アーベル・フォン・ノイマン代数

数学の一分野である関数解析において、アーベル・フォン・ノイマン代数は、すべての要素が可換なヒルベルト空間上の演算子のフォン・ノイマン代数です。

アーベル的フォン・ノイマン代数の典型的な例は、X上のσ有限測度μに対する代数L ^∞ ( X , μ)であり、ヒルベルト空間L ² ( X , μ)上の作用素の代数として次のように実現される。各f ∈ L ^∞ ( X , μ)は、乗算作用素と同一視される 。

${\displaystyle \psi \mapsto f\psi .}$

特に重要なのは、可分ヒルベルト空間上のアーベル・フォン・ノイマン代数であり、特に単純な不変量によって完全に分類可能であるためである。

非可分ヒルベルト空間上のフォン・ノイマン代数に対する理論は存在するが（実際、その場合でも一般理論の多くは成り立つ）、その理論は可分空間上の代数に対してはかなり単純であり、数学や物理学の他の分野への応用のほとんどは可分ヒルベルト空間のみを使用する。測度空間（X、μ）が標準測度空間（つまり、X − Nが何らかのヌル集合Nに対する標準ボレル空間であり、μがσ有限測度である）である場合、L2（X 、μ）^は可分であることに注意してください。

可換フォン・ノイマン代数と測度空間の関係は、可換 C*-代数と局所コンパクト ・ハウスドルフ空間の関係に類似しています。可分ヒルベルト空間上のすべての可換フォン・ノイマン代数は、ある標準測度空間 ( X , μ) に対してL ^∞ ( X )に同型であり、逆に、すべての標準測度空間Xに対して L ^∞ ( X ) はフォン・ノイマン代数です。この同型は、代数同型です。実際、これをより正確に次のように述べることができます。

定理。可分ヒルベルト空間上の作用素の任意のアーベル・フォン・ノイマン代数は、次のもののちょうど1つと*同型である。

• ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\{1,2,\ldots ,n\}),\quad n\geq 1}$
• ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$
• ${\displaystyle L^{\infty }([0,1])}$
• ${\displaystyle L^{\infty }([0,1]\cup \{1,2,\ldots ,n\}),\quad n\geq 1}$
• ${\displaystyle L^{\infty }([0,1]\cup \mathbf {N} ).}$

同型性は、弱い演算子の位相を保存するように選択できます。

上記のリストでは、和集合は互いに素な和集合であり、区間 [0,1] はルベーグ測度を持ち、集合 {1, 2, ..., n } およびN は計数測度を持ちます。この分類は、本質的には、分離測度代数に対するマハラムの分類定理の変形です。最も有用なマハラムの分類定理のバージョンは、同値の点実現を伴い、いくぶんフォーク定理のようなものです。

すべての標準的な測度空間は上記のいずれかに同型であり、この意味でリストは網羅的ですが、アーベル フォン ノイマン代数Aの場合は測度空間のより標準的な選択があります。すべての射影子の集合は-完全ブール代数、つまり点のない-代数です。特殊なケースでは、抽象-代数が復元されます。この点のないアプローチは、アーベル フォン ノイマン代数のカテゴリと抽象 -代数のカテゴリ間のゲルファンド双対性に類似した双対性定理に変換できます。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle A=L^{\infty }(X,{\mathfrak {A}},\mu )}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\{A\mid \mu (A)=0\}}$${\displaystyle \sigma}$

μとνをそれぞれ標準ボレル空間XとY上の非原子確率測度とする。すると、 Xのμヌル部分集合N 、 Yのνヌル部分集合M、およびボレル同型が存在する。

${\displaystyle \phi :X\setminus N\rightarrow Y\setminus M,\quad }$

これはμをνに持ち込む。^[1]

上記の結果では、結果が機能するためには、測定ゼロのセットを切り取る必要があることに注意してください。

上記の定理では、同型性は弱作用素位相を保つために必要である。結局のところ（そして定義から容易にわかるように）、代数L ^∞ ( X , μ ) に対して、次の位相はノルム有界集合上で一致する。

1. L∞ ( X , ^μ )上の弱作用素位相。
2. L∞ ( X , ^μ )上の超弱演算子位相。
3. L ¹ ( X , μ )の双対空間として考えられたL ^∞ ( X , μ )上の弱*収束の位相。

しかし、可換フォンノイマン代数Aの場合、可分ヒルベルト空間上の作用素の代数としてのAの実現は、極めて非一意的である。Aの作用素代数実現の完全な分類は、スペクトル多重度理論によって与えられ、直接積分の使用を必要とする。

直接積分理論を用いると、 L ² ( X , μ )上の作用素として作用する形式L ^∞ ( X , μ ) のアーベル フォン ノイマン代数はすべて最大アーベルであることが示せます。つまり、これらをそれよりも大きなアーベル代数に拡張することはできません。これらは最大アーベル自己随伴代数(MASA)とも呼ばれます。これらを説明するために使用される別のフレーズは、一様重複度 1のアーベル フォン ノイマン代数です。この説明は、以下に説明する重複度理論に関連してのみ意味を持ちます。

H上のフォン・ノイマン代数A、K上のフォン・ノイマン代数Bが空間的に同型（またはユニタリー的に同型）であるための必要十分条件は、次のユニタリー作用素U : H → Kが存在する場合である。

${\displaystyle UAU^{*}=B.}$

特に、空間的に同型のフォン・ノイマン代数は代数的に同型です。

可分ヒルベルト空間H上の最も一般的なアーベル・フォン・ノイマン代数を空間同型まで記述するには、 Hの直接積分分解を参照する必要があります。この分解の詳細については、アーベル・フォン・ノイマン代数の分解で説明されています。特に、

定理可分ヒルベルト空間H上の任意のアーベルフォンノイマン代数は、L ^∞ ( X , μ ) に作用する 空間的に同型である。

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H(x)\,d\mu (x)}$

ヒルベルト空間の何らかの測定可能な族 { H _x } _{x ∈ X}に対して。

このような直接積分空間に作用するアーベル・フォン・ノイマン代数の場合、ノルム有界集合上の弱作用素位相、超弱位相、弱*位相の同値性は依然として成り立つことに注意してください。

エルゴード理論における多くの問題は、アーベル・フォン・ノイマン代数の自己同型に関する問題に帰着します。その点では、次の結果が有用です。

定理. ^{[2] μ、νがそれぞれ}X、Y上の標準測度であるとする。このとき、任意の反転同型

${\displaystyle \Phi :L^{\infty }(X,\mu )\rightarrow L^{\infty }(Y,\nu )}$

これは弱*-双連続であり、次の意味での点変換に対応する。Xのボレル零集合MとYのボレル零集合Nが存在し、ボレル同型

${\displaystyle \eta :X\setminus M\rightarrow Y\setminus N}$

そのような

1. η は測度 μ をY上の測度 μ' に持ち越し、これは μ' と ν が同じ測度ゼロの集合を持つという意味で ν と同値である。
2. ηは変換Φを実現する。つまり、

${\displaystyle \Phi (f)=f\circ \eta ^{-1}.}$

一般に、η が μ を ν に持ち込むことは期待できないことに注意してください。

次の結果は、アーベル・フォン・ノイマン代数間の弱*-双連続同型を誘導するユニタリー変換に関するものです。

定理. ^[3] μ、ν がX、Y、および

${\displaystyle H=\int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x),\quad K=\int _{Y}^{\oplus }K_{y}d\nu (y)}$

ヒルベルト空間の測定可能な族 { H _x } _{x ∈ X} , { K _y } _{y ∈ Y}に対して。U  : H → Kがユニタリで 、

${\displaystyle U\,L^{\infty }(X,\mu )\,U^{*}=L^{\infty }(Y,\nu )}$

すると、前の定理と同様に、ほぼどこでも定義されるボレル点変換η: X → Yと、ユニタリ演算子の 測定可能な族{ U _x } _x∈Xが存在する_。

${\displaystyle U_{x}:H_{x}\rightarrow K_{\eta (x)}}$

そのような

${\displaystyle U{\bigg (}\int _{X}^{\oplus }\psi _{x}d\mu (x){\bigg )}=\int _{Y}^{\oplus }{ \sqrt {{\frac {d(\mu \circ \eta ^{-1})}{d\nu }}(y)}}\ U_{\eta ^{-1}(y)}{\bigg (}\psi _{\eta ^{-1}(y)}{\bigg )}d\nu (y),}$

ここで平方根記号の付いた表現は、 ν に関するμ η ^−1のラドン・ニコディム微分です。この記述は、上で述べた自己同型の点実現に関する定理と、直積分に関する記事で述べた対角化可能な演算子の代数を特徴付ける定理とを組み合わせることで得られます。

• J. Dixmier、『Les algèbres d'opérateurs dans l'espace Hilbertien』、Gauthier-Villars、1969 年。第 1 章、セクション 6 を参照。
• 竹崎正道 『作用素代数理論 I、II、III』、数理科学事典、シュプリンガー・フェルラーク、2001 ～ 2003 年 (第 1 巻は 1979 年に第 1 版で出版) ISBN 3-540-42248-X