梱包寸法

以下の例は、ハウスドルフ寸法と充填寸法が異なる可能性のある最も単純な状況を示しています。

シーケンスを修正する${\displaystyle (a_{n})}$そのため${\displaystyle a_{0}=1}$そして${\displaystyle 0<a_{n+1}<a_{n}/2}$ネストされたシーケンスを帰納的に定義する${\displaystyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$実数直線のコンパクト部分集合を次のように定義する。${\displaystyle E_{0}=[0,1]}$。各連結成分について${\displaystyle E_{n}}$（これは必然的に長さの区間になります）${\displaystyle a_{n}}$) 長さの中間区間を削除します${\displaystyle a_{n}-2a_{n+1}}$長さの2つの区間を取得する${\displaystyle a_{n+1}}$これは、${\displaystyle E_{n+1}}$次に、定義します。${\displaystyle K=\bigcap _{n}E_{n}}$。 それから${\displaystyle K}$位相的にはカントール集合（つまり、コンパクトで完全に不連結な完全空間）である。例えば、${\displaystyle K}$通常の中間三分の一カントールセットになります${\displaystyle a_{n}=3^{-n}}$。

ハウスドルフ空間と集合のパッキング次元が${\displaystyle K}$それぞれ以下のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}}$

与えられた数値は容易に次のようになる${\displaystyle 0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1}$シーケンスを選択できる${\displaystyle (a_{n})}$上記のように、関連する（位相的）カントール集合${\displaystyle K}$ハウスドルフ次元を持つ$d_1$梱包寸法$d2$。

次元関数は「 sの直径」よりも一般的なものと考えることができます。任意の関数h  :  [0,  +∞)  →  [0,  +∞] に対して、次元関数hを持つSのパッキング事前測度は 次のように与えられます。

${\displaystyle P_{0}^{h}(S)=\lim _{\delta \downarrow 0}\sup \left\{\left.\sum _{i\in I}h{\big (}\mathrm {diam} (B_{i}){\big )}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ は、直径が \delta で中心が S にある互いに素な球の可算集合 }}\\{\text{$

そして、次元関数hを用いてSのパッキング尺度を 次のように定義する。

${\displaystyle P^{h}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{h}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ countable}}\right\}.}$

関数hは、 P ^h ( S ) が有限かつ厳密に正である場合、 Sの正確な(パッキング)次元関数であると言われます。