円錐形の組み合わせ

実ベクトル空間における有限個のベクトルが与えられたとき、これらのベクトルの円錐結合、円錐和、または重み付き和^{[1] [2]}は、次の形式のベクトルとなる。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}$

ここで、は負でない実数 です。${\displaystyle \alpha_{i}}$

この名前は、すべての円錐ベクトルの和の集合が円錐（おそらく低次元の部分空間内） を定義するという事実に由来しています。

与えられた集合Sに対する円錐結合全体の集合はSの円錐包と呼ばれ、cone ( S ) ^[1]またはconi ( S ) ^[2]と表記される。つまり、

${\displaystyle \operatorname {coni} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}:x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0},\,k\in \mathbb {N} \right\}.}$

k = 0とすると 、ゼロベクトル (原点) はすべての円錐包に属することになります (合計が空の合計になるため)。

集合Sの円錐包は凸集合です。実際、円錐包はS を含むすべての凸錐の交差と原点です。^[1] Sがコンパクト集合(特に有限の空でない点の集合)である場合、「原点をプラスする」という条件は不要です。

原点を無視すると、すべての係数をその合計で割ることで、円錐結合が正の係数でスケーリングされた 凸結合であることがわかります。

したがって、「円錐結合」と「円錐包」は、実際にはそれぞれ「凸円錐結合」と「凸円錐包」です。^[1]さらに、原点を破棄しながら係数を分割することに関する上記のコメントは、円錐結合と包が射影空間内の凸結合と凸包として考えることができることを意味しています。

コンパクト集合の凸包もコンパクト集合であるが、円錐包の場合はそうではない。まず、円錐包は非有界である。さらに、必ずしも閉集合である必要もない。反例としては、原点を通る球があり、円錐包は開いた半空間と原点を加えたものである。しかし、Sが空でない凸コンパクト集合で原点を含まない場合、Sの凸円錐包は閉集合である。^[1]

• アフィン結合
• 凸結合
• 線形結合