リーマン積分

実解析において、リーマン積分は区間上の関数の積分を厳密に定義するものです。これは、関数のグラフの下の領域を、垂直な長方形の面積の有限和で近似することによって積分を定義します。閉区間上のすべての連続関数を含む適切な関数については、区間の分割が細かくなるにつれて、これらのリーマン和は単一の極限値に近づきます。この極限値が積分を定義し、極限値に十分近いリーマン和は数値近似として使用できます。

ベルンハルト・リーマンは、 1854年にゲッティンゲン大学の教員に提出され、1868年に出版された論文の中で積分を導入しました。^{[ 1 ]}これは初等微積分で最も一般的に導入される積分ですが、高度な解析では、ルベーグ積分などのより一般的な概念に置き換えられることがよくあります。

グラフ上の曲線を考えます。この曲線はx軸より上にあり、x = aから始まりx = bで終わります。私たちが求めたいのは、その曲線の下、 aからbまでの領域です。この領域は、次の規則を満たすグラフ上のすべての点( x , y )の集合として表すことができます。a ≤ x ≤ b ( x座標はaとbの間にある)、0 < y < f ( x ) ( y座標は0から曲線の高さf ( x )の間にある)。数学的には、この領域は集合構成記法で次のように 表すことができます。$${\displaystyle S=\left\{(x,y)\,:\,a\leq x\leq b\,,\,0<y<f(x)\right\}.}$$

この面積を測定するために、リーマン積分を用います。リーマン積分は次のように表されます。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

この表記は「 aからbまでのf ( x )の積分」を意味し、 x = aとx = bの間の、曲線f ( x )の下側でx軸の上側の正確な面積を表します。

リーマン積分の基本的な考え方は、面積を小さな単純な形状（長方形など）に分割し、それぞれの面積を足し合わせ、さらに長方形をどんどん小さくしていくことで、より正確な面積の推定値を得るというものです。最終的に、長方形が無限に小さくなったとき、合計は正確な面積となり、それが積分によって表される値となります。

曲線がx軸より下に沈む場合、積分は符号付き面積を与えます。これは、積分がx軸より上の部分を正として加算し、 x軸より下の部分を負として減算することを意味します。したがって、結果は${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$曲線がx軸より上にあるか下にあるかによって、正の値、負の値、またはゼロの値をとることができます。

させて${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$関数fは、すべての点で値1をとる関数とする。区間[0, 1]におけるfの任意のリーマン和は値1となるため、区間[0, 1]におけるfのリーマン積分は1である。

させて${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }:\mathbb {R} \to [0,1]}$[0, 1]の有理数の指示関数とする。すなわち、${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$有理数では1、無理数では0の値をとる。

まず、x ₀、 ...、x _nとt ₀、 ...、t _{n − 1}をタグ付き分割とします（各t _iはx _iとx _{i + 1}の間にあります）。ε > 0を選択します。t i_は既に選択されているため、これらの点におけるfの値を変更することはできません。しかし、各t _iの周りの分割を小さな断片に分割すると、 t _iの影響を最小限に抑えることができます。次に、新しいタグを慎重に選択することで、リーマン和の値を0 または 1 からεの範囲内に収めることができます。

まず、分割を細分化します。t _iはn個あり、それらの合計効果をε未満にしたいとします。各t i をε / nより短い区間に限定すると、各t _iのリーマン和への寄与は、少なくとも0 · ε / n、最大で1 · ε / nになります。これにより、合計和は少なくとも 0、最大でεになります。そこで、δ をε / nより小さい正の数とします。2 つのt _{i が}互いにδ以内にある場合は、 δ を小さくします。あるt _iが何らかのx _jからδ以内にあるが、t _{i が}x _jと等しくない場合は、δ を小さくします。t iとx _jは有限個しかないので、常にδ を十分に小さくすることができます。

次に、各t _iに対して、分割に 2 つのカットを追加します。一方のカットはt _i − δ /2に、もう一方のカットはt _i + δ /2に設定されます。これらのカットのいずれかが区間 [0, 1] から外れた場合は、除外します。t _{i は}、部分区間に対応するタグになります 。$${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$$

t _{i が}x _jのいずれかと直接重なる場合、t _{i を}両方の区間のタグとします。 $${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right],\quad {\text{and}}\quad \left[x_{j},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$$

他の部分区間のタグも選択する必要があります。タグの選択方法は2つあります。1つ目は、常に有理数点を選択して、リーマン和が最大になるようにする方法です。これにより、リーマン和の値は少なくとも1 − εになります。2つ目は、常に無理数点を選択して、リーマン和が最小になるようにする方法です。これにより、リーマン和の値は最大でεになります。

任意の分割から始めて、最終的にゼロまたはイチにいくらでも近づけることができたので、最終的に何らかの数s の近くに閉じ込められると言うのは誤りであり、したがってこの関数はリーマン積分可能ではありません。しかし、ルベーグ積分可能です。ルベーグの意味では、この関数はほとんど至るところでゼロなので、その積分はゼロになります。しかし、これはリーマン積分の範囲を超える事実です。

さらにひどい例もある。${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$はリーマン積分可能な関数と等価（つまり、ほとんど至るところで等しい）ですが、リーマン積分可能な関数と等価でない非リーマン積分可能な有界関数も存在します。たとえば、C をSmith–Volterra–Cantor 集合とし、I _Cをその指示関数とします。C は Jordan 可測ではないため、I Cはリーマン_積分可能ではありません。さらに、I _Cと等価な関数gはリーマン積分可能ではありません。g はI C_と同様に稠密集合上でゼロでなければならないため、前の例と同様に、gの任意のリーマン和は、任意の正の数εに対してε以内の 0 の細分化を持ちます。しかし、 gのリーマン積分が存在する場合、それはI _Cのルベーグ積分、つまり1/2 と等しくなければなりません。したがって、gはリーマン積分可能ではありません。 

リーマン積分をダルブー積分と定義することはよく行われる。これは、ダルブー積分の方が技術的に単純であること、そして関数がリーマン積分可能であるのは、それがダルブー積分可能である場合に限るからである。

微積分に関する書籍の中には、一般的なタグ付き分割を使用せず、特定の種類のタグ付き分割に限定しているものがあります。分割の種類が過度に限定されると、積分不可能な関数が積分可能であるかのように見えてしまうことがあります。

よく用いられる制約の一つに、「左手」リーマン和と「右手」リーマン和の使用があります。左手リーマン和では、すべてのiに対してt _i = x _iであり、右手リーマン和では、すべてのiに対してt _i = x _{i + 1 です}。この制約だけでは問題は生じません。各t _iで分割することで、任意の分割を左手和または右手和に細分化することができます。より形式的に言えば、すべての左手リーマン和の集合とすべての右手リーマン和の集合は、すべてのタグ付き分割の集合において同じ最終値となります。

もう1つの一般的な制約は、区間の規則的な細分化を使用することです。たとえば、[0, 1]のn番目の規則的な細分化は、次の区間で構成されます。 $${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{n}}\right],\left[{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}}\right],\ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right].}$$

繰り返しますが、この制約自体は問題を引き起こしませんが、この事実を理解するために必要な推論は、左リーマン和や右リーマン和の場合よりも困難です。

しかし、これらの制約を組み合わせて、規則的に分割された区間上で左または右のリーマン和のみを使用するようにすることは危険です。関数がリーマン積分可能であることが事前にわかっている場合、この手法は積分の正しい値を与えます。しかし、これらの条件下では、指示関数は${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$区間[0, 1]で積分可能で、積分値が 1 になるように見える: 各部分区間の端点は有理数となるため、関数は常に有理数で評価され、したがって常に 1 に等しいように見える。この定義の問題点は、積分を 2 つの部分に分割しようとすると明らかになる。次の式が成り立つはずである: $${\displaystyle \int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx=\int _{0}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx.}$$

通常の分割と左または右のリーマン和を使用すると、0と1以外のすべての端点が無理数になるため、左側の2つの項はゼロになりますが、右側の項は1になります。

上述のように、リーマン積分は積分を拒否することでこの問題を回避する。${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }.}$ルベーグ積分は、これらの積分がすべて0になるように定義される。

コンパクト区間[ a , b ]上の有界関数は、ほとんど至るところで連続である場合（不連続点の集合の測度がルベーグ測度の意味でゼロである場合）に限り、リーマン積分可能である。これは、ルベーグ・ヴィターリの定理（リーマン積分可能関数の特徴付けに関する定理）。ジュゼッペ・ヴィターリとアンリ・ルベーグ測度ゼロの概念を用いるが、ルベーグの一般測度や積分は用いない。

積分可能性条件は様々な方法で証明できますが、^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}そのうちの1つを以下に概略的に示します。

特に、可算集合である任意の集合はルベーグ測度がゼロであり、したがって、有限個または可算個の不連続点しか持たない有界関数（コンパクト区間上）はリーマン積分可能である。[ a , b ]上でのリーマン積分可能性のもう 1 つの十分条件は、測度の概念を伴わないが、 [ a , b ) (または( a , b ] )のすべての点に右極限 (または左極限) が存在することである。^{[ 12 ]}

有界集合の指示関数がリーマン積分可能であるのは、その集合がジョルダン可測である場合に限る。リーマン積分は、測度論的にはジョルダン測度に関する積分として解釈できる。

実数値関数が区間[ a , b ]上で単調であれば、その不連続点の集合は高々可算個であり、したがってルベーグ測度はゼロであるため、リーマン積分可能です。区間[ a , b ]上の実数値関数がリーマン積分可能であれば、ルベーグ積分可能です。つまり、リーマン積分可能性はルベーグ積分可能性よりも強い（つまり、満たすのがより難しい）条件です。逆は成り立ちません。すべてのルベーグ積分可能な関数がリーマン積分可能であるとは限りません。

ルベーグ・ヴィタリの定理は、実数値の有界関数が区間[ a , b ]上でリーマン積分可能であることを妨げる要因として、すべての種類の不連続性が同じ重みを持つことを意味するものではありません。実際、特定の不連続性は、関数のリーマン積分可能性に全く影響を与えません。これは、関数の不連続性を分類した結果です。

f _{n が}[ a , b ]上で一様収束する数列で極限がfである場合、すべてのf _nのリーマン積分可能性はfのリーマン積分可能性を意味し、 $${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.}$$

しかし、ルベーグ単調収束定理（単調な点ごとの極限について）はリーマン積分には成り立ちません。したがって、リーマン積分では、積分記号の下で極限を取ることは、ルベーグ積分の場合よりも論理的に正当化するのがはるかに困難です。^{[ 13 ]}

リーマン積分をユークリッドベクトル空間に値をとる関数に拡張するのは容易である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$任意のnに対して。積分は成分ごとに定義されます。つまり、f = ( f ₁ , ..., f _n )の場合 、$${\displaystyle \int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).}$$

特に、複素数は実ベクトル空間であるため、複素数値関数の積分が可能になります。

リーマン積分は有界区間でのみ定義され、非有界区間にはうまく拡張できません。最も簡単な拡張方法は、そのような積分を極限、つまり広義積分として定義することです。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty \atop b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

この定義にはいくつかの微妙な点があり、例えば、コーシー主値を計算することが常に同等であるとは限らないという事実などが挙げられる。$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx.}$$

例えば、符号関数f ( x ) = sgn( x )を考えてみましょう。これはx = 0で 0 、x > 0で 1 、x < 0で −1 です。対称性により、 $${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0}$$ 常に、aに関係なく。しかし、積分区間が実数直線を埋めるように拡大する方法はたくさんあり、他の方法では異なる結果が生じる可能性があります。言い換えれば、多変数極限は常に存在するとは限りません。計算できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{aligned}}}$$

一般に、この不適切なリーマン積分は定義されていません。区間が実数直線に近づく方法を標準化しても、不気味なほど直感に反する結果につながるため、うまくいきません。例えば、不適切な積分は常に次のようになることに同意するとします。 $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx,}$$ すると、並進f ( x − 1)の積分は −2 となるため、この定義はシフトに対して不変ではなく、非常に望ましくない性質となります。実際、この関数は不適切なリーマン積分を持たないだけでなく、ルベーグ積分も定義されていません (それは∞ − ∞に等しくなります)。

残念ながら、不適切リーマン積分は十分な力を持っていません。最も深刻な問題は、不適切リーマン積分と関数の極限との可換性に関する広く適用可能な定理がないことです。フーリエ級数などの応用では、関数の近似値の積分を用いて関数の積分を近似できることが重要です。適切リーマン積分については、標準的な定理によれば、f _{n が}コンパクト集合[ a , b ]上でfに一様に収束する関数列である場合、 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

実数直線のような非コンパクト区間では、これは偽です。例えば、f _n ( x )が[0, n ]でn ⁻¹であり、それ以外の場所では 0 であるとします。すべてのnに対して、次のようになります。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx=1.}$$

数列( f _n )はゼロ関数に一様に収束し、明らかにゼロ関数の積分はゼロである。したがって、 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f\,dx\neq \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx.}$$

これは、非有界区間における積分の場合、関数の一様収束性だけでは積分記号を通して極限値を渡すことが許されないことを示しています。このため、リーマン積分は（リーマン積分が両辺に正しい値を割り当てるにもかかわらず）応用上は使い物になりません。なぜなら、極限値とリーマン積分を交換するための一般的な基準が他に存在せず、そのような基準がなければ、被積分関数を近似することによって積分を近似することが困難になるからです。

より良い方法は、リーマン積分を捨ててルベーグ積分を用いることです。ルベーグ積分の定義は、明らかにリーマン積分の一般化ではありませんが、すべてのリーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能であり、両方の積分が定義されている場合はその値が一致することを証明するのは難しくありません。さらに、有界区間で定義された関数fがリーマン積分可能であるのは、f が有界であり、 fが不連続となる点の集合のルベーグ測度がゼロである場合のみです。

実際にはリーマン積分の直接的な一般化である積分は、ヘンストック・クルツヴァイル積分である。

リーマン積分を一般化するもう一つの方法は、リーマン和の定義における因子x _{k + 1} − x _kを別のものに置き換えることです。大まかに言えば、これにより積分区間の長さの概念が変わります。これはリーマン・スティルチェス積分で採用されているアプローチです。

多変数微積分では、関数のリーマン積分は${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$多重積分です。

リーマン積分は、多くの理論的目的には適していません。リーマン積分の技術的な欠点のいくつかは、リーマン・スティルチェス積分で修正でき、ほとんどはルベーグ積分で解消されますが、後者は不適切積分を十分に扱うことができません。ゲージ積分は、ルベーグ積分の一般化であり、同時にリーマン積分により近いものです。これらのより一般的な理論は、リーマン積分が存在しない、より「ギザギザ」または「激しく振動する」関数の積分を可能にしますが、リーマン積分が存在する場合には、これらの理論はリーマン積分と同じ値を与えます。

教育現場では、ダルブー積分は扱いやすいより単純な定義を提供し、リーマン積分を導入するために使用できます。ダルブー積分はリーマン積分が定義されるときに定義され、常に同じ結果を与えます。逆に、ゲージ積分はリーマン積分の単純でより強力な一般化であり、一部の教育者は入門微積分コースでリーマン積分の代わりにゲージ積分を使用するべきだと主張しています。^{[ 14 ]}

• エリア
• 反微分
• ルベーグ積分

• アクサー、シェルドン（2020）。測度、積分、実解析。シュプリンガー。
• Shilov, GE、および Gurevich, BL、1978年。『積分、測度、および微分：統一的アプローチ』、Richard A. Silverman 訳、Dover Publications。ISBN 0-486-63519-8。
• アポストル、トム（1974）、『数学解析』、アディソン・ウェスリー

• ウィキメディア・コモンズにあるリーマン積分に関連するメディア
• 「リーマン積分」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]