重力ポテンシャル

古典力学では、重力ポテンシャルは、空間の各点と、保存重力場内の固定された基準点からその点に物体を移動させるために必要な単位質量あたりの仕事（伝達されるエネルギー）とを関連付けるスカラー ポテンシャルです。これは、質量が電荷の役割を果たす電位に似ています。電位がゼロである基準点は、慣例により、どの質量からも無限に離れているため、有限の距離では負の電位になります。それらの類似性は、関連する両方の場が保存力を持つことと相関しています。

数学的には、重力ポテンシャルはニュートンポテンシャルとも呼ばれ、ポテンシャル理論の研究において基本的なものです。また、均一に帯電または分極した楕円体によって生成される静電場や静磁場を解くためにも使用できます。^[1]

ある場所における重力ポテンシャル ( V ) は、その場所における単位質量あたりの 重力ポテンシャルエネルギー( U ) です。

$${\displaystyle V={\frac {U}{m}},}$$

ここで、m は物体の質量です。位置エネルギーは、物体を無限遠から空間内の特定の位置に移動させる重力場によって行われる仕事と等しくなります (大きさは負ですが)。物体の質量が 1 キログラムの場合、その物体に割り当てられる位置エネルギーは重力位置エネルギーに等しくなります。したがって、位置エネルギーは、単位質量を無限遠から移動させる重力場によって行われる仕事の負として解釈できます。

状況によっては、場が位置からほぼ独立していると仮定することで方程式を簡略化できます。たとえば、地球の表面に近い領域では、重力加速度gは一定であると見なすことができます。その場合、ある高さから別の高さまでの位置エネルギーの差は、おおよそ高さの差に比例します。 $${\displaystyle \Delta U\approx mg\Delta h.}$$

質量Mの質点から距離xにある重力ポテンシャル Vは、単位質量を無限遠からその点まで運ぶために外部のエージェントが行う必要がある仕事Wとして定義できます。^{[2] [3] [4] [5]}

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} ={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x^{2}}}dx=-{\frac {GM}{x}},}$$ ここで、Gは重力定数、F は重力です。積GM は標準的な重力パラメータであり、 GまたはM を個別に知るよりも高い精度で知られていることがよくあります。ポテンシャルは質量あたりのエネルギーの単位を持ちます (例: MKSシステムでは J/kg)。慣例により、定義されている場合は常に負の値になり、x が無限大に近づくにつれてゼロに近づきます。

重力場、つまり質量のある物体の周囲の空間における小物体の加速度は、重力ポテンシャルの負の勾配です。したがって、負の勾配が負であれば、質量のある物体に向かう正の加速度が生じます。ポテンシャルには角度成分がないため、その勾配は、 xは質量点から小物体に向かう長さxのベクトル、は質量点から小物体に向かう単位ベクトルです。したがって、加速度の大きさは反比例の法則に従います。 $${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {\ mathbf {x} }},}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\frac {GM}{x^{2}}}.}$$

質量分布に関連するポテンシャルは、質点のポテンシャルの重ね合わせです。質量分布が質点の有限集合であり、質点が点x ₁、...、x _nに位置し、質量がm ₁、...、m _nである場合、点xにおける分布のポテンシャルは $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{ i}\|}}.}$$

質量分布が3次元ユークリッド空間R ^{3上の質量}測度 dmとして与えられる場合、ポテンシャルは− G /| r |とdmの畳み込みです。^[要出典]適切な場合^[要説明]これは積分に等しくなります 。 ここで、| x − r |は点xとrの間の距離です。分布のrにおける密度を表す関数ρ ( r )があり、dm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r )である場合( dv ( r ) はユークリッド体積要素) 、重力ポテンシャルは体積積分です。 $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,dm(\mathbf {r} ),}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).}$$

V が連続質量分布ρ ( r )から生じるポテンシャル関数である場合、ラプラス演算子Δ を使用して ρ を復元できます。これは 、ρが連続し、有界集合の外側でゼロになるたびに、点ごとに成立します。一般に、ラプラス演算子を分布の意味でとれば、質量測度dm を同じ方法で復元できます。結果として、重力ポテンシャルはポアソン方程式を満たします。3変数ラプラス方程式のグリーン関数とニュートンポテンシャルも参照してください。 $${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).}$$

この積分は、対称形や退化形を含むすべての楕円体形状に対する既知の超越関数で表現できます。^[6]これらには、3 つの半軸が等しい球、2 つの半軸が等しい扁平回転楕円体 (楕円体を参照) と長楕円体、1 つの半軸が無限大である退化形 (楕円柱と円筒)、および 2 つの半軸が無限大である無限シートが含まれます。これらすべての形状は、重力ポテンシャル積分 (定数Gを除き、 𝜌 は一定の電荷密度) の電磁気学への応用に広く使用されています。

球対称の質量分布は、分布の完全に外側にいる観測者には、すべての質量が中心に集中しているかのように振舞い、したがって殻定理により実質的に質点として振舞います。地球の表面では、加速度はいわゆる標準重力gによって与えられ、約 9.8 m/s ^{2ですが、この値は緯度と高度によってわずかに変化します。地球は}扁平回転楕円体であるため、加速度の大きさは赤道よりも極で少し大きくなります。

球対称の質量分布内では、球座標でポアソン方程式を解くことができます。半径R、密度 ρ 、質量mの均一な球体内では、球体内部の重力g は中心からの距離rとともに線形に変化し、球体内部の重力ポテンシャルを与えます。これは^{[7] [8]} で、 これは球体外部のポテンシャル関数に微分的につながります（上の図を参照）。 $${\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho \left[r^{2}-3R^{2}\right]={\frac {Gm}{2R^{3}}}\left[r^{2}-3R^{2}\right],\qquad r\leq R,}$$

一般相対性理論では、重力ポテンシャルは計量テンソルに置き換えられます。重力場が弱く、源が光速に比べて非常にゆっくりと動いている場合、一般相対性理論はニュートン重力に還元され、計量テンソルは重力ポテンシャルの観点から展開できます。^[9]

点xにおける電位は次のように表される。 $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\ dm(\mathbf {r} ).}$$

ポテンシャルは、一連のルジャンドル多項式で展開できます。点xとr を、質量の中心に対する位置ベクトルとして表します。積分の分母は平方根として表され 、次の式が得られます。最後の積分では、r = | r |であり、θはxとr の間の角度です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {|\mathbf {x} |^{2}-2\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} +|\mathbf {r} |^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {1}{|\mathbf {x} |}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {1-2{\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

(「数学的形式」を参照。) 被積分関数は、係数を明示的に計算することにより、Z = r /| x |のテイラー級数として展開できます。同じ結果を得るためのより簡単な方法は、一般化二項定理を使用することです。^[10]結果として得られる級数は、ルジャンドル多項式の 生成関数です。 | X | ≤ 1かつ| Z | < 1 に対して有効です。係数P _{n は}、次数nのルジャンドル多項式です。したがって、被積分関数のテイラー係数は、 X = cos  θのルジャンドル多項式で与えられます。したがって、システムのすべての質量要素 (つまり、質量中心を中心とし、システムを囲む球の外側) に対して r < | x |となる位置xに対して収束する級数でポテンシャルを展開できます。 積分は、質量中心のx方向の成分です。ベクトルx は質量中心から放射されるため、これは消えます。したがって、積分を和の符号の下に持ってくると、 $${\displaystyle \left(1-2XZ+Z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\ =\sum _{n=0}^{\infty }Z^{n}P_{n}(X)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta )\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left(1+\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}+\cdots \right)\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$${\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}$$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {GM}{|\mathbf {x} |}}-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}dm(\mathbf {r} )+\cdots }$$

これは、質量中心からの距離が同じ場合を比較すると、物体が伸びると、球状の質量による電位と比較して、伸び方向に低い電位が発生し、垂直方向に高い電位が発生することを示しています。（表面からの距離が同じ場合を比較すると、その逆になります。）

地球、太陽、天の川からの^重力に関する、いくつかの場所での重力ポテンシャルの絶対値は^、次の表に示されています。つまり、地球の表面にある物体が地球の重力場から「離れる^」には 60 MJ/kg、太陽の重力場から「離れる」にはさらに 900 MJ/kg、天の川の重力場から「離れる」には 130 GJ/kg 以上が必要です。ポテンシャルは脱出速度の 2 乗の半分です。

これらの場所の重力を比較してください。

• 物理学におけるルジャンドル多項式の応用
• 標準重力パラメータ( GM )
• ジオイド
• ジオポテンシャル
• ジオポテンシャルモデル