漸近線

解析幾何学では、曲線の漸近線（/ ˈ æ s ɪ m p t oʊ t /）は、 x座標またはy座標の1つまたは両方が無限大に近づくにつれて、曲線と直線の間の距離が0に近づく直線です。射影幾何学および関連する文脈では、曲線の漸近線は、無限遠点で曲線に接する直線です。^{[1] [2]}

漸近線という言葉は、ギリシャ語のἀσύμπτωτος ( asumptōtos )に由来しており、「一緒に落ちない」という意味で、ἀ priv. + σύν「一緒に」+ πτωτ-ός「落ちた」から成ります。^{[3]この用語は、}ペルガのアポロニウスが円錐曲線に関する著書の中で導入しましたが、現代の意味とは対照的に、彼はそれを与えられた曲線と交差しない任意の線を意味するために使用しました。^[4]

漸近線には、水平、垂直、斜漸近の 3 種類があります。関数y = ƒ ( x )のグラフで示される曲線の場合、水平漸近線は、関数のグラフがxが+∞ または −∞に向かうにつれて近づく水平線です。垂直漸近線は、関数が無制限に増加する垂直線です。斜漸近線の傾きはゼロではありませんが有限であり、関数のグラフはx が+∞ または −∞に向かう につれて斜漸近線に近づきます。

より一般的には、2 つの曲線間の距離が 2 つの曲線が無限大に向かうにつれて 0 に向かう場合、1 つの曲線は別の曲線の曲線漸近線(線型漸近線とは対照的) になります。ただし、漸近線という用語はそれ自体、通常は線型漸近線に対して使用されます。

漸近線は大きな関数における曲線の挙動に関する情報を伝え、関数の漸近線を決定することはそのグラフを描く上で重要なステップです。^{[5]関数の漸近線の研究は、広義に解釈すると、}漸近解析 の主題の一部を形成します。

曲線が直線に任意に近づいても実際には直線と同じにならないという考え方は、日常の経験に反しているように思えるかもしれません。紙の上のマークやコンピュータ画面上のピクセルとしての直線と曲線の表現には、正の幅があります。したがって、十分に延長すると、少なくとも目で認識できる限りでは、曲線は融合しているように見えます。しかし、これらは対応する数学的実体の物理的表現であり、直線と曲線は、幅が 0 である理想化された概念です ( Line を参照)。したがって、漸近線の概念を理解するには、経験ではなく理性的な努力が必要です。

このセクションに示されている関数のグラフについて考えてみましょう。曲線上の点の座標は、x が 0 以外の数値である形式です。たとえば、グラフには点 (1, 1)、(2, 0.5)、(5, 0.2)、(10, 0.1)、... が含まれます。 の値が100、1,000、10,000... とどんどん大きくなり、図のずっと右側に置かれると、 の対応する値、.01、.001、.0001、... は、示されているスケールに対して無限小になります。 しかし、 がどれだけ大きくなっても、その逆数が 0 になることはないため、曲線が実際にx軸に接することはありません。同様に、 の値が.01、.001、.0001 などとどんどん小さくなり、表示されているスケールに対して無限小になると、 の対応する値100、1,000、10,000 などが大きくなります。したがって、曲線はy軸に近づくにつれて上方に伸びていきます。したがって、x軸とy軸は両方とも曲線の漸近線です。これらの考え方は数学における極限の概念の基礎の一部であり、この関係については以下で詳しく説明します。^[6]${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$${\displaystyle \left(x,{\frac {1}{x}}\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

微積分学の研究で最もよく遭遇する漸近線は、y = ƒ ( x )の形の曲線です。これらは極限を使用して計算でき、向きによって水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線に分類できます。水平漸近線は、 x が+∞ または −∞ に向かうにつれて関数のグラフが近づく水平線です。名前が示すように、それらはx軸に平行です。垂直漸近線は、関数が限界なく増加する垂直線 ( x軸に垂直) です。斜漸近線は、 x が+∞ または −∞ に向かう につれて曲線と直線の差が 0 に近づく対角線です。

次の文の少なくとも 1 つが真である場合、 直線x = a は関数y = ƒ ( x )のグラフの垂直漸近線です。

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,}$

ここで、はx が左から (より小さい値から)値aに近づくときの限界であり、 はx が右から aに近づくときの限界です。${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}}$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}}$

例えば、ƒ( x ) = x /( x –1)の場合、 xが1に近づくにつれて分子は1に近づき、分母は0に近づきます。つまり、

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{+}}{\frac {x}{x-1}}=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}{\frac {x}{x-1}}=-\infty }$

そして曲線には垂直漸近線x = 1 があります。

関数ƒ ( x )はaで定義される場合とされない場合があり、点x = aでの正確な値は漸近線に影響を与えません。たとえば、関数

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\text{if }}x>0,\\5&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}}$

はx → 0 ⁺として +∞ の極限を持ち、ƒ ( x ) は ƒ (0) = 5 であっても垂直漸近線x = 0 を持ちます。この関数のグラフは、(0, 5) で垂直漸近線と一度交差します。関数のグラフが垂直漸近線 (または一般に垂直線) と複数の点で交差することは不可能です。さらに、関数が定義されている各点で連続している場合、そのグラフがどの垂直漸近線とも交差することは不可能です。

垂直漸近線の一般的な例としては、分母がゼロで分子がゼロでない、点 x における有理関数の場合が挙げられます。

関数が垂直漸近線を持つ場合、その関数の導関数が同じ場所に垂直漸近線を持つとは限らない。例を挙げる。

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}+\sin({\tfrac {1}{x}})\quad }$で。${\displaystyle \quad x=0}$

この関数は、 ${\displaystyle x=0,}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\lim _{x\to 0^{+}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=+\infty ,}$

そして

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=\lim _{x\to 0^{-}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=-\infty }$。

の導関数は ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {-(\cos({\tfrac {1}{x}})+1)}{x^{2}}}}$。

点の列については

${\displaystyle x_{n}={\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)\pi }},\quad }$のために${\displaystyle \quad n=0,1,2,\ldots }$

が左からも右からも近づく場合 、値は常に です。したがって、におけるの片側極限はどちらも にも にもなりません。したがって、は で垂直漸近線を持ちません。 ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f'(x_{n})}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle x=0}$

水平漸近線は、関数のグラフがx → ±∞に近づくにつれて近づく水平線である。水平線y  =  cは、関数y  =  ƒ ( x ) の水平漸近線である。

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=c}$または。${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=c}$

最初のケースでは、x が−∞に向かうとき、 ƒ ( x ) はy  =  c を漸近線として持ち、 2 番目のケースでは、x が+∞に向かうとき、 ƒ ( x ) はy  =  c を漸近線として持ちます。

例えば、逆正接関数は

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\arctan(x)=-{\frac {\pi }{2}}}$そして${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}.}$

したがって、直線y = – π /2は、 x が–∞に向かうときの逆正接の水平漸近線であり、直線y = π /2は、 x が+∞に向かうときの逆正接の水平漸近線です。

関数は、片側または両側に水平漸近線を持たない場合もあれば、両方向に同じ水平漸近線を持つ場合もあります。たとえば、関数ƒ( x ) = 1/( x ² +1)は、 xが-∞と+∞の両方に向かうときにy  = 0で水平漸近線を持ちます。これは、それぞれ、

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=0.}$

1 つまたは 2 つの水平漸近線を持つその他の一般的な関数には、x ↦ 1/ x (グラフに双曲線を描く)、ガウス関数、 誤差関数、ロジスティック関数などがあります。 ${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}),}$

線形漸近線がx軸またはy軸に平行でない場合、斜漸近線または斜め漸近線と呼ばれます。関数ƒ ( x ) は、次の場合に直線y = mx + n ( m  ≠ 0) に漸近します。

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0\,{\mbox{ or }}\lim _{x\to -\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0.}$

最初のケースでは、直線y = mx + n は、 x が+∞ に向かうときのƒ ( x )の斜漸近線であり、2 番目のケースでは、直線y = mx + nは、 x が−∞ に向かうときのƒ ( x )の斜漸近線です。

例としてはƒ ( x ) =  x + 1/ xがあり、これは 次の極限で見られるように 斜漸近線y  =  x（つまりm  = 1, n = 0）を持つ。

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }\left[\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0.}$

多くの基本関数の漸近線は、明示的に極限を使用しなくても見つけることができます (ただし、このような方法の導出では通常、極限が使用されます)。

関数f ( x ) の斜漸近線は、方程式y = mx + nで与えられます。最初にmの値が計算され、次のように与えられます。

${\displaystyle m\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}f(x)/x}$

ここで、a は研究対象ケースに応じてまたは になります。2 つのケースを別々に扱うことをお勧めします。この制限が存在しない場合は、その方向に斜漸近線は存在しません。 ${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$

mが与えられれば、 nの値は次のように計算できる。

${\displaystyle n\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}(f(x)-mx)}$

ここで、a は前に使用したのと同じ値である必要があります。この極限が存在しない場合は、たとえm を定義する極限が存在したとしても、その方向に斜漸近線は存在しません。それ以外の場合は、y = mx + n は、 x がaに向かうときのƒ ( x )の斜漸近線です。

例えば、関数ƒ ( x ) = (2 x ² + 3 x + 1)/ xは

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {2x^{2}+3x+1}{x^{2}}}=2}$その後

${\displaystyle n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left({\frac {2x^{2}+3x+1}{x}}-2x\right)=3}$

したがって、xが+∞に向かうとき、 y = 2 x + 3はƒ ( x )の漸近線となる。

関数ƒ ( x ) = ln  xは

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}$その後

${\displaystyle n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln x}$、これは存在しません。

したがって、y = ln  x は、 x が+∞ に近づくときに漸近線を持ちません。

有理関数には、最大で 1 つの水平漸近線または斜漸近線があり、垂直漸近線は複数ある場合もあります。

分子の次数と分母の次数によって、水平漸近線または斜漸近線があるかどうかが決まります。ケースは以下に表形式で示されています。ここで、deg(分子) は分子の次数、deg(分母) は分母の次数です。

垂直漸近線は、分母がゼロの場合にのみ発生します (分子と分母の両方がゼロの場合、ゼロの重複度が比較されます)。たとえば、次の関数では、x = 0 とx = 1 に垂直漸近線がありますが、x = 2 には垂直漸近線がありません。

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-5x+6}{x^{3}-3x^{2}+2x}}={\frac {(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)}}}$

有理関数の分子の次数が分母よりちょうど1大きい場合、関数は斜漸近線を持ちます。漸近線は分子と分母を割った後の多項式項です。この現象は、分数を割ったときに線形項と余りがあるために発生します。たとえば、関数を考えてみましょう。

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x+1}}=x+{\frac {1}{x+1}}}$

右に示します。xの値が増加すると、f は漸近線y = xに近づきます。これは、もう 1 つの項 1/( x +1) が 0 に近づくためです。

分子の次数が分母の次数より 1 以上大きく、分母が分子を割り切れない場合は、x が増加するにつれてゼロになる非ゼロの余りが生じますが、商は線形ではなく、関数には斜漸近線がありません。

既知の関数に漸近線がある場合（たとえば、f (x)= e ^xの場合にy =0など）、その関数の変換にも漸近線があります。

• x = aがf ( x )の垂直漸近線である場合、x = a + hはf ( x - h )の垂直漸近線です。
• y = c がf ( x )の水平漸近線である場合、y = c + kはf ( x )+ kの水平漸近線である。

既知の関数に漸近線がある場合、その関数のスケーリングにも漸近線があります。

• y = ax + bがf ( x )の漸近線である場合、y = cax + cbはcf ( x )の漸近線である。

たとえば、f ( x )= e ^{x -1} +2 には水平漸近線y =0+2=2 があり、垂直漸近線や斜漸近線はありません。

A  : ( a , b ) → R ^{2 を}、座標A ( t ) = ( x ( t ), y ( t ) ) におけるパラメトリック平面曲線とします。曲線が無限大に向かうと仮定します。

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow b}(x^{2}(t)+y^{2}(t))=\infty .}$

直線 ℓ がAの漸近線であるとは、点A ( t ) から ℓ までの距離がt  →  bのにつれてゼロに近づくことである。^[7]定義から、何らかの無限枝を持つ開曲線だけが漸近線を持つことができる。閉曲線は漸近線を持つことができない。

たとえば、曲線y  = 1/ xの右上の枝は、 x  =  t、y  = 1/ t (ただしt > 0)とパラメトリックに定義できます。まず、t → ∞ のときにx  → ∞ となり 、曲線からx軸までの距離は 1/ tで、 t → ∞のときに 0 に近づきます 。したがって、x軸は曲線の漸近線です。また、右からt → 0 のときにy  → ∞ となり 、曲線とy軸の間の距離はtで、 t  → 0のときに 0 に近づきます。したがって、 y軸も漸近線です。同様の議論から、曲線の左下の枝にも同じ 2 本の線が漸近線であることが分かります。

ここでの定義では曲線のパラメータ化が使用されていますが、漸近線の概念はパラメータ化に依存しません。実際、直線の方程式がの場合、点A ( t ) = ( x ( t )、y ( t ))から直線まで の距離は次のように表されます。${\displaystyle ax+by+c=0}$

${\displaystyle {\frac {|ax(t)+by(t)+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

γ( t )がパラメータ化の変化である場合、距離は

${\displaystyle {\frac {|ax(\gamma (t))+by(\gamma (t))+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

これは前の式と同時にゼロに近づきます。

重要なケースは、曲線が実関数（1つの実変数を持ち、実数値を返す関数）のグラフである場合です。関数y  =  ƒ ( x )のグラフは、座標（ x、ƒ ( x )）を持つ平面上の点の集合です。この場合、パラメータ化は

${\displaystyle t\mapsto (t,f(t)).}$

このパラメータ化は開区間（a、b）にわたって考慮されるもので、aは−∞、bは+∞となる。

漸近線は垂直または非垂直（斜めまたは水平）のいずれかになります。垂直の場合、方程式はx  =  cで、 c は実数です。非垂直の場合、方程式はy = mx + nで、mと は実数です。特定の例では、3 種類の漸近線がすべて同時に存在することがあります。関数のグラフである曲線の漸近線とは異なり、一般的な曲線には 2 つ以上の非垂直漸近線がある場合があり、垂直漸近線と複数回交差する場合があります。 ${\displaystyle n}$

A  : ( a , b ) → R ²をパラメトリック平面曲線とし、座標をA ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) とし、B を別の（パラメトリックでない）曲線とする。前と同様に、曲線A は無限大に向かうと仮定する。曲線Bは、点 A ( t ) から点 B 上の点までの最短距離が t → b のときにゼロに向かう場合、 A の曲線漸近線である。線型漸近 線 と混同する恐れがない場合、Bは単にAの漸近線と呼ばれることもある。 ^[8]

例えば、関数

${\displaystyle y={\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{x}}}$

曲線漸近線y = x ² + 2 x + 3を持ち、これは直線ではなく放物線であるため放物線漸近線として知られています。 ^[9]

漸近線は曲線を描く際に使用されます。漸近線は曲線が無限遠に向かってどのように動くかを示すガイドラインとして機能します。^[10]曲線をより正確に近似するために、曲線漸近線も使用されています^[11]が、漸近曲線という用語の方が好まれているようです。^[12]

アフィン平面上の代数曲線の漸近線は、射影曲線に無限遠点を通って接する直線である。^[13]例えば、漸近線を単位双曲線とこのように同一視することができる。漸近線は実曲線に対してのみ考慮されることが多いが、^{[14]任意の}体上の曲線に対してこのように定義しても意味をなす。^[15]

ベズーの定理によれば、 n 次平面曲線は、無限遠点における交差の重複度が少なくとも 2 であるため、最大でn −2 個の他の点で漸近線と交差します。円錐曲線の場合、複素点で円錐曲線と交差しない 2 本の直線があります。これらが円錐曲線の 2 つの漸近線です。

平面代数曲線は、 P ( x , y ) = 0という形式の方程式で定義されます。ここで、 Pはn次の多項式です。

${\displaystyle P(x,y)=P_{n}(x,y)+P_{n-1}(x,y)+\cdots +P_{1}(x,y)+P_{0}}$

ここでP _{k は}k次同次である。最高次項P _nの線形因子がゼロになることで曲線の漸近線が定義される。Q = P n_とすると、P _n ( x , y ) = ( ax − by ) Q _{n −1} ( x , y )とすると、直線

${\displaystyle Q'_{x}(b,a)x+Q'_{y}(b,a)y+P_{n-1}(b,a)=0}$

が漸近線となるのは、と がともにゼロでない場合である。 と の場合、漸近線は存在しないが、曲線には放物線の枝のような枝が存在する。このような枝は${\displaystyle Q'_{x}(b,a)}$${\displaystyle Q'_{y}(b,a)}$${\displaystyle Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=0}$${\displaystyle P_{n-1}(b,a)\neq 0}$放物線分岐は、放物線がない場合でも曲線漸近線になります。曲線が無限大に特異点を持つ場合は、複数の漸近線または放物線分岐を持つことがあります。 ${\displaystyle Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=P_{n-1}(b,a)=0,}$

複素数では、P _{n は}線形因子に分割され、各因子は漸近線を定義します (複数の因子の場合は複数)。実数では、P _{n は}線形因子または二次因子である因子に分割されます。線形因子のみが曲線の無限 (実数) 枝に対応しますが、線形因子の多重度が 1 より大きい場合、曲線は複数の漸近線または放物線枝を持つことがあります。また、このような多重線形因子が 2 つの複素共役枝に対応し、実曲線のどの無限枝にも対応しないこともあります。たとえば、曲線x ⁴ + y ² - 1 = 0には正方形 の外側に実数点はありませんが、その最高次項は多重度 4 の線形因子x を与え、唯一の漸近線x =0 につながります。 ${\displaystyle |x|\leq 1,|y|\leq 1}$

双曲線​

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

2つの漸近線がある

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x.}$

これら2本の直線の和の式は

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$

同様に、双曲面

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

漸近円錐を持つと言われている^{[16] [17]}

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.}$

原点からの距離が無限大に近づくにつれて、双曲面と円錐の間の距離は 0 に近づきます。

より一般的には、が次数およびの同次多項式 である暗黙の方程式を持つ表面を考えます 。すると、方程式は原点を中心とする円錐を定義します。表面上の点が無限大に向かうとき、表面上の点から円錐までの距離は 0 に向かうため、これは漸近円錐と呼ばれます。 ${\displaystyle P_{d}(x,y,z)+P_{d-2}(x,y,z)+\cdots P_{0}=0,}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle P_{d-1}=0}$${\displaystyle P_{d}(x,y,z)=0}$

• ビッグオー表記

一般的な参考文献

• Kuptsov, LP (2001) [1994]、「漸近線」、数学百科事典、EMS Press

具体的な参考文献

• PlanetMathの漸近線。
• 双曲面と漸近円錐、弦表面モデル、1872年科学博物館のWayback Machineに2012年2月15日にアーカイブ