投影値測定

数学、特に関数解析において、 射影値測度（またはスペクトル測度）は、固定された集合の特定の部分集合上で定義され、その値が固定されたヒルベルト空間上の自己随伴 射影である関数である。^[1]射影値測度（PVM）は、値が実数ではなく自己随伴射影である点を除いて、実数値測度と形式的には類似している。通常の測度の場合と同様に、複素数値関数をPVMに関して積分することが可能であり、そのような積分の結果は、指定されたヒルベルト空間上の 線型演算子である。

射影値測度は、自己随伴演算子の重要なスペクトル定理などのスペクトル理論の結果を表現するために使用され、この場合、PVM はスペクトル測度と呼ばれることもあります。自己随伴演算子のボレル関数計算は、 PVM に関する積分を使用して構築されます。量子力学では、PVM は射影測定の数学的記述です。^{[説明が必要]}混合状態または密度行列が純粋状態の概念を一般化するのと同じ意味で、 PVM は正の演算子値測度(POVM) によって一般化されます。

を可分複素ヒルベルト空間と、 集合と上のボレルσ-代数からなる可測空間と表す。射影値測度は、 から 上の有界自己随伴作用素の集合への写像であり、以下の性質を満たす: [ ^{2] [3]}${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (X,M)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$

• ${\displaystyle \pi (E)}$すべてに対する直交投影である${\displaystyle E\in M.}$
• ${\displaystyle \pi (\emptyset )=0}$そして、 は空集合であり、恒等演算子です。${\displaystyle \pi (X)=I}$${\displaystyle \emptyset}$${\displaystyle I}$
• が互いに素である場合、すべての に対して、${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\dotsc }$${\displaystyle M}$${\displaystyle v\in H}$

${\displaystyle \pi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)v=\sum _{j=1}^{\infty }\pi (E_{j} )v.}$

• ${\displaystyle \pi (E_{1}\cap E_{2})=\pi (E_{1})\pi (E_{2})}$全ての${\displaystyle E_{1},E_{2}\in M.}$

2 番目と 4 番目の性質は、と が互いに素である場合、つまり、 の場合、像と は互いに直交 することを示しています。${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{1}\cap E_{2}=\emptyset }$${\displaystyle \pi (E_{1})}$${\displaystyle \pi (E_{2})}$

とその直交補空間をそれぞれ の像と 核とする。がの閉部分空間である場合、 は直交分解と書くことができ 、 は4 つの性質すべてを満たす上の唯一の恒等演算子である。 ^{[4] [5]}${\displaystyle V_{E}=\オペレーター名 {im} (\pi (E))}$ ${\displaystyle V_{E}^{\perp }=\ker(\pi (E))}$${\displaystyle \pi (E)}$${\displaystyle V_{E}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H=V_{E}\oplus V_{E}^{\perp}}$${\displaystyle \pi (E)=I_{E}}$${\displaystyle V_{E}}$

あらゆる場合において、射影値測度は次のように定義される 複素数値測度を形成する。${\displaystyle \xi,\eta\inH}$${\displaystyle E\in M}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle }$

総変動は最大で である。^[6]これは 、${\displaystyle \|\xi \|\|\eta \|}$

${\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle }$

が単位ベクトルである場合の確率測度。 ${\displaystyle \xi}$

例 をσ有限測度空間と し、すべての に対して、 ${\displaystyle (X,M,\mu )}$${\displaystyle E\in M}$

${\displaystyle \pi (E):L^{2}(X)\to L^{2}(X)}$

定義される

${\displaystyle \psi \mapsto \pi (E)\psi =1_{E}\psi ,}$

すなわち、L ² ( X )上の指示関数 の乗算としてである。すると、射影値測度が定義される。^[6]例えば、、、の場合、測定可能な関数を取り、積分を与える 関連する複素測度が存在する。${\displaystyle 1_{E}}$${\displaystyle \pi (E)=1_{E}}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle E=(0,1)}$${\displaystyle \phi ,\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mu _{\phi ,\psi }}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{\phi ,\psi }=\int _{0}^{1}f(x)\psi (x){\overline {\phi }}(x)\,dx}$

π が測定可能な空間 ( X , M ) 上の射影値測度である場合、写像

${\displaystyle \chi _{E}\mapsto \pi (E)}$

は、 X上のステップ関数のベクトル空間上の線型写像に拡張されます。実際、この写像が環準同型であることは簡単に確認できます。この写像は、 X上のすべての有界複素数値測定可能関数に標準的な方法で拡張され、次のようになります。

この定理は非有界測定関数に対しても正しいが、その場合ヒルベルト空間上の非有界線型作用素となる。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle H}$

これにより、そのような演算子に対するボレル関数計算を定義し、リース・マルコフ・角谷表現定理を介して測定可能な関数に移行することができます。つまり、が測定可能な関数である場合、次のような唯一の測度が存在することになります。 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle g(T):=\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\pi (x).}$

を可分複素ヒルベルト空間、を有界自己随伴作用素、を のスペクトルとします。スペクトル定理によれば、ボレル部分集合上に定義される唯一の射影値測度 が存在し、^[9]${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle \sigma (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \pi ^{A}}$ ${\displaystyle E\subset \sigma (A)}$

${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi ^{A}(\lambda ),}$

ここで、のスペクトルが無限大のとき、積分は無限大関数に拡張される。^[10]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A}$

まず、直接積分に基づく射影値測度の一般的な例を示す。 ( X , M , μ) を測度空間とし、{ H _x } _{x ∈ X} を可分ヒルベルト空間の μ 測度族とする。任意の E ∈ Mに対して、π ( E ) をヒルベルト空間上の 1 _Eによる乗算の演算子とする。

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

このときπは( X , M )上の射影値測度となる。

π 、 ρ が ( X、M )上の射影値測度で、H、Kの射影に値を持つと仮定する。 π、 ρ がユニタリ同値である ためには、ユニタリ演算子U : H → Kが存在し、

${\displaystyle \pi (E)=U^{*}\rho (E)U\quad }$

すべてのE ∈ Mに対して。

定理。 ( X , M ) が標準ボレル空間である場合、可分ヒルベルト空間の射影に値を取る( X , M ) 上のすべての射影値測度πに対して、ボレル測度 μ と μ 測定可能なヒルベルト空間族 { H _x } _{x ∈ X}が存在し、π はヒルベルト空間上の 1 _Eの乗算とユニタリに等しくなります。

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

μの測度類^{[説明が必要]}と多重度関数x → dim H _xの測度同値類は、単位同値性まで射影値測度を完全に特徴付ける。

射影値測度πが重複度nの同次 となるのは、重複度関数が定数nを持つ場合のみである。明らかに、

定理. 可分ヒルベルト空間の射影に値を取る任意の射影値測度π は、同次射影値測度の直交直和である。

${\displaystyle \pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \omega }(\pi \mid H_{n})}$

どこ

${\displaystyle H_{n}=\int _{X_{n}}^{\oplus }H_{x}\ d(\mu \mid X_{n})(x)}$

そして

${\displaystyle X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.}$

量子力学では、ヒルベルト空間上の連続自己準同型空間への測定可能空間の射影値測度が与えられると、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$

• ヒルベルト空間の射影空間 は量子系の可能な（正規化可能な）状態の集合として解釈される。 ^[11]${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \varphi }$
• 測定可能空間は、システムの何らかの量子特性（「観測可能」）の値空間である。${\displaystyle X}$
• 投影値の測度は、観測可能なものがさまざまな値をとる確率を表します。${\displaystyle \pi }$

の一般的な選択肢は実数直線ですが、 ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$（3次元における位置または運動量の場合）、
• 離散集合（角運動量、束縛状態のエネルギーなど）
• についての任意の命題の真理値に対する 2 点集合「真」と「偽」。${\displaystyle \varphi }$

を の測定可能な部分集合とし、における正規化されたベクトル量子状態をとすると、そのヒルベルトノルムはユニタリ となる。状態 の系が与えられた場合、 観測量が でその値を取る確率は、${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \|\varphi \|=1}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi )(E)=\langle \varphi \mid \pi (E)(\varphi )\rangle =\langle \varphi |\pi (E)|\varphi \rangle .}$

これを 2 つの方法で解析できます。まず、固定された各 に対して、射影は上の自己随伴演算子であり、その 1 固有空間には観測可能な値が常に に含まれる状態が含まれ、その 0 固有空間には観測可能な値が に決して含まれない状態が含まれます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi (E)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle E}$

第二に、各固定正規化ベクトル状態に対して、関連付け ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi ):E\mapsto \langle \varphi \mid \pi (E)\varphi \rangle }$

観測可能な値をランダム変数に変換する 確率の尺度です。${\displaystyle X}$

射影値測定によって実行できる測定は射影測定と呼ばれます。 ${\displaystyle \pi }$

が実数直線である場合、 に関連して、 上で 定義される自己随伴演算子が存在する。${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle A(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\pi (\lambda )(\varphi ),}$

これは

${\displaystyle A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi ({\lambda _{i}})(\varphi )}$

のサポートが の離散部分集合である場合。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle X}$

上記の演算子は、スペクトル測度に関連付けられた観測可能量と呼ばれます。 ${\displaystyle A}$

射影値測度の考え方は、正演算子値測度(POVM) によって一般化され、射影演算子によって暗示される直交性の必要性が、非直交な 1 の分割である演算子の集合という考え方によって置き換えられます^{[説明が必要] 。この一般化は、}量子情報理論への応用によって動機付けられています。

• スペクトル定理
• コンパクト作用素のスペクトル理論
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