ベール尺度

数学において、ベール測度は、位相空間のベール集合のσ 代数上の測度であり、その値はすべてのコンパクト ベール集合上で有限である。コンパクト距離空間では、ボレル集合とベール集合は同じであるため、ベール測度はコンパクト集合上で有限であるボレル測度と同じである。一般に、ベール集合とボレル集合は同じである必要はない。非ベール ボレル集合を持つ空間では、ベール測度は連続関数の特性とより直接的に関係するため使用される。

ベール集合には同値でない定義が複数存在するため、位相空間上のベール測度の同値でない概念も複数存在する。これらはすべて、局所コンパクトσ コンパクト ハウスドルフ空間である空間上で一致する。

実際には、ベール測度は通常のボレル測度に置き換えることができます。ベール測度と通常のボレル測度の関係は次のとおりです。

• 有限ボレル測度をベール集合に制限したものがベール測度である。
• コンパクト空間上の有限ベール測度は常に正則です。
• コンパクト空間上の有限のベール測度は、唯一の正則ボレル測度の制限です。
• コンパクト (または σ-コンパクト) 距離空間では、ボレル集合はベール集合と同じであり、ボレル測度はベール測度と同じです。

• 単位区間上の計数測度は、正規ではない（または σ 有限ではない）ベール集合上の測度です。
• 局所コンパクト群上の（左または右の）ハール測度は、群のそれ自身への左（右）作用の下でベール測度不変である。特に、群がアーベル群である場合、左ハール測度と右ハール測度は一致し、ハール測度は並進不変であると言われる。ポンチャギン双対性も参照。

• レナード・ギルマン、マイヤー・ジェリソン『連続関数の環』、シュプリンガー・フェアラーク #43、1960年