外側の測定

数学の測度論の分野において、外測度（がいさつめいど、英: external measure）とは、与えられた集合のすべての部分集合上で定義され、拡張された実数に値を持ち、いくつかの追加の技術的条件を満たす関数である。外測度の理論は、可測集合と可算加法測度の理論の抽象的な基礎を提供するために、コンスタンティン・カラテオドリによって初めて導入された。^{[1] [2]}カラテオドリの外測度に関する研究は、測度論的集合論において多くの応用が見られ（外測度は、例えば基本的なカラテオドリの拡大定理の証明に使用されている）、ハウスドルフによって、現在ハウスドルフ次元と呼ばれる次元のような計量不変量を定義するために本質的に使用された。外測度は、幾何学的測度論の分野で一般的に使用されている。

測定は長さ、面積、体積を一般化したものですが、 内の区間や 内の球よりもはるかに抽象的で不規則な集合に役立ちます。上の一般化された測定関数を定義して、次の要件を満たすこと が期待できます。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

1. 実数の任意の区間は測度を持つ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle ba}$
2. 測定関数は、 のすべての部分集合に対して定義される非負の拡張実数値関数です。${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \mathbb {R} }$
3. 並進不変性：任意の集合および任意の実数に対して、集合および は同じ測度を持つ。${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A+x=\{a+x:a\in A\}}$
4. 可算加法性：任意の対をなす部分集合の列に対して ${\displaystyle (A_{j})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i}).}$

これらの要件は両立しない条件であることが判明しています。非測定集合を参照してください。 のすべての部分集合に対して外部測定を構築する目的は、可算な加法性を満たすような方法で 部分集合のクラス（測定可能と呼ばれる）を選択することです。${\displaystyle X}$

集合が与えられたとき、 を空集合を含むすべての部分集合の集合と表す。上の外測度は、 次のような 集合関数である。${\displaystyle X,}$${\displaystyle 2^{X}}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \varnothing.}$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \mu :2^{X}\to [0,\infty ]}$$

• null 空セット:${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• 可算劣加法性：任意の部分集合に対して${\displaystyle A,B_{1},B_{2},\ldots }$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle {\text{if }}A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\text{ then }}\mu (A)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).}$$

この定義には無限和に関する微妙な問題はないことに注意してください。加数はすべて非負であると想定されているため、部分和のシーケンスは、無制限に増加することによってのみ発散する可能性があります。したがって、定義に現れる無限和は常に の明確に定義された要素になります。代わりに、外部測定が負の値を取ることが許可されている場合、その定義は、収束しない無限和の可能性を考慮して変更する必要があります。 ${\displaystyle [0,\infty ].}$

代替的かつ同等の定義。^[3]ハルモス（1950）などの一部の教科書では、代わりに外測度を次のような 関数として定義している。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu :2^{X}\to [0,\infty ]}$

• null 空セット:${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• 単調:およびが の部分集合である場合、${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq B,}$${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$
• 任意の部分集合に対して${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots }$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).}$$

を外測度を持つ集合とする。の部分集合が に対して -可測（数学者カラテオドリにちなんで、 に対してカラテオドリ可測とも呼ばれる）であるとは、 の任意 の 部分集合に対してであることを意味する。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu .}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cap E)+\mu (A\setminus E)}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$

非公式には、これは、- 測定可能な部分集合は、他の部分集合を断片に分解する構成要素として使用できる部分集合であることを示しています (つまり、測定可能な集合の内部にある断片と測定可能な集合の外部にある断片)。 測度論の動機の観点から、たとえば、面積 は平面上の外部測度であるはずです。 そうすると、 と が平面の互いに素な部分集合である場合は 常に、平面のすべての部分集合が「測定可能」であるとみなされると予想されます 。 しかし、理論の形式的な論理的展開は、状況がより複雑であることを示しています。選択公理の形式的な含意は、長方形の面積の標準公式を特別なケースとして含む外部測度としての面積の任意の定義に対して、測定できない平面の部分集合が必ず存在するということです。 特に、上記の「予想される原理」は、選択公理を受け入れる限り、誤りです。 ${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \operatorname {area} (A\cup B)=\operatorname {area} (A)+\operatorname {area} (B)}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

上記の-測定可能性の定義を使用すると、 ${\displaystyle \mu }$

• が- 測定可能であれば、その補集合も- 測定可能になります。${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\setminus A\subseteq X}$${\displaystyle \mu }$

次の条件は、「測定可能な部分集合上のの可算な加法性」として知られています。 ${\displaystyle \mu }$

• が の-測定可能なペアワイズ分離 (に対して) な部分集合である場合、${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_{j}).}$$

同様の証明は次のことを示しています。

• が の - 測定可能な部分集合である場合、和集合と積集合も- 測定可能です。${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}$${\displaystyle \mu }$

ここで示す特性は、次の用語で要約できます。

集合上の任意の外部測度が与えられると、のすべての -測度可能な部分集合の集合はσ-代数となる。 をこの -代数に制限すると測度となる。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

したがって、上の外部測度の指定から自然に生じる 上の測度空間構造が得られます。この測度空間には、次のステートメントに含まれる 完全性という追加のプロパティがあります。${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$

• となるすべての部分集合は-測定可能である。${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle \mu (A)=0}$${\displaystyle \mu }$

これは、外部測定の「代替定義」の 2 番目のプロパティを使用すると簡単に証明できます。

を集合上の外測度とします。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$

別の集合とマップが次のように 定義される。${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f_{\sharp }\mu :2^{Y}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle {\big (}f_{\sharp }\mu {\big )}(A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}.}$

定義から、 が上の外部測度であることを直接確認できます。 ${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$${\displaystyle Y}$

BをXの部分集合とする。μB  :2X → [0,∞]_を次のように 定義する^。

${\displaystyle \mu _{B}(A)=\mu (A\cap B).}$

定義から直接、μ _{B が}X上の別の外測度であることを確認できます。

XのサブセットAがμ測定可能であれば、 Xの任意のサブセットBに対してもμ _B測定可能です。

マップf  : X → YとYのサブセットAが与えられたとき、f ⁻¹ ( A )がμ測定可能であれば、Aはf _# μ測定可能です。より一般的には、f ⁻¹ ( A )がμ測定可能であるのは、XのすべてのサブセットBに対してAがf _# ( μ _B )測定可能である場合のみです。

集合Xが与えられたとき、 X上の外部測度μ は、任意の部分集合がμ測定可能な集合によって「外部から」近似できる場合、正則であると言われます。正式には、これには次の同等の条件のいずれかが必要です。 ${\displaystyle A\subseteq X}$

• ${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (B)\mid A\subseteq B,B{\text{ is μ-measurable}}\}}$
• Aと を含む、Xのμ測定可能な部分集合B が存在する。${\displaystyle \mu (B)=\mu (A)}$

2番目の条件が1番目の条件を意味するのは当然である。1番目の条件は、2番目の条件を、${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle \mu (B_{i})\to \mu (A)}$

集合X上の外測度μが与えられたとき、ν  :2X ^→ [0,∞]を次のように 定義する。

${\displaystyle \nu (A)=\inf {\Big \{}\mu (B):\mu {\text{-measurable subsets }}B\subset X{\text{ with }}B\supset A{\Big \}}.}$

このとき、ν はX上の正規外部測度であり、 Xのすべてのμ可測部分集合にμと同じ測度を割り当てます。すべてのμ可測部分集合はν可測でもあり、有限ν測度のすべてのν可測部分集合もμ可測です。

したがって、 νに関連付けられた測度空間は、μに関連付けられた測度空間よりも大きな σ 代数を持つ可能性があります。 νとμのより小さな σ 代数への制限は同一です。 より小さな σ 代数に含まれないより大きな σ 代数の要素は、無限のν測度と有限のμ測度を持ちます。

この観点から、ν はμの拡張として考えることができます。

(X, d)が距離空間で、φ がX上の外測度であるとする。φ が次の性質を持つ 場合、

${\displaystyle \varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)}$

いつでも

${\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,}$

φ は計量外部測度と呼ばれます。

定理。φ がX上の計量外部測度である場合、Xのすべてのボレル部分集合はφ測定可能である。( Xのボレル集合は、開集合によって生成される最小のσ代数の要素である。)

集合の外部測度を構築する手順はいくつかあります。以下の古典的な Munroe の参考文献では、特に有用な 2 つの手順について説明されており、方法 Iと方法 IIと呼ばれています。

X を集合、C を空集合を含むXの部分集合の族、 p を空集合上で消える C上の非負の拡張実数値関数とします。

定理。族Cと関数pが上記の通りであると仮定し、定義する。

${\displaystyle \varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}.}$

つまり、最小値は、 E をカバーするCの元のすべてのシーケンス{A _i }に拡張され、そのようなシーケンスが存在しない場合は最小値は無限であるという規則が適用されます。この場合、φ はX上の外部測度です。

2番目の手法は、距離空間上の外部測度を構築するのにより適している。なぜなら、距離外部測度が得られるからである。(X, d)が距離空間であるとしよう。上記のように、Cは空集合を含むXの部分集合の族であり、 pは空集合上では消えるC上の非負の拡張実数値関数である。各δ > 0に対して、

${\displaystyle C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}}$

そして

${\displaystyle \varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.}$

明らかに、δ ≤ δ'のときφ _δ ≥ φ _δ'である。なぜなら、 δが減少するにつれて、最小値はより小さなクラスに渡るからである。したがって、

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]}$

存在する（無限の可能性あり）。

定理. φ _{0 は}X上の計量外部測度である。

これは、距離空間の ハウスドルフ測度の定義で使用される構成です。

• 内部測定

• Aliprantis, CD; Border, KC (2006).無限次元解析（第3版）. ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：Springer Verlag . ISBN 3-540-29586-0。
• Carathéodory、C. (1968) [1918]。Vorlesungen über reelle Funktionen (ドイツ語) (第 3 版)。チェルシー出版。ISBN 978-0828400381。
• エヴァンス、ローレンス C.; ガリエピ、ロナルド F. (2015)。測度論と関数の微細特性。改訂版。数学教科書。CRC プレス、フロリダ州ボカラトン。pp. xiv+ 299。ISBN 978-1-4822-4238-6。
• フェデラー、H. (1996) [1969].幾何学的測度論. 数学の古典（第1版再版）. ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：シュプリンガー出版. ISBN 978-3540606567。
• ハルモス、P. (1978) [1950]. 測度論. 大学院数学テキスト（第2版）. ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：シュプリンガー出版. ISBN 978-0387900889。
• Munroe, ME (1953).測定と積分入門(第 1 版). Addison Wesley . ISBN 978-1124042978。
• コルモゴロフ, AN ;フォミン, SV (1970). 実解析入門. リチャード・A・シルバーマン訳. ニューヨーク:ドーバー出版. ISBN 0-486-61226-0。

• 数学百科事典における外測度
• 数学百科事典のカラテオドリー測定