スミス・ヴォルテラ・カンター集合

数学において、スミス・ヴォルテラ・カントール集合( SVC )、ε-カントール集合^[1]あるいは太カントール集合は、実数直線上の点の集合で、どこにも稠密ではない(特に区間 を含まない) が、正の測度 を持つものの一例である。スミス・ヴォルテラ・カントール集合は、数学者の ヘンリー・スミス、ヴィトー・ヴォルテラ、ゲオルク・カントールにちなんで名付けられた。1875 年の論文で、スミスは実数直線上のどこにも稠密ではない正の測度 の集合について論じ、^[2]ヴォルテラは 1881 年に同様の例を紹介した。^[3] 今日知られているカントール集合は、1883 年に続いた。スミス・ヴォルテラ・カントール集合は、中間 3 分の 1 のカントール集合と位相的に同値である。

カントール集合の構成と同様に、スミス・ヴォルテラ・カントール集合は単位区間から特定の区間を削除することによって構成される。 ${\displaystyle [0,1].}$

このプロセスは、区間の中央の1/4を削除することから始まります（1/2の中央点の両側の1/8を削除するのと同じです）。残りのセットは次のようになります。 ${\displaystyle [0,1]}$$${\displaystyle \left[0,{\tfrac {3}{8}}\right]\cup \left[{\tfrac {5}{8}},1\right].}$$

次のステップは、残りの各区間の中央から幅の区間を削除することです。したがって、2番目のステップでは区間とが削除され、 ${\displaystyle 1/4^{n}}$${\displaystyle 2^{n-1}}$${\displaystyle (5/32,7/32)}$${\displaystyle (25/32,27/32)}$$${\displaystyle \left[0,{\tfrac {5}{32}}\right]\cup \left[{\tfrac {7}{32}},{\tfrac {3}{8}}\right]\cup \left[{\tfrac {5}{8}},{\tfrac {25}{32}}\right]\cup \left[{\tfrac {27}{32}},1\right].}$$

この削除を無限に続けると、スミス・ヴォルテラ・カントール集合は、削除されない点の集合になります。下の画像は、初期集合とこのプロセスの 5 回の反復を示しています。

スミス・ヴォルテラ・カントール集合の構築における後続の各反復では、残りの区間から削除される割合が比例して少なくなります。これは、各区間から削除される割合が一定であるカントール集合とは対照的です。したがって、スミス・ヴォルテラ・カントール集合は正の測度を持ちますが、カントール集合は測度がゼロです。

構成上、スミス・ヴォルテラ・カントール集合には区間が含まれないため、内部は空です。また、一連の閉集合の共通部分でもあり、閉じています。このプロセス中に、合計の長さの区間 が削除され、残りの点の集合が 1/2 の正の測度を持つことを示します。これにより、スミス・ヴォルテラ・カントール集合は、境界が正のルベーグ測度を持つ閉集合の例になります。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{2^{2n+2}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\,}$$${\displaystyle [0,1],}$

一般に、アルゴリズムの 番目のステップで残りの各サブ区間から を削除して、カントールのようなセットを得ることができます。結果のセットは、シーケンスの合計が最初の区間の測度よりも小さい場合にのみ、正の測度を持ちます。たとえば、長さ の中間の区間が、各番目の反復で から削除され、ある に対して になるとします。すると、結果のセットは、 から までになるルベーグ測度を持ち 、 からまでになります (この構成では は不可能です)。 ${\displaystyle r_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a^{n}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq a\leq {\dfrac {1}{3}}.}$$${\displaystyle {\begin{aligned}1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a^{n+1}&=1-a\sum _{n=0}^{\infty }(2a)^{n}\\[5pt]&=1-a{\frac {1}{1-2a}}\\[5pt]&={\frac {1-3a}{1-2a}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 1/3}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle a>1/3}$

スミス・ヴォルテラ・カントール集合の直積は、測度がゼロでない高次元の完全に不連続な集合を見つけるために使用できます。このタイプの2次元集合にデンジョイ・リースの定理を適用すると、曲線上の点が正の面積を持つオズグッド曲線、つまりジョルダン曲線を見つけることができます。 ^[4]

• スミス・ヴォルテラ・カントール集合は、ヴォルテラ関数の構築に使用されます(外部リンクを参照)。
• スミス・ヴォルテラ・カントール集合は、ジョルダン測定可能ではないコンパクト集合の例です。ジョルダン測定#より複雑な集合への拡張を参照してください。
• スミス・ヴォルテラ・カントール集合の指示関数は、(0,1) 上でリーマン積分可能ではなく、さらにほとんどすべての点でリーマン積分可能関数と等しくない有界関数の例です。リーマン積分#例を参照してください。
• 位相のリスト – 具体的な位相と位相空間のリスト