ボレル集合

数学において、ボレル集合とは、可算和集合、可算積集合、および相対補集合の演算によって開集合（または、同義で、閉集合）から形成できる位相空間内の任意の集合である。ボレル集合はエミール・ボレルにちなんで名付けられている。

位相空間Xについて、 X上のすべてのボレル集合の集合はσ-代数を形成し、これはボレル代数またはボレル σ-代数として知られています。 X上のボレル代数は、すべての開集合 (または、同等に、すべての閉集合) を含む最小の σ-代数です。

ボレル集合は測度論において重要である。なぜなら、空間の開集合上または閉集合上に定義された測度は、その空間のすべてのボレル集合上でも定義されなければならないからである。ボレル集合上に定義された測度は、ボレル測度と呼ばれる。ボレル集合および関連するボレル階層は、記述集合論においても基本的な役割を果たす。

いくつかの文脈では、ボレル集合は、開集合ではなく位相空間のコンパクト集合によって生成されると定義されます。2 つの定義は、すべてのハウスドルフσ コンパクト空間を含む多くの行儀のよい空間では同等ですが、より異常な空間 では異なる場合があります。

X が距離空間である場合、第一の意味でのボレル代数は生成的に次のように記述できます。

Xの部分集合の集合T（つまり、Xの冪集合P( X )の任意の部分集合）に対して、

• ${\displaystyle T_{\sigma}}$Tの要素の可算和集合すべてである
• ${\displaystyle T_{\delta}}$Tの要素の可算な共通部分すべてである
• ${\displaystyle T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.}$

ここで、超限帰納法によって、次の方法で シーケンスG ^mを定義します。ここで、mは順序数です。

• 定義の基本ケースとして、 をXの開集合の集合とします。${\displaystyle G^{0}}$
• i が極限順序数でない場合、i の直前の順序数はi − 1である。$${\displaystyle G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.}$$
• iが極限順序数の場合、$${\displaystyle G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.}$$

ボレル代数はG ^{ω ₁}であり、 ω _{1 は}最初の非可算順序数であるという主張です。つまり、ボレル代数は、最初の非可算順序数への操作を繰り返すことによって、開集合のクラスから 生成できます 。 $${\displaystyle G\mapsto G_{\delta \sigma }.}$$

この主張を証明するために、距離空間内の任意の開集合は、閉集合の増加列の和集合である。特に、集合の補集合は、任意の極限順序数mに対してG ^{m を}それ自身に 写像する。さらに、m が非可算極限順序数である場合、G ^{m は}可算和集合に対して閉じている。

各ボレル集合Bには、 α _Bに対して演算を繰り返すことでB を取得できるような可算順序数α _Bがあります。ただし、B がすべてのボレル集合にわたって変化すると、α _Bもすべての可算順序数にわたって変化するため、すべてのボレル集合が得られる最初の順序数はω ₁、つまり最初の不可算順序数になります。

結果として得られる集合のシーケンスは、ボレル階層と呼ばれます。

特に確率論における重要な例として、実数集合上のボレル代数があります。これはボレル測度が定義されている代数です。確率空間上で定義された実数ランダム変数が与えられた場合、その 確率分布は定義によりボレル代数上の測度でもあります。

実数上のボレル代数は、すべての区間を含むR上の最小の σ 代数です。

超限帰納法による構成では、各ステップで、集合の数は連続体の濃度以下であることが示されます。したがって、ボレル集合の総数は以下です。 $${\displaystyle \aleph _{1}\cdot 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}.}$$

実際、ボレル集合の集合の濃度は連続体の濃度と等しいです（存在するルベーグ可測集合の数と比較すると、これは より大きく に等しくなります）。 ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}$

X を位相空間とする。 Xに関連付けられたボレル空間はペア ( X , B ) であり、B はXのボレル集合の σ 代数である。

ジョージ・マッキーはボレル空間を少し違った形で定義し、「ボレル集合と呼ばれる部分集合の区別されたσ体を伴う集合」と書いた。^[1]しかし、現代の用法では、区別された部分代数を可測集合と呼び、そのような空間を可測空間と呼ぶ。この区別の理由は、ボレル集合が（位相空間の）開集合によって生成されるσ代数であるのに対し、マッキーの定義は任意のσ代数を備えた集合を指すためである。基礎となる空間上の任意の位相に対して、ボレル空間ではない可測空間が存在する。^[2]

可測空間は、射が可測空間間の可測関数であるカテゴリを形成します。関数が可測であるとは、それが可測集合を引き戻す場合、つまり、 Yのすべての可測集合Bに対して、その集合がXで可測であることを意味します。 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle f^{-1}(B)}$

定理。Xをポーランド空間、つまり位相空間とし、 Xの位相を定義し、X を完全可分距離空間にする X上の距離 dが存在するものとする。このとき、ボレル空間としてのX は、次のいずれかに 同型である。

1. R、
2. Z ^{[説明が必要]}、
3. 有限の空間。

（この結果はマハラムの定理を彷彿とさせます。）

ボレル空間として考えると、実数直線R 、 Rと可算集合の和集合、およびR ^{n は}同型です。

標準ボレル空間はポーランド空間に関連付けられたボレル空間である。標準ボレル空間は同型性を除いてその濃度によって特徴付けられ、^[3]任意の無数標準ボレル空間は連続体の濃度を持つ。

ポーランド空間の部分集合の場合、ボレル集合は、ポーランド空間上で定義された連続単射写像の値域である集合として特徴付けることができます。ただし、連続非単射写像の値域はボレルではない可能性があることに注意してください。解析集合を参照してください。

標準ボレル空間上のすべての確率測度は、その空間を標準確率空間に変換します。

ルシン^[4] による非ボレルな実数の部分集合の例を以下に述べる。対照的に、非測定集合の例は示すことができないが、そのような集合の存在は、例えば選択公理によって暗示される。

すべての無理数は無限の単純連分数によって一意に表現される。

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}$

ここで は整数で、他のすべての数は正の整数です。を、各要素が次の要素の約数であるような無限部分列が存在するという特性を持つ数列に対応するすべての無理数の集合とします。この集合はボレル集合ではありません。しかし、解析的であり(すべてのボレル集合は解析的でもあります)、解析集合のクラスで完全です。詳細については、記述的集合論とAS Kechrisの著書(参考文献を参照)、特に 209 ページの演習 (27.2)、169 ページの定義 (22.9)、14 ページの演習 (3.4)(ii)、および 196 ページを参照してください。 ${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots )}$ ${\displaystyle (a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )}$${\displaystyle A}$

ツェルメロ・フランケル公理​​（ZF）は の構築を形式化するのに十分ですが、 が非ボレル集合であることを ZF だけでは証明できないことに注意することが重要です。実際、 が可算集合の可算和集合であることは ZF と一致しており、^{[5] の}任意の部分集合はボレル集合です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

もう一つの非ボレル集合は、無限パリティ関数の逆像です。ただし、これは存在の証明（選択公理による）であり、明示的な例ではありません。 ${\displaystyle f^{-1}[0]}$ ${\displaystyle f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}}$

ポール・ハルモス^[6]によれば、局所コンパクトハウスドルフ位相空間の部分集合は、それがすべてのコンパクト集合を含む最小のσ環に属する場合、ボレル集合と呼ばれる。

NorbergとVervaat ^[7]は、位相空間のボレル代数を、その開部分集合とそのコンパクト飽和部分集合によって生成される -代数として再定義しました。この定義は、がハウスドルフでない場合の応用に適しています。が2番目に可算である場合、またはすべてのコンパクト飽和部分集合が閉じている場合（がハウスドルフである場合に特に当てはまります） は、通常の定義と一致${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• ボレル階層
• ボレル同型
• ベールセット
• 円筒形σ代数
• 記述的集合論 – 数理論理学のサブフィールド
• ポーランド空間 – 位相幾何学の概念

• ウィリアム・アーヴェソン、『C*-代数への招待』 、シュプリンガー・フェアラグ、1981年。（ポーランド位相幾何学の優れた解説については第3章を参照）
• リチャード・ダドリー『実解析と確率』ワズワース、ブルックス、コール、1989年
• ハルモス、ポール R. (1950)。測定理論。 D. ヴァン ノストランド社 特にセクション 51「ボレル集合とベール集合」を参照してください。
• ハルシー・ロイデン『実分析』プレンティス・ホール、1988年
• Alexander S. Kechris著『Classical Descriptive Set Theory』、Springer-Verlag、1995 年（Graduate texts in Math.、第 156 巻）

• 「ボレル集合」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ミザール系におけるボレル集合の正式な定義、およびそれについて正式に証明された定理の一覧。2020-06-01にWayback Machineでアーカイブされています。
• Weisstein、Eric W.「ボレル集合」。MathWorld。