若い尺度

数学的解析において、ヤング測度は、与えられた有界な測定可能な関数の列の特定の部分列に関連付けられたパラメータ化された測度である。ヤング測度は、極限における列の振動効果を定量化するものである。ヤング測度は、変分法、特に材料科学のモデル、非線形 偏微分方程式の研究、およびさまざまな最適化（または最適制御問題）に応用されている。ヤング測度は、1937年に1次元（曲線）で、後に1942年に高次元で発明したローレンス・チザム・ヤングにちなんで名付けられている。 ^[1]

ヤング測度はヒルベルトの第20問題の解法を提供する。変分法における幅広い問題がヤング測度の形で解を持つからである。^[2]

ヤングは変分法における通常の曲線の集合を完成するためにヤング測度を構築した。つまり、ヤング測度は「一般化された曲線」である。^[2]

の問題を考えてみましょう。ここで はとなる関数であり、連続的に微分可能です。の値がゼロに近く、その傾きが に近くなるように選択する必要があることは明らかです。つまり、曲線は x 軸に密着したギザギザの線になります。 の最小値に達する関数はありませんが、となるように、次第にギザギザになる関数の列を構築できます。 ${\displaystyle \min _{u}I(u)=\int _{0}^{1}(u'(x)^{2}-1)^{2}+u(x)^{2}dx}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle I=0}$${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots }$${\displaystyle I(u_{n})\to 0}$

点ごとの極限は、常にゼロですが、点ごとの極限は存在しません。代わりに、その重さの半分が にかかり、残りの半分が にかかる微細な霧です。 ${\displaystyle \lim u_{n}}$${\displaystyle \lim _{n}u_{n}'}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$

が によって定義される関数であり、が連続であるとすると、弱い意味で は、値がゼロで導関数が である「関数」を定義できます。特に、 を意味します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F(u)=\int _{0}^{1}f(t,u(t),u'(t))dt}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \lim _{n}F(u_{n})={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}f(t,0,-1)dt+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}f(t,0,+1)dt}$$${\displaystyle \lim _{n}u_{n}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\delta _{-1}+{\frac {1}{2}}\delta _{+1}}$${\displaystyle I(\lim _{n}u_{n})=0}$

ヤング測度の定義は、次の定理に基づいています。m 、nを任意の正の整数とし、 を の有界開集合とし、を^{[明確化が必要]}の有界列とします。すると、上のほぼすべてのボレル確率測度に対して、とが存在し、 それぞれに対して次が成り立ちます。${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle \{f_{k_{j}}\}_{j=1}^{\infty }\subset \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle \nu_{x}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle F\in C(\mathbb {R} ^{m})}$

${\displaystyle F\circ f_{k_{j}}(x){\rightharpoonup }\int _{\mathbb {R} ^{m}}F(y)d\nu _{x}(y)}$

極限が存在する場合、 において弱く となります(の場合は、 において弱く* となります)。この測度は、数列 によって生成される Young 測度と呼ばれます。 ${\displaystyle L^{p}(U)}$${\displaystyle L^{\infty }(U)}$${\displaystyle p=+\infty }$${\displaystyle \nu_{x}}$${\displaystyle \{f_{k_{j}}\}_{j=1}^{\infty }}$

部分的な逆も真です。つまり、それぞれに対してとなるようなボレル測度がある場合、 で有界となり、上記と同じ弱収束特性を持つ シーケンス が存在します。${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle \nu_{x}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}\|y\|^{p}d\nu _{x}(y)dx<+\infty }$${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subseteq L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})}$

より一般的には、任意のカラテオドリ関数 に対して、極限 ${\displaystyle G(x,A):U\times R^{m}\to R}$

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\int _{U}G(x,f_{j}(x))\ dx,}$

^{存在する場合は、 [3]}で与えられる。

${\displaystyle \int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}G(x,A)\ d\nu _{x}(A)\ dx}$。

この場合のヤングの元々の考えは、各整数に対して、関数のグラフに集中した 一様測度を考えるというものだった（ここで、は 上のルベーグ測度の制限である）。これらの測度の弱*極限を の要素としてとることで、 ${\displaystyle G\in C_{0}(U\times \mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle j\geq 1}$${\displaystyle \Gamma _{j}:=(id,f_{j})_{\sharp }L^{d}\llcorner U,}$${\displaystyle f_{j}.}$${\displaystyle L^{d}\llcorner U}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle C_{0}(U\times \mathbb {R} ^{m})^{\star },}$

${\displaystyle \langle \Gamma _{j},G\rangle =\int _{U}G(x,f_{j}(x))\ dx\to \langle \Gamma ,G\rangle ,}$

ここで、 は前述の弱極限です。積空間上の測度を分解すると、パラメータ化された測度 が得られます。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} ^{m},}$${\displaystyle \nu _{x}}$

を任意の正の整数、を の開いた有界部分集合、 とします。ヤング測度（有限pモーメントを持つ）は、となる 上のボレル確率測度の族です。 ${\displaystyle m,n}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle \{\nu _{x}:x\in U\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}\|y\|^{p}d\nu _{x}(y)dx<+\infty }$

ヤング測度の簡単な例としては、数列がで有界であり、 のほぼすべての点で関数に収束する場合が挙げられます。この場合、ヤング測度はディラック測度となります。${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle L^{\infty }(U,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \nu _{x}=\delta _{f(x)},\quad x\in U.}$

実際、優勢収束定理により、は弱収束*し、 ${\displaystyle F(f_{n}(x))}$${\displaystyle L^{\infty }(U)}$

${\displaystyle F(f(x))=\int F(y)\,{\text{d}}\delta _{f(x)}}$

いずれの場合も。 ${\displaystyle F\in C(\mathbb {R} ^{n})}$

それほど単純ではない例としては、シーケンスがある。

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx),\quad x\in (0,2\pi ).}$

対応するヤング測度は^{[4]を満たす。}

${\displaystyle \nu _{x}(E)={\frac {1}{\pi }}\int _{E\cap [-1,1]}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\text{d}}y,}$

任意の測定可能な集合 に対して、 とは独立です。言い換えると、任意の に対して: ${\displaystyle E}$${\displaystyle x\in (0,2\pi )}$${\displaystyle F\in C(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle F(f_{n}){\rightharpoonup }^{*}{\frac {1}{\pi }}\int _{-1}^{1}{\frac {F(y)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\text{d}}y}$

において、ヤング測度は に依存しないので、弱極限は常に定数です。 ${\displaystyle L^{\infty }((0,2\pi ))}$${\displaystyle x}$

これを直感的に理解するには、 が大きい の極限で、 の長方形が の曲線の一部を捉えると考えます。その捉えた部分を x 軸に投影します。その投影の長さは であり、これは が確率密度 を持つ細かい霧のように見えることを意味します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle [x,x+\delta x]\times [y,y+\delta y]}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle {\frac {2\delta x\delta y}{\sqrt {1-y^{2}}}}}$${\displaystyle \lim _{n}f_{n}}$${\displaystyle {\frac {1}{\pi {\sqrt {1-y^{2}}}}}}$${\displaystyle x}$

漸近的に最小化するすべてのシーケンス に対して${\displaystyle u_{n}}$

${\displaystyle I(u)=\int _{0}^{1}(u'(x)^{2}-1)^{2}+u(x)^{2}dx}$

は を条件として（つまり、数列は を満たす）、おそらく部分数列に移行した後、導関数の数列はという形式のヤング測度を生成します。これは、この問題に対するすべての最小化数列の本質的な特徴、つまり、それらの導関数は積分関数 の最小値に沿って集中する傾向があることを表わしています。 ${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }I(u_{n})=\inf _{u\in C^{1}([0,1])}I(u)}$${\displaystyle u'_{n}}$${\displaystyle \nu _{x}={\frac {1}{2}}\delta _{-1}+{\frac {1}{2}}\delta _{1}}$${\displaystyle u'_{k}(x)}$${\displaystyle \{-1,1\}}$${\displaystyle (u'(x)^{2}-1)^{2}+u(x)^{2}}$

を取ると、その極限値はゼロになり、導関数は となり、つまり となります。 ${\displaystyle \lim _{n}{\frac {\sin(2\pi nt)}{2\pi n}}}$${\displaystyle \nu (dy)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-y^{2}}}}}dy}$${\displaystyle \lim I={\frac {1}{\pi }}\int _{-1}^{+1}(1-y^{2})^{3/2}dy}$

• 凸コンパクト化

• Ball, JM (1989)。「ヤング測定の基本定理のバージョン」。Rascle, M.、Serre, D.、Slemrod, M. (編)。PDEと相転移の連続体モデル: 1988 年 1 月 18 ～ 22 日にフランスのニースで開催された NSF-CNRS 合同セミナーの議事録。物理学の講義ノート。第 344 巻。ベルリン: Springer。pp. 207 ～ 215。doi :10.1007/ BFb0024945。ISBN 3-540-51617-4. ISSN  0075-8450.
• Castaing, Charles; Raynaud de Fitte, Paul; Valadier, Michel (2004). Young Measures on Topological Spaces : With Applications in Control Theory and Probability Theory . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers (now Springer). doi :10.1007/1-4020-1964-5. ISBN 978-1-4020-1963-0。
• LC Evans (1990)。「非線形偏微分方程式の弱収束法」。数学の地域会議シリーズ。アメリカ数学会。
• S. Müller (1999)。「ミクロ構造と相転移の変分モデル」数学講義ノート。Springer。
• P. Pedregal (1997).パラメータ化された測定と変分原理. バーゼル: Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-9815-7。
• T. Roubíček (2020).最適化理論と変分計算における緩和（第2版） . ベルリン: W. de Gruyter. doi :10.1515/9783110590852. ISBN 978-3-11-059085-2。
• Valadier, M. (1990)。 「 Young の尺度」。Cellina, A. (編)。非凸解析法。数学講義ノート。第 1446 巻。ベルリン: Springer。pp. 152–188。doi :10.1007/ BFb0084935。ISBN 3-540-53120-3。
• Young, LC (1937)、「変分計算における一般化曲線と達成された絶対最小値の存在」、Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie、Classe III、XXX (7–9): 211–234、JFM  63.1064.01、Zbl  0019.219011937 年 12 月 16 日のワルシャワ科学文学協会のセッションでスタニスワフ・サックスが発表した回想録。無料のPDFコピーは、RCIN (科学研究所のデジタル リポジトリ) から入手できます。
• ヤング、LC（1969）、変分法と最適制御の講義、フィラデルフィア・ロンドン・トロント：WBサンダース、pp. xi+331、ISBN 9780721696409、MR  0259704、Zbl  0177.37801。

• 「ヤング測度」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]