バナッハ測度

数学の分野である測度論において、バナッハ測度はユークリッド平面のすべての部分集合に大きさ（または面積）を割り当てる特定の方法であり、一般的に使用されるルベーグ測度と一致しているがそれを拡張したものである。平面にはルベーグ測度可能でない部分集合もあるが、平面のすべての部分集合にはバナッハ測度がある。一方、ルベーグ測度は可算加法であるのに対し、バナッハ測度は有限加法のみである（したがって「内容」と呼ばれる）。

シュテファン・バナッハは1923年にバナッハ測度の存在を証明した。^[1]これにより特に、ユークリッド空間R ^{3における}バナッハ-タルスキーのパラドックスによって規定される逆説的な分解は、ユークリッド平面R ²には存在できないことが確立された。

R ⁿ上のバナッハ測度^[2]は、 R ⁿの各部分集合に非負の拡張実数を割り当てる関数であり、 ${\displaystyle \mu :{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,\infty ]}$

• μは有限加法性、すなわち任意の 2 つの互いに素な集合。${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$
• μ はルベーグ測度λを拡張します。つまり、任意のルベーグ可測集合に対して。${\displaystyle \mu (A)=\lambda (A)}$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$
• μ はR ⁿの等長変換に対して不変です。つまり、あらゆる等長変換に対して。${\displaystyle \mu (A)=\mu (f(A))}$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

μの有限加法性は、任意の互いに素な 2 組の集合に対して および が成り立つことを意味します。の場合も が成り立ちます。 ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$${\displaystyle \mu (A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})=\sum _{i=1}^{k}\mu (A_{i})}$${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

μ はルベーグ測度を拡張するので、 Aが有限集合または可算集合である場合、また任意の区間の積に対して であることが分かります。 ${\displaystyle \mu (A)=0}$${\displaystyle \mu ([a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}])=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})}$ ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{1},b_{1}]\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

μ は等長変換に対して不変なので 、特に回転と平行移動に対して不変です。

ステファン・バナッハは、バナッハ測度がR ¹とR ^{2上に存在することを示しました。これらの結果は、} R ¹とR ²の等長変換群が解けるという事実から導き出されます。

これらの測度の存在は、 1次元または2次元におけるバナッハ-タルスキーのパラドックスの不可能性を証明する。1次元または2次元の有限ルベーグ測度の集合を、異なるルベーグ測度を持つ集合に再構成できる有限個の集合に分解することは不可能である。これは、ルベーグ測度を拡張するバナッハ測度の性質に違反するからである。^[3]

逆に、 n ≥ 3 のすべての次元でバナッハ-タルスキーのパラドックスが存在することは、これらの次元ではバナッハ測度が存在できないことを示しています。

ヴィタリのパラドックスが示すように、バナッハ測度は可算加法測度に強化することはできません。つまり、すべてのn ≥ 1に対して、ルベーグ測定可能ではないR ⁿのサブセットが存在します。

これらの結果のほとんどは、何らかの選択公理に依存している。選択公理なしでツェルメロ-フランケル集合論の公理だけを使用すると、バナッハ-タルスキーのパラドックスを導くことはできず、ルベーグ測定可能でない集合の存在を証明することもできない（後者の主張は、アクセス不可能な基数の存在は矛盾しないという、かなり弱いが広く信じられている仮定に依存している）。R 1およびR ²上のバナッハ測度の存在^も、選択公理がなければ証明できない。^[4]特に、これらのバナッハ測度の具体的な式を与えることはできない。