ファジィ測度理論

数学において、ファジー測度理論は、加法性を単調性というより弱い性質に置き換えた一般化された測度を考察する。ファジー測度理論の中心概念はファジー測度（容量とも呼ばれる、^{[ 1 ]}を参照）であり、これは1953年にChoquetによって導入され、1974年にSugenoによってファジー積分の文脈で独自に定義された。ファジー測度には、妥当性/信念測度、可能性/必然性測度、確率測度など、古典的測度のサブセットであるさまざまなクラスが存在する。

させて${\displaystyle \mathbf {X} }$議論の宇宙である、$\displaystyle {\mathcal {C}}}$サブセットのクラスである${\displaystyle \mathbf {X} }$、 そして${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$関数​${\displaystyle g:{\mathcal {C}}\to \mathbb {R} }$どこ

1. $\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {C}}\Rightarrow g(\emptyset )=0}$
2. ${\displaystyle E\subseteq F\Rightarrow g(E)\leq g(F)}$

はファジー尺度と呼ばれます。ファジー尺度は、次の場合に正規化または正則と呼ばれます。${\displaystyle g(\mathbf {X} )=1}$。

ファジー尺度とは、次のようなものです。

• 添加剤の場合は、${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$そのため${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$、 我々は持っています${\displaystyle g(E\cup F)=g(E)+g(F).}$;
• 超モジュラー${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$、 我々は持っています${\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\geq g(E)+g(F)}$;
• 任意の${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$、 我々は持っています${\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\leq g(E)+g(F)}$;
• 超加法性${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$そのため${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$、 我々は持っています${\displaystyle g(E\cup F)\geq g(E)+g(F)}$;
• サブアドミッシブ​${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$そのため${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$、 我々は持っています${\displaystyle g(E\cup F)\leq g(E)+g(F)}$;
• 対称性${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$、 我々は持っています${\displaystyle |E|=|F|}$暗示する${\displaystyle g(E)=g(F)}$;
• いずれかに該当する場合はブール値${\displaystyle E\in {\mathcal {C}}}$、 我々は持っています${\displaystyle g(E)=0}$または${\displaystyle g(E)=1}$。

ファジー測度の性質を理解することは、応用において有用です。スゲノ積分やチョケ積分などの関数を定義するためにファジー測度を用いる場合、これらの性質は関数の挙動を理解する上で非常に重要になります。例えば、加法的なファジー測度に関するチョケ積分は、ルベーグ積分に帰着します。離散的な場合、対称的なファジー測度は順序付き加重平均（OWA）演算子になります。チョケ積分を定義するために劣モジュラファジー測度を用いると凸関数になり、超モジュラファジー測度を用いると凹関数になります。

gをファジー測度とする。g のメビウス表現は集合関数Mで与えられ、すべての に対して となる。${\displaystyle E,F\subseteq X}$、

${\displaystyle M(E)=\sum _{F\subseteq E}(-1)^{|E\backslash F|}g(F).}$

メビウス表現における同等の公理は以下のとおりです。

1. ${\displaystyle M(\emptyset )=0}$。
2. $\sum_{F\subseteq E|i\in F}M(F)\geq 0 \end{f}$すべての${\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }$そしてすべて${\displaystyle i\in E}$

メビウス表現Mにおけるファジー測度は 、 以下の条件を満たす場合に正規化されていると呼ばれる。${\displaystyle \sum _{E\subseteq \mathbf {X} }M(E)=1.}$

メビウス表現は、 Xのどの部分集合が互いに相互作用するかを示すために使用できます。たとえば、加法的なファジー尺度では、単一要素を除いてすべてのメビウス値がゼロになります。標準表現のファジー尺度gは、ゼータ変換を使用してメビウス形式から復元できます。

${\displaystyle g(E)=\sum _{F\subseteq E}M(F),\forall E\subseteq \mathbf {X} .}$

ファジィ尺度は、集合の半環または単調クラス上で定義され、 Xの冪集合のように細分化される場合があり、離散的な場合でも変数の数は 2 ^{| X |ほど大きくなることがあります。このため、}多基準意思決定分析やその他の分野では、ファジィ尺度の計算コストを削減し、使用しやすくするために、ファジィ尺度に関する簡略化の仮定が導入されています。たとえば、ファジィ尺度が加法的であると仮定すると、次のことが成り立ちます。${\displaystyle g(E)=\sum _{i\in E}g(\{i\})}$そして、ファジー尺度の値はXの値から評価できます。同様に、対称ファジー尺度は | X | の値によって一意に定義されます。使用できる重要なファジー尺度は、菅野式または${\displaystyle \lambda }$^{菅野[ 2 ]}とグラビッシュ^{[ 3 ]}によってそれぞれ導入されたファジー尺度とk加法尺度。

ゲーム理論において、シャプレー値またはシャプレー指数はゲームの重みを示す指標として用いられる。シャプレー値はファジー尺度に対して計算することができ、各シングルトンの重要性を示す指標となる。加法的なファジー尺度の場合、シャプレー値は各シングルトンの値と同じになる。

与えられたファジー尺度gに対して、${\displaystyle |\mathbf {X} |=n}$、すべてのシャプレー指数${\displaystyle i,\dots ,n\in X}$は：

${\displaystyle \phi (i)=\sum _{E\subseteq \mathbf {X} \backslash \{i\}}{\frac {(n-|E|-1)!|E|!}{n!}}[g(E\cup \{i\})-g(E)].}$

シャプレー値はベクトルです${\displaystyle \mathbf {\phi } (g)=(\psi (1),\dots ,\psi (n)).}$

• 確率論
• 可能性理論

• Beliakov、Pradera、Calvo、「集約関数：実務者のためのガイド」、Springer、ニューヨーク、2007年。
• Wang, Zhenyuan、およびGeorge J. Klir、『ファジー測度理論』、Plenum Press、ニューヨーク、1991 年。

• ファジー測度理論（ファジー画像処理）は、 2019年6月30日にWayback Machineにアーカイブされました。