ランダム測定

確率論において、ランダム測度とは測度値を持つランダム要素である。^{[1] [2]}ランダム測度は、例えばランダム過程の理論で使用され、ポアソン点過程やコックス過程などの多くの重要な点過程を形成します。

ランダム測度は、遷移カーネルまたはランダム要素として定義できます。両方の定義は同等です。定義では、を分離可能な完全な計量空間とし、 をそのボレル代数とします。(分離可能な完全な計量空間の最も一般的な例は です) ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ランダム測度は、抽象的な確率空間からへの（としての）局所有限遷移カーネルである。^[3]${\displaystyle \zeta}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

遷移カーネルとは、

• 任意の固定された に対して、マッピング${\displaystyle B\in {\mathcal {\mathcal {E}}}}$

${\displaystyle \omega \mapsto \zeta (\omega ,B)}$

から測定可能 ​${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$

• 固定されたすべての に対して、マッピング${\displaystyle \omega \in \Omega }$

${\displaystyle B\mapsto \zeta (\omega ,B)\quad (B\in {\mathcal {E}})}$

は、​${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

局所的に有限であるということは、測度が

${\displaystyle B\mapsto \zeta (\omega ,B)}$

すべての有界測定可能集合に対して満たし 、一部を除くすべての有界測定可能集合に対して満たす-空集合${\displaystyle \zeta (\omega ,{\tilde {B}})<\infty }$${\displaystyle {\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle P}$

確率過程の文脈では、確率カーネル、確率カーネル、マルコフカーネルという関連する概念があります。

定義する

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}:=\{\mu \mid \mu {\text{ is measure on }}(E,{\mathcal {E}})\}}$

そして局所有限測度のサブセットは

${\displaystyle {\mathcal {M}}:=\{\mu \in {\tilde {\mathcal {M}}}\mid \mu ({\tilde {B}})<\infty {\text{ for all bounded measurable }}{\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}\}}$

すべての有界測定可能に対して、マッピングを定義する ${\displaystyle {\tilde {B}}}$

${\displaystyle I_{\tilde {B}}\colon \mu \mapsto \mu ({\tilde {B}})}$

からへ。をへのマッピングによって誘導される -代数、 へのマッピングによって誘導される -代数とします。 に注意してください。 ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$${\displaystyle \mathbb {M} }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}|_{\mathcal {M}}=\mathbb {M} }$

ランダム測度とは、からへのランダムな要素であり、ほぼ確実に^{[3] [4] [5]}の値を取る。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle ({\tilde {\mathcal {M}}},{\tilde {\mathbb {M} }})}$${\displaystyle ({\mathcal {M}},\mathbb {M} )}$

ランダム 測度の場合、${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \operatorname {E} \zeta }$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta (\mathrm {d} x)}$

あらゆる正の測定可能な関数 に対する は、の強度測度と呼ばれます。強度測度は、あらゆるランダム測度に対して存在し、s 有限測度です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \zeta }$

ランダム 測度の場合、${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)=0{\text{ a.s. }}{\text{ iff }}\int f(x)\;\nu (\mathrm {d} x)=0}$

すべての正の測定可能な関数に対する支持測度は、の支持測度と呼ばれます。支持測度はすべてのランダム測度に対して存在し、有限になるように選択できます。 ${\displaystyle \zeta }$

ランダム測度の場合、ラプラス変換は次のように定義される。 ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\zeta }(f)=\operatorname {E} \left[\exp \left(-\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right)\right]}$

あらゆる正の測定可能な関数に対して。 ${\displaystyle f}$

ランダム測度の場合、積分 ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

そして ${\displaystyle \zeta (A):=\int \mathbf {1} _{A}(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

正の-測定可能変数は測定可能なので、ランダム変数です。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle f}$

ランダムな測定の分布は、次の分布によって一意に決定される。

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

上のコンパクトな台を持つすべての連続関数に対して成り立つ。の意味でを生成する固定された半環に対して、ランダム測度の分布も、すべての正の単純-測定可能関数上の積分によって一意に決定される。^[6]${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})={\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle f}$

一般的に、測定値は次のように分解されます。

${\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},}$

ここでは原子なしの拡散測定ですが、 は純粋に原子の測定です。 ${\displaystyle \mu _{d}}$${\displaystyle \mu _{a}}$

次の形式のランダムな測定値:

${\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{N}\delta _{X_{n}},}$

ここで、はディラック測度、 はランダム変数であり、点過程^{[1] [2]}またはランダム計数測度と呼ばれます。このランダム測度はN個の粒子の集合を記述し、その位置は（一般にベクトル値の）ランダム変数 によって与えられます。計数測度では 拡散成分はゼロです。${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \mu _{d}}$

上記の正式な表記法では、ランダム計数測度は確率空間から測定可能空間( 、  )${\displaystyle N_{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}(N_{X})}$への写像です。測定可能空間 。ここでは、すべての境界有限整数値測度(計数測度と呼ばれる)の空間です。 ${\displaystyle N_{X}}$${\displaystyle N\in M_{X}}$

期待値測度、ラプラス関数、モーメント測度、ランダム測度の定常性の定義は、点過程の定義に従います。ランダム測度は、モンテカルロ数値積分法や粒子フィルタなどのモンテカルロ法の記述と解析に役立ちます。^[7]

• ポアソンランダム測度
• ベクトル測定
• アンサンブル