複雑な測定

数学、特に測度論において、複素測度は測度の概念を複素数値を持つように一般化します。^[1]言い換えれば、大きさ（長さ、面積、体積）が複素数である集合を許容します。

形式的には、測定可能な空間上の複素測度は 複素数値関数である。${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

${\displaystyle \mu:\Sigma\to\mathbb{C}}$

はシグマ加法的である。言い換えれば、に属する任意の互いに素な集合の列 に対して、 ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})=\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right) \in \mathbb {C} .}$

任意の順列（一対一）については、 は無条件に収束します（したがって、は有限次元なので、は絶対収束します）。 ${\displaystyle \displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{\sigma (n)}}$${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mu}$

実数値の可測関数の非負測度に関するルベーグ積分と同様に、測定可能な関数を単純な関数で近似することによって、複素数値の可測関数の複素測度に関する積分を定義することができます。^{[2]通常の積分の場合と同様に、このより一般的な積分は存在しないか、その}値が無限大（複素無限大） になる可能性があります。

もう一つのアプローチは、積分理論を一から構築するのではなく、実数値関数の非負測度に関する積分という既存の概念を使用することです。^{[3]そのためには、複素測度μの実部μ} ₁と虚部μ ₂が有限値の符号付き測度であるかどうかを簡単に確認します。これらの測度にハーン・ジョルダン分解を適用して、次のように分割する ことができます。

${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-}}$

そして

${\displaystyle \mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-}}$

ここで、μ ₁ ⁺、μ ₁ ⁻、μ ₂ ⁺、μ ₂ ⁻は有限値の非負測度（ある意味で一意）である。すると、現時点で 実数値である測定可能な関数fに対して、次のように定義できる。

${\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{-}\right)+i\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{-}\right)}$

右辺の式が定義されている限り、つまり4つの積分がすべて存在し、それらを足し合わせると不定な∞−∞に遭遇することはありません。^[3]

複素数値の測定可能な関数が与えられた場合、その実数部と虚数部を上図のように別々に積分し、予想通り、次のように定義できる。

${\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\int _{X}\!\Re (f)\,d\mu +i\int _{X}\!\Im (f)\,d\mu .}$

複素測度μの場合、その変化、つまり絶対値|μ|は次の式で 定義される。

${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{n=1}^{\infty }|\mu (A_{n})|}$

ここで、Aは Σ に属し、最大値はA となるすべての互いに素な集合( A _n ) _nの列にわたっています。集合 A を測定可能な部分集合に有限分割するだけで、同等の定義が得られます。

|μ|は非負の有限測度であることがわかる。複素数が極形式で表現できるのと同様に、複素測度には極分解がある。つまり、実数値を持つ測定可能な関数θが存在し、

${\displaystyle d\mu =e^{i\theta }d|\mu |,}$

意味

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fe^{i\theta }\,d|\mu |}$

絶対積分可能な測定可能な関数f、すなわち fが

${\displaystyle \int _{X}|f|\,d|\mu |<\infty .}$

ラドン・ニコディムの定理を用いて、変分が測度であることと極分解の存在を証明することができます。

2つの複素測度の和は複素測度であり、複素測度と複素数の積も同様である。つまり、測度空間（X、Σ）上のすべての複素測度の集合は、複素数上のベクトル空間を形成する。さらに、次のように定義される 全変化は、 ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)\,}$

はノルムであり、これに関して複素測度の空間はバナッハ空間となる。

• リースの表現定理
• 署名された尺度
• ベクトル測定

• フォランド、ジェラルド B. (1999)。実解析。最新技術とその応用。純粋および応用数学 (1984 年初版の第 2 版)。ニューヨーク: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-31716-0. MR  1681462. Zbl  0924.28001.
• ルディン、ウォルター(1987)。実解析と複素解析(1966 年初版の第 3 版)。ニューヨーク: McGraw-Hill Book Co. ISBN 0-07-054234-1. MR  0924157. Zbl  0925.00005.

• MathWorldの複素測定