内容（測度論）

数学、特に測度論において、内容 $\mu$ は部分集合の集合上で定義された実数値関数である。 ${\mathcal {A}}$ そのため

$\mu (A)\in \ [0,\infty ]{\text{ }}A\in {\mathcal {A}} のとき。$
$\mu (\varnothing )=0.$
$\mu {\Bigl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Bigr )}=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}){\text{ }}A_{1},\dots ,A_{n},\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}{\text{ かつ }}A_{i}\cap A_{j}=\varnothing {\text{ for }}i\neq j.$

つまり、内容は尺度の一般化である。後者は可算加法でなければならないのに対し、前者は有限加法でなければならない。

多くの重要なアプリケーションでは ${\mathcal {A}}$ は集合の環、または少なくとも半環として選択され、後者の場合、以下に説明するいくつかの追加的な性質を導き出すことができます。このため、一部の著者は、半環または環の場合のみ内容を定義することを好みます。

内容がさらにσ加法性を持つ場合、それは事前測定と呼ばれ、さらに ${\mathcal {A}}$ σ代数では、その内容は測度と呼ばれます。したがって、すべての（実数値の）測度は内容ですが、その逆は成り立ちません。内容は、空間上の有界関数の積分に関する良い概念を与えますが、非有界関数の積分ではうまく機能しない場合があります。一方、測度は非有界関数の積分に関する良い概念を与えます。

例

古典的な例としては、すべての半開区間に内容を定義することが挙げられる。 $[a,b)\subseteq \mathbb {R}$ 内容を間隔の長さに設定することにより、 $\mu ([a,b))=ba.$ さらに、この内容は実際にはσ加法的であり、したがってすべての半開区間の半環上の事前測度を定義することを示すことができる。これを利用して、カラテオドリの拡張定理を用いて実数直線のルベーグ測度を構成することができる。一般的な構成の詳細については、ルベーグ測度に関する記事を参照のこと。

σ代数上の尺度ではない内容の例として、正の整数のすべての部分集合上の値を持つ内容が挙げられる。 $1/2^n$ 任意の整数 $n$ そして、任意の無限部分集合上で無限となる。

正の整数に関する内容で、常に有限であるが測度ではない例を以下のように示すことができる。有界数列上の正の線形汎関数を考え、数列が有限個の非ゼロ要素しか持たない場合は0、数列が有限の場合は1となる。 $1,1,1,\ldots ,$ したがって、ある意味で、この関数は任意の有界数列の「平均値」を与える。（このような関数は明示的に構成することはできないが、ハーン・バナッハの定理によって存在する。）すると、正の整数の集合の内容は、この集合上では 1 であり、それ以外の場所では 0 である数列の平均値となる。非公式には、整数の部分集合の内容は、無作為に選ばれた整数がこの部分集合に含まれる「確率」と考えることができる（ただし、これは可算加法性を仮定する確率論における通常の確率の定義とは相容れない）。

物件

多くの場合、コンテンツは、さらなる制約を満たす集合の集合上で定義されます。この場合、任意の集合の集合上で定義されたコンテンツには一般的には成り立たない追加的な性質を導き出すことができます。

半円形

もし ${\mathcal {A}}$ が集合の半環を形成する場合、以下の命題が導き出されます。

すべてのコンテンツ $\mu$ 単調である、つまり、 $A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B){\text{ for }}A,B\in {\mathcal {A}}.$
すべてのコンテンツ $\mu$ は、つまり、

\mu (A\cup B)\leq \mu (A)+\mu (B)

のために

A,B\in {\mathcal {A}}

そのため

A\cup B\in {\mathcal {A}}.

指輪について

さらに ${\mathcal {A}}$ これは、追加で得られる集合の環です。

減法: $B\subseteq A$ 満足 $\mu (B)<\infty$ 続いて $\mu (A\setminus B)=\mu (A)-\mu (B)。$
$A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)。$
副添加剤： $\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}\;(i=1,2,\dotsc ,n)\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}).}$
$\sigma$ -超加法性:任意のweについて $A_{i}\in {\mathcal {A}}\;(i=1,2,\dotsc )\$ ペアごとに互いに素で、 $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}$ 我々は持っています $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\geq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).$
もし $\mu$ 有限の内容である、つまり、 $A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \mu (A)<\infty ,$ すると、包含排除原理が適用される。 $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\!\!\sum _{I\subseteq \{1,\dotsc ,n\}, \atop |I|=k}\!\!\!\!\mu \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)$ どこ $A_{i}\in {\mathcal {A}}$ すべての人々のために $i\in \{1,\dotsc ,n\}.$

有界関数の積分

一般的に、内容に関する関数の積分はうまく機能しません。しかし、関数が有界であり、空間の内容全体が有限である場合、以下のように、うまく機能する積分の概念が存在します。

空間の総コンテンツ量が有限であると仮定します。 $f$ は空間上の有界関数であり、実数の任意の開部分集合の逆像が内容を持つならば、の積分を定義できる。 $f$ 内容に関して $\int f\,d\lambda =\lim \sum _{i=1}^{n}f(\alpha _{i})\lambda (f^{-1}(A_{i}))$ どこで $A_{i}$ 互いに素な半開集合の有限集合を形成し、その和集合はの範囲をカバーする。 $f,$ そして $\alpha _{i}$ の要素は $A_{i},$ そして、その限界は集合の直径として取られる。 $A_{i}$ 0に近づく傾向がある。

有界関数の空間の双対

仮に $\mu$ ある空間における尺度 $X.$ 上の有界可測関数 $X$ 上限ノルムに関してバナッハ空間を形成する。この空間の双対の正の要素は、有界な内容に対応する。 $\lambda$ $X,$ 値 $\lambda$ の上 $f$ 積分によって与えられる $\int f\,d\lambda .$ 同様に、本質的に有界な関数の空間を構成することができ、そのノルムは本質的な上限によって与えられ、この空間の双対の正の要素は、測度0の集合上で消滅する有界な内容によって与えられる。

内容から尺度を構築する

内容から尺度μを構築する方法はいくつかある $\lambda$ 位相空間上。この節では、内容がすべてのコンパクト部分集合上で定義されるような局所コンパクトハウスドルフ空間に対する、そのような方法の一つを示します。一般に、内容が可算加法性を持たず、内容が可算加法性を持たなくても測度が恒等的にゼロになる可能性があるため、測度は内容の拡張ではありません。

まず、コンテンツをコンパクトなセットに制限します。これにより、関数が得られます。 $\lambda$ コンパクトセットの $C$ 以下の特性を持つ：

$\lambda (C)\in \ [0,\infty ]$ すべてのコンパクトセットに対応 $C$
$\lambda (\varnothing )=0.$
$\lambda (C_{1})\leq \lambda (C_{2}){\text{ whenever }}C_{1}\subseteq C_{2}$
$\lambda (C_{1}\cup C_{2})\leq \lambda (C_{1})+\lambda (C_{2})$ すべてのコンパクトセットのペアについて
$\lambda (C_{1}\cup C_{2})=\lambda (C_{1})+\lambda (C_{2})$ 互いに素なコンパクト集合のすべてのペアについて。

関数の例もあります $\lambda$ 上記のように内容から構成されていない。例として、局所コンパクト群上のハール測度の構成が挙げられる。このようなハール測度を構成する一つの方法は、左不変関数を生成することである。 $\lambda$ 上記と同様に、群のコンパクト部分集合について、左不変測度に拡張することができる。

開集合の定義

上記のようにλが与えられたとき、すべての開集合上の関数μを次のように定義する。 $\mu (U)=\sup _{C\subseteq U}\lambda (C).$ これには以下の特性があります。

$\mu (U)\in \ [0,\infty ]$
$\mu (\varnothing )=0$
$\mu (U_{1})\leq \mu (U_{2}){\text{ whenever }}U_{1}\subseteq U_{2}$
$\mu \left(\bigcup _{n}U_{n}\right)\leq \sum _{n}\mu \left(U_{n}\right)$ 任意の開集合の集合に対して
$\mu \left(\bigcup _{n}U_{n}\right)=\sum _{n}\mu \left(U_{n}\right)$ 互いに素な開集合の任意の集合に対して。

すべての集合に関する定義

上記のようにμが与えられた場合、関数μを位相空間のすべての部分集合に拡張します。 $\mu (A)=\inf _{A\subseteq U}\mu (U).$ これは外部尺度であり、言い換えれば、以下の特性を持つ。

$\mu (A)\in \ [0,\infty ]$
$\mu (\varnothing )=0.$
$\mu (A_{1})\leq \mu (A_{2}){\text{ whenever }}A_{1}\subseteq A_{2}$
$\mu \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)\leq \sum _{n}\mu \left(A_{n}\right)$ 任意の可算集合の集まりに対して。

尺度の構築

上記の関数 μ は、すべての部分集合の族に対する外部測度です。したがって、外部測度に対する測定可能な部分集合に制限すると、測度になります。 $E$ そのため $\mu (X)=\mu (X\cap E)+\mu (X\setminus E)$ すべてのサブセットについて $X.$ 空間が局所的にコンパクトであれば、すべての開集合はこの尺度で測定可能である。