定期的な測定

数学において、位相空間上の正則測度とは、あらゆる可測集合を上からは開可測集合で近似し、下からはコンパクト可測集合で近似できる 測度である。

( X ,  T ) を位相空間とし、 Σ をX上のσ-代数とする。μ を( X , Σ )上の測度とする。 Xの可測部分集合Aが内部正則であるとは、

${\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (F)\mid F\subseteq A,F{\text{ コンパクトで測定可能}}\}}$

この特性は言葉では「コンパクト集合による内部からの近似」と呼ばれることもあります。一部の著者^{[1] [2]は、}タイトという用語を内部正則の同義語として使用しています。この用語の使用は、測度の族のタイトさと密接に関連しています。なぜなら、有限測度 μ が内部正則であるためには、すべてのε > 0 に対して、μ ( X \ K ) <  εとなる Xのコンパクト部分集合Kが存在する必要があるからです。これは、測度のシングルトン集合 { μ } がタイトであるための条件とまったく同じです。

外正則であるとは、

${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (G)\mid G\supseteq A,G{\text{ 開いていて測定可能}}\}}$

• すべての測定可能な集合が内部正則である場合、測度は内部正則と呼ばれます。 一部の著者は異なる定義を使用しています。つまり、すべての開測定可能な集合が内部正則である場合、測度は内部正則と呼ばれます。
• すべての測定可能な集合が外部正規である場合、その測定は外部正規と呼ばれます。
• 測定は、外部正規かつ内部正規である場合に正規と呼ばれます。

• 実数直線上のルベーグ測度は正則測度です。ルベーグ測度の正則性定理を参照してください。
• 任意の局所コンパクトσ コンパクトハウスドルフ空間上の任意のBaire 確率測度は、正規測度です。
• 位相の可算基底を持つ局所コンパクトなハウスドルフ空間、またはコンパクトな計量空間、あるいはラドン空間上の任意のボレル確率測度は正則です。

• 通常の位相が外正則でない実数直線上の測度の例としては、任意の他の集合 に対して 、 、 となる測度が挙げられます。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$${\displaystyle \mu \left(\{1\}\right)=0\,\,}$${\displaystyle \mu (A)=\infty \,\,}$${\displaystyle A}$
• 任意のボレル集合にその水平断面の（1次元）測度の和を割り当てる平面上のボレル測度は、空でないすべての開集合が無限の測度を持つため、内部正則だが外部正則ではない。この例のバリエーションは、ルベーグ測度を持つ実数直線の無数のコピーの互いに素な和集合である。
• 内部正則、σ 有限、局所有限だが外部正則ではない局所コンパクト ハウスドルフ空間上のボレル測度の例は、Bourbaki (2004、第 4 章、セクション 1 の演習 5) によって次のように与えられている。位相空間は、 y軸で与えられる実平面の部分集合と、正の整数m、nの点 (1/ n、m / n ² ) を基礎集合として持つ。位相は次のように与えられる。単一の点 (1/ n、m / n ^{2 ) はすべて開集合である。点 (0、} y ) の近傍の基底は、正の整数nに対して | v  −  y | ≤ | u | ≤ 1/ nとなる形式 ( u、v )のX内のすべての点からなるくさびで与えられる。この空間X は局所コンパクトである。測度 μ は、y軸の測度を 0 にし、点 (1/ n , m / n ² ) の測度を 1/ n ^{3にすることで与えられます。この測度は内部正則かつ局所有限ですが、} y軸を含む任意の開集合は測度無限大であるため、外部正則ではありません。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} }$

• μ が前例の内部正則測度であり、 M がM ( S ) = inf _{U ⊇ S}  μ ( U )で与えられる測度（ inf はボレル集合S を含むすべての開集合にわたって取られる）である場合、Mは、強い意味での内部正則ではない局所コンパクト ハウスドルフ空間上の外部正則局所有限ボレル測度である。ただし、すべての開集合は内部正則であるため、弱い意味での内部正則である。測度Mとμは、すべての開集合、すべてのコンパクト集合、およびM が有限測度を持つすべての集合で一致する。y軸は無限のM測度を持つが、そのすべてのコンパクト部分集合は測度 0 である。
• 離散位相を持つ測定可能な基数は、すべてのコンパクト部分集合が測定 0 を持つボレル確率測度を持つため、この測度は外部正則ですが内部正則ではありません。測定可能な基数の存在は ZF 集合論では証明できませんが、(2013 年現在) それと矛盾しないと考えられています。

• 開区間によって生成される位相を持つ、最大で最初の非可算順序数 Ω に等しいすべての順序数の空間は、コンパクトなハウスドルフ空間です。可算順序数の無限閉部分集合を含むボレル集合に測度 1 を割り当て、その他のボレル集合に 0 を割り当てる測度は、内部正則でも外部正則でもないボレル確率測度です。

• ボレル正規尺度
• ラドン測定
• ルベーグ測度の正則性定理

• ビリングスリー、パトリック（1999）。確率測定の収束。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。ISBN 0-471-19745-9。
• ブルバキ、ニコラス (2004)。統合 I .スプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-41129-1。
• Parthasarathy, KR (2005).距離空間上の確率測度. AMS Chelsea Publishing, プロビデンス, RI. p. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X。 MR 2169627（第2章参照）
• Dudley, RM (1989).実解析と確率. Chapman & Hall.