アルゴリズム推論

X をパラメータを持つガウス変数とする^{[ 1 ]}${\displaystyle \mu }$そして$\displaystyle \sigma ^{2}}$そして${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{m}\}}$そこから抽出したサンプル。統計学の活用

$${\displaystyle S_{\mu }=\sum _{i=1}^{m}X_{i}}$$

そして

$$${\displaystyle S_{\sigma ^{2}}=\sum _{i=1}^{m}(X_{i}-{\overline {X}})^{2},{\text{ ただし }}{\overline {X}}={\frac {S_{\mu }}{m}}}$$$

は標本平均であり、

$${\displaystyle T={\frac {S_{\mu }-m\mu }{\sqrt {S_{\sigma ^{2}}}}}{\sqrt {\frac {m-1}{m}}}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sqrt {S_{\sigma ^{2}}/(m(m-1))}}}}$$

は、パラメータ（自由度）m - 1のスチューデントのt分布（Wilks 1962 ）に従うので、  

$${\displaystyle f_{T}(t)={\frac {\Gamma (m/2)}{\Gamma ((m-1)/2)}}{\frac {1}{\sqrt {\pi (m-1)}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{m-1}}\right)^{m/2}.}$$

2 つの分位点間のTを測定し、その式を関数として反転する${\displaystyle \mu }$信頼区間を取得する${\displaystyle \mu }$。

サンプル仕様は以下のとおりです。

$${\displaystyle \mathbf {x} =\{7.14,6.3,3.9,6.46,0.2,2.94,4.14,4.69,6.02,1.58\}}$$

サイズm = 10 の場合、統計を計算します${\displaystyle s_{\mu }=43.37}$そして$s_{\sigma ^{2}}=46.07$、そして、0.90の信頼区間を得る。${\displaystyle \mu }$極値（3.03、5.65  ）を含む。

1,000 個の独立したビットのサンプルがあれば、基礎となるベルヌーイ変数のパラメータpの推定における絶対誤差を、少なくとも0.99 の信頼度で最大 0.081 に抑えるのに十分です。同じサイズでは、ニューヨークに住む 20 歳の男性が 1,000 人のニューヨーク市民の身長、体重、ウエストラインの範囲に当てはまらない確率を誤差として特定する場合、同じ 0.99 の信頼度で 0.088 未満の閾値を保証することはできません。精度不足は、VC 次元と、1,000 人の市民の範囲から観測されたものが含まれる平行六面体のクラスの詳細の両方が 6 に等しいために発生します。

確率変数とそこから抽出されたサンプルについて互換性のある分布とは、同じサンプリングメカニズムを持つ分布のことである。${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}=(Z,g_{\boldsymbol {\theta }})}$値を持つX${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$ランダムパラメータの${\displaystyle \mathbf {\Theta } }$良好な性質を持つ統計量sに基づくマスター方程式から導出される。

左の図に示すように、パレートパラメータA とKの分布法則は、母集団ブートストラップ 法の実装例として見つけることができます。 

ねじり引数法を実装すると 、分布法則が得られます。${\displaystyle F_{M}(\mu )}$ 統計量に基づくガウス変数Xの平均 Mについて  ${\textstyle s_{M}=\sum _{i=1}^{m}x_{i}}$ いつ${\displaystyle \Sigma ^{2}}$ に等しいことが知られています${\displaystyle \sigma ^{2}}$ (アポロニ、マルキオディ、ガイト 2006 )。その表現は次のとおりです。

$${\displaystyle F_{M}(\mu )=\Phi {\left({\frac {m\mu -s_{M}}{\sigma {\sqrt {m}}}}\right)},}$$

右図に示すように、${\displaystyle \Phi }$は標準正規分布の累積分布関数です。

分布関数が与えられた場合のMの信頼区間を計算するのは簡単です。2つの分位数を見つけるだけで済みます（例えば  ${\displaystyle \delta /2}$ そして${\displaystyle 1-\delta /2}$ 統計量s _mの異なる値に対する 2 つの境界の挙動を示す図の左側に示されているように、レベル δ の信頼区間 (裾の確率に関して対称) に関心がある場合の分位数。

フィッシャーのアプローチの弱点は、ガウス分布の平均と分散など、複数のパラメータの同時分布にあります。一方、最後のアプローチ（および前述の方法：母集団ブートストラップとツイスト引数）では、多くのパラメータの同時分布を学習できます。たとえば、2つ以上のパラメータの分布に焦点を当てると、以下の図では、学習する関数が90%の信頼度で収まる2つの信頼領域を示しています。前者は、拡張サポートベクターマシンがバイナリラベル1を点に割り当てる確率に関するものです。${\displaystyle (x,y)}$平面。2 つの表面は、特定の分布法則に従ってラベル付けされた一連のサンプル点に基づいて描画されます( Apolloni et al. 2008 )。後者は、打ち切りサンプルから計算された乳がん再発のハザード率の信頼領域に関するものです( Apolloni、Malchiodi & Gaito 2006 )。