内部測定

数学、特に測度論において、内測度とは、与えられた集合の冪集合上の関数であり、拡張された実数に値を持ち、いくつかの技術的条件を満たすものである。直感的には、集合の内測度はその集合の大きさの下限である。

内部測度は、次の条件を満たす 集合のすべての部分集合 に対して定義される集合関数です。 $${\displaystyle \varphi :2^{X}\to [0,\infty ],}$$${\displaystyle X,}$

• ヌル空集合:空集合の内部測度はゼロです（測度ゼロも参照）。つまり、$${\displaystyle \varphi (\varnothing )=0}$$
• 超加法性：任意の互いに素な集合と${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$ $${\displaystyle \varphi (A\cup B)\geq \varphi (A)+\varphi (B)。}$$
• 減少する塔の極限:それぞれの集合の列 に対して、${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle A_{j}\supseteq A_{j+1}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \varphi (A_{1})<\infty }$ $${\displaystyle \varphi \left(\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)=\lim _{j\to \infty }\varphi (A_{j})}$$
• 測度が有限でない場合、つまりとなる集合が存在する場合、この無限大に近づく必要があります。より正確には、集合 に対して であれば、任意の正の実数に対してとなるような集合が存在することになります。${\displaystyle A}$${\displaystyle \varphi (A)=\infty }$${\displaystyle \varphi (A)=\infty }$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r,}$${\displaystyle B\subseteq A}$$${\displaystyle r\leq \varphi (B)<\infty .}$$

を集合上のσ-代数とし、を上の測度とすると、によって誘導される 内部測度は次のように定義される。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \Sigma .}$${\displaystyle \mu_{*}}$${\displaystyle \mu}$$${\displaystyle \mu _{*}(T)=\sup\{\mu (S):S\in \Sigma {\text{ and }}S\subseteq T\}.}$$

本質的には、任意のセットの大きさの下限を、その -測定可能なサブセットの -測定と少なくとも同じ大きさになるように指定します。セット関数は通常は測定ではありませんが、測定と次の特性を共有します。 ${\displaystyle \mu_{*}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mu_{*}}$${\displaystyle \mu_{*}}$

1. ${\displaystyle \mu _{*}(\varnothing )=0,}$
2. ${\displaystyle \mu_{*}}$は負ではない、
3. もしそうなら${\displaystyle E\subseteq F}$${\displaystyle \mu _{*}(E)\leq \mu _{*}(F)。}$

誘導された内部測度は、外部測度と組み合わせて、測度をより大きなσ-代数に拡張するためによく使用されます。 がσ-代数上の で定義された有限測度であり、が対応する誘導された外部測度と内部測度である場合、となる集合はとなるσ-代数を形成します。^[1] すべてに対して によって定義される 集合関数は、の完備化として知られるσ-代数上の測度です。${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu^{*}}$${\displaystyle \mu_{*}}$${\displaystyle T\in 2^{X}}$${\displaystyle \mu _{*}(T)=\mu ^{*}(T)}$${\displaystyle {\hat {\シグマ }}}$${\displaystyle \Sigma \subseteq {\hat {\Sigma }}}$${\displaystyle {\hat {\mu}}}$$${\displaystyle {\hat {\mu}}(T)=\mu ^{*}(T)=\mu _{*}(T)}$$${\displaystyle T\in {\hat {\Sigma }}}$${\displaystyle {\hat {\シグマ }}}$${\displaystyle \mu .}$

• ルベーグ可測集合 – 任意の次元における面積の概念リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ

• ハルモス、ポール R.、「測度論」、D. ヴァン ノストランド カンパニー、Inc.、1950 年、58 ページ。
• AN コルモゴロフ & SV フォミン、リチャード A. シルバーマン訳、実解析入門、ドーバー出版、ニューヨーク、1970 年、ISBN  0-486-61226-0 (第 7 章)