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一般性を失うことなく（よくWOLOG、 WLOG、 wlogと略されるが、あまり一般的ではないが、一般性を失うことなく、または一般性を失わずにと表現される）は、数学で頻繁に使用される表現である。この用語は、後続のものが任意に選択され、前提が特定のケースに限定されるが、一般的な証明の妥当性には影響しないという仮定を示すために使用される。他のケースは提示されたものと十分に類似しているため、それらを証明することは本質的に同じ論理に従う。 [1]その結果、特定のケースに対する証明が一度与えられれば、それを適応させて他のすべてのケースの結論を証明することは 自明である。
多くのシナリオでは、対称性の存在によって「一般性を失うことなく」の使用が可能になります。[2]たとえば、実数のある特性P ( x , y ) がxとyに関して対称であることがわかっている場合、つまりP ( x , y ) がP ( y , x )と同等である場合、 P ( x , y ) がすべてのxとyに対して成り立つことを証明する際に、「一般性を失うことなく」x ≤ yを仮定できます。 この仮定では一般性が失われることはありません。なぜなら、x ≤ y ⇒ P ( x , y ) の場合が証明されると、 xとyを入れ替えることで他の場合 、y ≤ x ⇒ P ( y , x ) が証明され、 Pの対称性により、これはP ( x , y ) を意味し、それによってP ( x , y ) がすべての場合に成り立つことを示すためです。
一方、そのような対称性も他の形式の同等性も確立できない場合、「一般性を失うことなく」の使用は誤りであり、例による証明の例、つまり代表的でない例を証明することによって主張を証明するという論理的誤謬に相当する可能性があります。 [3]
例
3 つの物体がそれぞれ赤または青に塗られている場合、同じ色の物体が少なくとも 2 つある必要があります。
証明:
一般性を失うことなく、最初のオブジェクトが赤であると仮定します。他の 2 つのオブジェクトのいずれかが赤であれば、これで完了です。そうでない場合は、他の 2 つのオブジェクトが両方とも青であるはずなので、それでも完了です。
上記の議論が成り立つのは、別の仮定、つまり最初の物体が青であるという仮定、あるいは同様に「赤」と「青」という単語が証明の文言の中で自由に置き換えられるという仮定が立てられた場合でも、まったく同じ推論を適用できるためです。結果として、この場合、「一般性を失うことなく」の使用は有効です。
参照
参考文献
- ^ チャートランド、ゲイリー、ポリメニ、アルバート・D、張、ピン（2008年）。数学的証明/上級数学への移行（第2版）。ピアソン/アディソン・ウェスレー。pp. 80– 81。ISBN 978-0-321-39053-0。
- ^ ダイクストラ、エドガー W. (1997)。 「WLOG、または順序のないペアの悲惨さ (EWD1223)」。ブロイではマンフレッド。ビルギット・シーダー編（編）。プログラム開発における数学的手法(PDF)。 NATO ASI シリーズ F: コンピューターおよびシステム科学。 Vol. 158. スプリンガー。 pp. 33–34 .土井:10.1007/978-3-642-60858-2_9。ISBN 978-3-642-64588-4。
- ^ 「3変数の非巡回不等式」www.cut-the-knot.org . 2019年10月21日閲覧。
外部リンク
- PlanetMathの WLOG 。
- John Harrison による「一般性を失うことなく」 - 自動化された定理証明器で「WLOG」引数を形式化する方法についての議論。