリング値に同じ確率分布を割り当てることができます。$\displaystyle {\breve {\theta }}_{j}=h^{-1}(s,{\breve {z}}_{1}^{j},\ldots ,{\breve {z}}_{m}^{j})}$は、シード値を持つ(1)の解である。${\displaystyle \{{\breve {z}}_{1}^{j},\ldots ,{\breve {z}}_{m}^{j}\}}$種子は均等に分布しているため、唯一の注意点は、種子の独立性、あるいは逆に、種子が ? 自体に依存していることです。このチェックはs に関係する種子に限定できます。つまり、この欠点は、 の分布を にすることで回避できます。${\displaystyle \{Z_{1},\ldots ,Z_{m}|S=s\}}$は に依存しません 。この特性を確認する簡単な方法は、シード仕様を にマッピングすることです。${\displaystyle x_{i}}$s の仕様。マッピングはもちろん ? に依存しますが、${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{m}|S=s\}}$上記のシード独立性が成り立つ場合、はに依存しない。これは統計量Sの局所的十分性 のように見える条件である。

本稿の残りの部分は、主に統計的推論に適用されるデータマイニング手順の文脈、特にアルゴリズム的推論と呼ばれる計算集約的な手順のグループについて論じる。

アルゴリズム推論において、統計量の最も重要な特性は、標本分布から母集団分布を表すパラメータの分布へと確率的考察を移行させるピボットステップであり、この統計的推論ステップの結論が実際に観測された標本と整合するようにするものである。

デフォルトでは、大文字 ( U、Xなど) はランダム変数を表し、小文字 ( u、x ) は対応する実現値を表し、ゴシック体 (U、X など) はランダム変数を表します。${\displaystyle {\mathfrak {U}}、{\mathfrak {X}}}$）変数が仕様を取る領域。サンプルに直面して${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$サンプリング機構が与えられた場合${\displaystyle (g_{\theta },Z)}$、 と${\displaystyle \theta }$スカラーの場合、確率変数Xについては、次のようになります。 $${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\{g_{\theta }(z_{1}),\ldots ,g_{\theta }(z_{m})\}.}$$ サンプリング機構${\displaystyle (g_{\theta },{\boldsymbol {z}})}$統計量sの、関数として ? の${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$仕様は${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$、マスター方程式によって定義される説明関数を持つ。

適切な種子${\displaystyle {\boldsymbol {z}}=\{z_{1},\ldots ,z_{m}\}}$パラメータは ？

• Bahadur, RR ; Lehmann, EL (1955). "十分性と統計的決定関数に関する2つのコメント" . Annals of Mathematical Statistics . 26 : 139– 142. doi : 10.1214/aoms/1177728604 .