幾何代​​数

数学において、幾何代数（クリフォード代数とも呼ばれる）は、ベクトルなどの幾何学的オブジェクトを表現および操作できる代数です。幾何代数は、加算と幾何積という 2 つの基本的な演算から構成されています。ベクトルの乗算により、マルチベクトルと呼ばれる高次元オブジェクトが生成されます。幾何学的オブジェクトを操作するための他の形式と比較すると、幾何代数は、ベクトルの除算（ただし、一般にすべての要素による除算ではない）と異なる次元のオブジェクトの加算をサポートしている点で注目に値します。

幾何積は、ヘルマン・グラスマン^{[1]によって最初に簡単に言及されました。グラスマンは、密接に関連した}外積代数の開発に主に興味を持っていました。1878年、ウィリアム・キングドン・クリフォードはグラスマンの研究を大幅に拡張し、現在では彼に敬意を表してクリフォード代数と呼ばれるものを形成しました（ただし、クリフォード自身はそれらを「幾何代数」と呼ぶことを選択しました）。クリフォードは、クリフォード代数とその積を、グラスマン代数とハミルトンの四元数代数の統合として定義しました。グラスマン外積の双対（「出会う」）を追加すると、グラスマン-ケーリー代数の使用が可能になり、後者の共形バージョンと共形クリフォード代数を組み合わせると、古典的な幾何学のフレームワークを提供する共形幾何代数（CGA）が得られます。^[2]実際には、これらといくつかの派生演算により、代数の要素、部分空間、演算を幾何学的解釈と対応させることができます。数十年にわたって、幾何代数はやや無視され、当時電磁気学を記述するために新しく開発されたベクトル計算によって大きく影を潜めていました。「幾何代数」という用語は、相対論的物理学におけるその重要性を主張したデイビッド・ヘステネスによって1960年代に再び普及しました。^[3]

スカラーとベクトルは、通常の解釈に従って、幾何代数の別個の部分空間を構成します。2ベクトルは、方向付けられた面積、方向付けられた回転角、トルク、角運動量、磁場など、外積として導出される 3D ベクトル計算の擬似ベクトル量のより自然な表現を提供します。3ベクトルは方向付けられた体積などを表すことができます。ブレードと呼ばれる要素を使用して、部分空間とその部分空間への直交投影を表すことができます。回転と反射は要素として表されます。ベクトル代数とは異なり、幾何代数は、相対性理論のように、任意の数の次元と任意の二次形式に自然に適応します。

物理学で応用される幾何代数の例としては、時空代数（およびあまり一般的ではない物理空間の代数）と共形幾何代数がある。微分と積分を組み込んだGAの拡張である幾何計算は、微分形式の代わりにクリフォード代数などを使用することにより、複素解析や微分幾何学などの他の理論を定式化するために使用できる。 幾何代数は、特にDavid Hestenes ^[4]とChris Doran ^[5]によって、物理学の好ましい数学的枠組みとして提唱されてきた。 提唱者は、古典力学と量子力学、電磁気学、相対性理論を含む多くの分野で簡潔で直感的な記述を提供すると主張している。^{[6] GAは、}コンピューターグラフィックス^[7]とロボット工学の計算ツールとしても使用されている。

幾何代​​数を定義するには、さまざまな方法があります。ヘステネスのオリジナルのアプローチは公理的で、^{[8] 「幾何学的な意味に満ち}」、普遍的な^[a]クリフォード代数と同等でした。^[9]対称双線型形式（内積、^[b]たとえば、ユークリッド計量またはローレンツ計量）を持つ体上の 有限次元ベクトル空間⁠ ⁠が与えられた${\displaystyle V}$場合、二次空間⁠ ⁠の幾何代数はクリフォード代数⁠ ⁠であり、その要素はマルチベクトルと呼ばれます。クリフォード代数は、テンソル代数の商代数として一般的に定義されますが、この定義は抽象的であるため、次の定義は抽象代数を必要とせずに示されます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle g:V\times V\to F}$ ${\displaystyle (V,g)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$

意味

非退化対称${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$双線型形式を持つ単位結合代数は、二次空間のクリフォード代数である。[ ^10]${\displaystyle g:V\times V\to F}$${\displaystyle (V,g)}$

• ⁠ ⁠${\displaystyle F}$と⁠ ⁠ を${\displaystyle V}$別個の部分空間として含む
• ${\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}$⁠ ⁠のために⁠ ⁠${\displaystyle a\in V}$
• ⁠ ⁠ は${\displaystyle V}$代数として⁠ ⁠ を${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$生成する
• ⁠ ⁠ は${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$⁠ ⁠${\displaystyle V}$のいかなる適切な部分空間によっても生成されません。

退化した対称双線型形式をカバーするには、最後の条件を修正する必要があります。^[c]これらの条件が幾何積を一意に特徴付けることが示されます。

この記事の残りの部分では、実数の場合${\displaystyle F=\mathbb {R} }$のみを扱います。表記⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$ (それぞれ⁠ ⁠ ) は${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q,r)}$、双線型形式⁠ ⁠ が${\displaystyle g}$シグネチャ ⁠ ⁠${\displaystyle (p,q)}$ (それぞれ⁠ ⁠${\displaystyle (p,q,r)}$ )を持つ幾何代数を表すために使用されます。

代数における積は幾何積と呼ばれ、含まれる外積代数における積は外積（ウェッジ積または外積^[d]と呼ばれることが多い）と呼ばれます。これらをそれぞれ並置（つまり、明示的な乗算記号を省略）および記号⁠ ⁠${\displaystyle \wedge }$で表すのが標準です。

上記の幾何代数の定義はまだやや抽象的なので、ここで幾何積の性質をまとめます。多重ベクトルの 場合:${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {G}}(p,q)}$

• ⁠ ⁠${\displaystyle AB\in {\mathcal {G}}(p,q)}$ (閉鎖)
• ⁠ ⁠${\displaystyle 1A=A1=A}$、ここで⁠ ⁠ は${\displaystyle 1}$単位元です（単位元の存在）
• ⁠ ⁠${\displaystyle A(BC)=(AB)C}$ (結合性)
• ⁠ ⁠${\displaystyle A(B+C)=AB+AC}$と⁠ ⁠${\displaystyle (B+C)A=BA+CA}$ (分配性)
• ⁠ ⁠${\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}$用⁠ ⁠${\displaystyle a\in V}$。

外積は同じプロパティを持ちますが、上記の最後のプロパティが⁠ ⁠に対して⁠ ⁠${\displaystyle a\wedge a=0}$に置き換えられています。 ${\displaystyle a\in V}$

上記の最後の性質において、 ⁠ ⁠が正定値でない場合、実数⁠ ⁠ は${\displaystyle g(a,a)}$非負である必要はないことに注意してください。幾何積の重要な性質は、逆元を持つ要素の存在です。ベクトル⁠ ⁠に対して、 ⁠ ⁠ が存在する場合、 ⁠ ⁠に等しくなります。代数の非ゼロ元は必ずしも逆元を持つわけではありません。たとえば、⁠ ⁠が ⁠ ⁠となるベクトルである場合、その要素は非自明な冪等元であり、非ゼロの零因子でもあるため、逆元はありません。^[e]${\displaystyle g}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{2}\neq 0}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle g(a,a)^{-1}a}$${\displaystyle u}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u^{2}=1}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(1+u)}$

通常、およびを自然な埋め込みおよび⁠ ⁠でのそれらの像と同一視します。この記事では、この同一視を前提としています。全体を通して、スカラーおよびベクトルという用語は、それぞれおよびの要素(およびこの埋め込みでのそれらの像の要素) を指します。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathcal {G}}(p,q)}$${\displaystyle V\to {\mathcal {G}}(p,q)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V}$

ベクトル⁠ ⁠${\displaystyle a}$と⁠ ⁠${\displaystyle b}$の場合、任意の 2 つのベクトル⁠ ⁠${\displaystyle a}$と⁠ ⁠${\displaystyle b}$の幾何積は、対称積と反対称積の和として表すことができます。

${\displaystyle ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba).}$

したがって、ベクトルの 内積は次のように定義できる。

${\displaystyle a\cdot b:=g(a,b),}$

対称積は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b.}$

逆に、⁠ ⁠ は${\displaystyle g}$代数によって完全に決定されます。反対称部分は、2 つのベクトルの外積、つまり含まれる外代数の積です。

${\displaystyle a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a).}$

次に、単純な加算により次のようになります。

${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$幾何積の非一般化形式またはベクトル形式。

内積と外積は、標準的なベクトル代数のよく知られた概念と関連しています。幾何学的には、幾何積が内積に等しい場合、とは平行であり、幾何積が外積に等しい場合、と は垂直です。任意の非ゼロベクトルの平方が正である幾何代数では、2 つのベクトルの内積は、標準的なベクトル代数のドット積と同一視できます。2 つのベクトルの外積は、その辺がベクトルである平行四辺形によって囲まれた符号付き領域と同一視できます。正定値の二次形式の次元にある 2 つのベクトルの外積は、外積と密接に関連しています。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 3}$

関心のある幾何代数のほとんどのインスタンスは、非退化の二次形式を持ちます。二次形式が完全に退化している場合、任意の 2 つのベクトルの内積は常に 0 になり、幾何代数は単に外積代数になります。特に明記しない限り、この記事では非退化の幾何代数のみを扱います。

外積は、代数の任意の2つの要素間の結合双線型二項演算子として自然に拡張され、次の恒等式を満たす。

${\displaystyle {\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}}$

ここで、和はインデックスのすべての順列にわたっており、順列の符号は、および はベクトル（代数の一般元ではない）です。代数のすべての元はこの形式の積の和として表すことができるため、代数のすべての元ペアの外積が定義されます。定義から、外積は交代代数を形成することがわかります。 ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$${\displaystyle a_{i}}$

クリフォード代数の同等の構造方程式は^{[16] [17]である。}

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}\operatorname {Pf} (a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}}$

ここで、は⁠ ⁠のパフィアンであり、⁠ ⁠インデックスを⁠ ⁠と⁠ ⁠に分割した組み合わせ、⁠ ⁠、を提供し、⁠ ⁠ は組み合わせのパリティです。 ${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$${\displaystyle A}$${\textstyle {\mathcal {C}}={\binom {n}{2i}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2i}$${\displaystyle n-2i}$${\displaystyle k}$

パフィアンは外積代数のための計量を提供し、クロード・シュヴァレーが指摘したように、クリフォード代数は零二次形式を持つ外積代数に還元される。^{[18]パフィアンが果たす役割は、}単体からクリフォード代数を展開することで幾何学的観点から理解できる。^[19]この導出は、最初の列の1の解釈を提供するため、 パスカルの三角形と単体とのより良いつながりを提供する。

線型独立ベクトルの外積である多重ベクトルはブレードと呼ばれ、⁠ ⁠級であると言われます。^[f]級のブレードの和である多重ベクトルは、⁠ ⁠級の（同次）多重ベクトルと呼ばれます。公理から、閉包により、幾何代数のすべての多重ベクトルはブレードの和です。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

ベクトル空間の⁠ ⁠次元部分空間に張られる線形独立ベクトルの集合を考えます。これらを用いて、実対称行列（グラミアン行列と同じ方法） を定義できます。${\displaystyle r}$${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{r}\}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}$

スペクトル定理により、は直交行列によって対角行列に対角化できる。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {O} }$

${\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$

直交基底ベクトル${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$と呼ばれる新しいベクトルの集合を、直交行列によって変換されたものとして定義します。

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}$

直交変換は内積を保存するので、従って2つは直交する。言い換えれば、2つの異なるベクトルの幾何積は、それらの外積によって完全に指定される。より一般的には、 ${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$${\displaystyle e_{i}\neq e_{j}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}$

したがって、等級のすべてのブレードはベクトルの外積として記述できます。より一般的には、退化した幾何代数が許される場合、直交行列は非退化ブロック内で直交するブロック行列に置き換えられ、対角行列は退化次元に沿ってゼロ値のエントリを持ちます。非退化部分空間の新しいベクトルが次のように 正規化される場合、${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\widehat {e_{i}}}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},}$

の場合、これらの正規化されたベクトルは ⁠ ⁠ に二乗するか⁠ ⁠にならなければなりません。シルベスターの慣性法則により、対角行列に沿った⁠ ⁠の総数と⁠ ⁠の総数は不変です。拡張により、に二乗するこれらのベクトルの総数とに二乗する総数は不変です。(ゼロに二乗する基底ベクトルの総数も不変であり、退化の場合が許される場合はゼロ以外になることがあります。) この代数を⁠ ⁠ と表記します。たとえば、は 3 次元ユークリッド空間、相対論的時空、および3 次元空間の 共形幾何代数をモデル化します。${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle q}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

空積を含む、昇順のインデックスを持つ直交基底ベクトルのすべての可能な積の集合は、幾何代数全体の基底を形成します（ PBW定理の類似物）。たとえば、以下は幾何代数 ⁠ ⁠ の基底です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}e_{3}\}}$

このようにして形成された基底は幾何代数の標準基底と呼ばれ、 の他の直交基底は別の標準基底を生成します。各標準基底は要素で構成されます。幾何代数のすべての多重ベクトルは、標準基底要素の線形結合として表すことができます。標準基底要素がインデックスセットである場合、任意の2つの多重ベクトルの幾何積は ${\displaystyle V}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle \{B_{i}\mid i\in S\}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \left(\sum _{i}\alpha _{i}B_{i}\right)\left(\sum _{j}\beta _{j}B_{j}\right)=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}.}$

「 -ベクトル」という用語は、1 次だけの要素を含む多重ベクトルを説明するためによく使用されます。高次元空間では、このような多重ベクトルの一部はブレードではありません (ベクトルの外積に因数分解できません)。例として、は因数分解できません。ただし、通常、代数のこのような要素は、回転などの幾何学的量を表すことはあっても、オブジェクトとして幾何学的に解釈されることはありません。-空間では、常に-、- 、-、-ベクトルのみがブレードになります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,0)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

⁠ ⁠${\displaystyle k}$ -バーソルは、可逆ベクトルの幾何積として表現できるマルチベクトルです。^{[g] [21]}単位四元数（もともとハミルトンによってバーソルと呼ばれていました）は、実数の2Dローターが複素数を包含するのとほぼ同じように、3D空間内のローターと同一視できます。詳細については、Dorstを参照してください。^[22]${\displaystyle k}$

一部の著者は、オペランドが演算子の間に「挟まれている」という頻繁に発生するケースを指すために「バーサー積」という用語を使用しています。回転と反射の記述、およびその外同型は、そのような挟み込みの例です。これらの外同型は、特に単純な代数形式を持っています。^[h]具体的には、次の形式のベクトルのマッピングです 。

${\displaystyle V\to V:a\mapsto RaR^{-1}}$外同型に拡張される${\displaystyle {\mathcal {G}}(V)\to {\mathcal {G}}(V):A\mapsto RAR^{-1}.}$

演算子とオペランドは両方ともバーソルであるため、ローターを回転させたり、スピノルを反射したりするなどの代替例が考えられますが、そのような操作に何らかの幾何学的または物理的な意味を付与できることが条件となります。

カルタン・ディウドネの定理によれば、すべての等長変換は超平面の反射として与えられ、合成反射は回転を提供するため、直交変換はバーソルであることがわかります。

群論では、実数の非退化⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$について、その群を⁠ ⁠のすべての可逆な元の群として特定し、ルンドホルムは「バーサー群」 （可逆なバーサーの集合）がリプシッツ群（別名クリフォード群、ルンドホルムはこの用法を非推奨としている）に等しいことを証明している。 ^[23]${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\times }}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \{v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\in {\mathcal {G}}\mid v_{i}\in V^{\times }\}}$${\displaystyle \Gamma }$

グレードの反転を⁠ ⁠${\displaystyle {\widehat {S}}}$と表記し、反転を⁠ ⁠${\displaystyle {\widetilde {S}}}$と表記します。

リプシッツ群（⁠ ⁠${\displaystyle \{S\in {\mathcal {G}}^{\times }\mid {\widehat {S}}VS^{-1}\subseteq V\}}$と定義）とベルサー群（⁠ ⁠と${\displaystyle \textstyle \{\prod _{i=0}^{k}v_{i}\mid v_{i}\in V^{\times },k\in \mathbb {N} \}}$定義）は異なる定義を持っていますが、それらは同じ群です。Lundholmはリプシッツ群の⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Pin} }$、⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Spin} }$、および⁠ ⁠ ⁠サブグループを定義しています。 ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$^[24]

スピノルの多重解析ではGAを表現として用いる。^[25]

⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -次数付きベクトル空間構造は、幾何積によって自然に誘導される外積を使用することで、幾何代数上に確立できます。

幾何積と外積は直交ベクトル上で等しいので、この等級付けは直交基底⁠ ⁠${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$を使って簡単に構築できます。

のスカラー倍数である幾何代数の要素は次数 であり、スカラーと呼ばれます。 のスパンにある要素は次数 であり、通常のベクトルです。 のスパンにある要素は次数であり、バイベクトルです。この用語は、最後の次数⁠ ⁠ -ベクトルまで続きます。あるいは、⁠ ⁠ -ベクトルは擬スカラー、 ⁠ ⁠ -ベクトルは擬ベクトル などと呼ばれます。代数の要素の多くは、異なる次数の要素の和であるため、この方式では次数が付けられません。このような要素は、混合次数であると言われます。マルチベクトルの次数は、最初に選択された基底とは無関係です。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \{e_{i}e_{j}\mid 1\leq i<j\leq n\}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$

これはベクトル空間としてのグレーディングですが、代数としてはグレーディングではありません。⁠ ⁠${\displaystyle r}$ -ブレードと⁠ ⁠ -ブレードの積は${\displaystyle s}$⁠ ⁠ -ブレードを通じてのスパン内に含まれるため、幾何代数はフィルターされた代数です。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle r+s}$

マルチベクトルは、グレード射影演算子⁠ ⁠で分解することができ、この演算子は⁠ ⁠のグレード⁠ ⁠部分を出力します。結果として、次のように なります。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{r=0}^{n}\langle A\rangle _{r}}$

例として、および⁠ ⁠なので、および⁠ ⁠以外の 2つのベクトルの幾何積。 ${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b=\langle ab\rangle _{0}+\langle ab\rangle _{2}}$${\displaystyle \langle ab\rangle _{0}=a\cdot b}$${\displaystyle \langle ab\rangle _{2}=a\wedge b}$${\displaystyle \langle ab\rangle _{i}=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2}$

マルチベクトルは偶数成分と奇数成分に分解することもでき、それぞれ上記の偶数グレード成分の合計と奇数グレード成分の合計として表すことができます。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{[0]}=\langle A\rangle _{0}+\langle A\rangle _{2}+\langle A\rangle _{4}+\cdots }$

${\displaystyle A^{[1]}=\langle A\rangle _{1}+\langle A\rangle _{3}+\langle A\rangle _{5}+\cdots }$

これは、 ⁠${\displaystyle \mathrm {Z} }$ ⁠ ⁠次数ベクトル空間から⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$次数ベクトル空間への構造を忘れることの結果です。幾何積は、この粗い次数を尊重します。したがって、幾何代数は⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ⁠次数ベクトル空間であることに加えて、⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ⁠次数代数、別名スーパー代数でもあります。

偶数部分に限定すると、2 つの偶数の元の積も偶数になります。つまり、偶数多重ベクトルは偶数部分代数を定義します。 ⁠ ⁠${\displaystyle n}$次元幾何代数の偶数部分代数は、次元の完全な幾何代数と代数同型です(フィルタリングも次数付けも保存しません) 。例としては、 ⁠ ⁠や⁠ ⁠などがあります。 ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}^{[0]}(2,0)\cong {\mathcal {G}}(0,1)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}^{[0]}(1,3)\cong {\mathcal {G}}(3,0)}$

幾何代​​数では、 のサブスペースをブレー​​ドとして表すため、それらは⁠ ⁠からのベクトルと同じ代数内に共存します。 ⁠ ⁠ の⁠ ⁠次元サブスペースは、直交基底を取り、幾何積を使用してブレード⁠ ⁠ を形成することによって表されます。 ⁠ ⁠ を表すブレードは複数あり、それらはすべて⁠ ⁠のスカラー倍数です。これらのブレードは、 ⁠ ⁠ の正の倍数と⁠ ⁠の負の倍数の 2 つのセットに分けることができます。 の正の倍数は⁠ ⁠と同じ向きを持ち、負の倍数は反対の向きを持つと言われています。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k}\}}$ ${\displaystyle D=b_{1}b_{2}\cdots b_{k}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

ブレードが重要なのは、投影、回転、反射などの幾何学的操作が、（制限されたクラスの）ブレードが${\displaystyle n}$提供する外積を介した因数分解に依存するためです。ただし、（一般化されたクラスの）グレード- ⁠ ${\displaystyle n}$⁠マルチベクトルは、⁠ ⁠${\displaystyle n\geq 4}$の場合、外積を介した因数分解に依存します。

単位擬似スカラーは、GA で重要な役割を果たすブレードです。の非退化部分空間の単位擬似スカラーは、 ⁠ ⁠の正規直交基底のメンバーの積であるブレードです。と が両方とも⁠ ⁠の単位擬似スカラーである場合、 ⁠ ⁠であることが示されます。 ⁠ ⁠の正規直交基底を選択しない場合、Plücker 埋め込みにより外界代数のベクトルが得られますが、スケーリングまでに限られます。 幾何代数と外界代数の間のベクトル空間同型性を使用すると、すべての⁠ ⁠に対しての の同値類が得られます。 正規直交性により、上記の符号を除いてこの曖昧さが解消されます。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I'}$${\displaystyle W}$${\displaystyle I=\pm I'}$${\displaystyle I^{2}=\pm 1}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \alpha I}$${\displaystyle \alpha \neq 0}$

上のよく知られた正定値内積を持つ幾何代数が形成されていると仮定します。  ⁠ ⁠の平面 (2 次元部分空間) が与えられた場合、平面を張る正規直交基底を見つけることができ、したがってこの平面を表す単位擬スカラーを見つけることができます。とのスパン内の任意の 2 つのベクトルの幾何積は⁠ ⁠にあります。つまり、それは⁠ ⁠ベクトルと⁠ ⁠ベクトルの和です。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(n,0)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \{b_{1},b_{2}\}}$${\displaystyle I=b_{1}b_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2}$

幾何積の性質により、⁠ ⁠となります。${\displaystyle I^{2}=b_{1}b_{2}b_{1}b_{2}=-b_{1}b_{2}b_{2}b_{1}=-1}$虚数単位との類似性は偶然ではありません。部分空間は複素数と同型な⁠ ⁠代数です。このように、複素数のコピーは、二次形式が確定している の 2 次元部分空間ごとに幾何代数に埋め込まれます。${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V}$

物理方程式に虚数単位が存在することが確認できる場合があります。このような単位は、実代数において⁠ ⁠${\displaystyle -1}$の二乗になる多くの量のうちの 1 つから生じ、代数の特性とそのさまざまな部分空間の相互作用により、幾何学的な意味を持ちます。

⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$では、さらによく知られたケースが発生します。 ⁠ ⁠の正規直交ベクトルからなる標準基底が与えられた場合、すべての⁠ ⁠ベクトル の集合は${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \{e_{3}e_{2},e_{1}e_{3},e_{2}e_{1}\}.}$

これらを⁠ ⁠${\displaystyle i}$、および(大文字の慣例から一時的に逸脱して) とラベル付けすると、⁠ ⁠ -ベクトルと⁠ ⁠ -ベクトルによって生成される部分空間は、まさに⁠ ⁠です。この集合は⁠ ⁠の偶数部分代数であると見られ、さらに⁠ ⁠ -代数として、別の重要な代数システムである四元数と同型です。 ${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \{\alpha _{0}+i\alpha _{1}+j\alpha _{2}+k\alpha _{3}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ベクトルの外積を代数全体に拡張することは一般的な方法です。これは、前述の等級射影演算子を使用して行うことができます。

${\displaystyle C\wedge D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r+s}}$     （外装品）

この一般化は、反対称化を含む上記の定義と一致しています。外積に関連するもう 1 つの一般化は、交換子積です。

${\displaystyle C\times D:={\tfrac {1}{2}}(CD-DC)}$     （整流子積）

回帰積は外積の双対である（この文脈ではそれぞれ「出会う」と「結合」に対応する）。^[i]要素の双対指定により、ブレード⁠ ⁠${\displaystyle C}$と⁠ ⁠の場合、双対性が${\displaystyle D}$⁠ ⁠${\displaystyle C}$と⁠ ⁠${\displaystyle D}$の両方を含むブレードに対して取られる交差点（または出会う場所）が許可される（そのような最小のブレードは結合である）。^[27]

${\displaystyle C\vee D:=((CI^{-1})\wedge (DI^{-1}))I}$

代数の単位擬スカラーと等しい${\displaystyle I}$。回帰積は外積と同様に結合的である。^[28]

ベクトルの内積も一般化できますが、等価ではない方法が複数あります。論文 (Dorst 2002) では、幾何代数用に開発されたいくつかの異なる内積とそれらの相互関係について詳しく説明されており、表記法はそこから取られています。多くの著者は、選択した拡張に対してベクトルの内積と同じ記号を使用しています (例: Hestenes と Perwass)。一貫した表記法は確立されていません。

ベクトルの内積のいくつかの異なる一般化には次のものがあります。

${\displaystyle C\;\rfloor \;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{s-r}}$   （左縮約形）

${\displaystyle C\;\lfloor \;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r-s}}$   （正しい短縮形）

${\displaystyle C*D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{0}}$   （スカラー積）

${\displaystyle C\bullet D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}}$   （「（太い）ドット」積）^[j]

Dorst (2002) は、ヘステネスの内積よりも縮約法の使用を主張している。縮約法は代数的に規則的であり、幾何学的解釈も明確である。縮約法を組み込んだ多くの恒等式は、入力に制限なく有効である。例えば、

${\displaystyle C\;\rfloor \;D=(C\wedge (DI^{-1}))I}$

${\displaystyle C\;\lfloor \;D=I((I^{-1}C)\wedge D)}$

${\displaystyle (A\wedge B)*C=A*(B\;\rfloor \;C)}$

${\displaystyle C*(B\wedge A)=(C\;\lfloor \;B)*A}$

${\displaystyle A\;\rfloor \;(B\;\rfloor \;C)=(A\wedge B)\;\rfloor \;C}$

${\displaystyle (A\;\rfloor \;B)\;\lfloor \;C=A\;\rfloor \;(B\;\lfloor \;C).}$

左縮約をベクトルの内積の拡張として使用する利点には、任意のベクトルおよび多重ベクトル⁠ ⁠に対して恒等式が ⁠ ⁠ に拡張され、射影演算が任意のブレードおよび任意の多重ベクトルに対して ⁠ ⁠ に拡張されることが含まれます(以下に示すように、null ⁠ ⁠ ⁠に対応するために若干の変更が加えられています)。 ${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$${\displaystyle aB=a\;\rfloor \;B+a\wedge B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}(a)=(a\cdot b^{-1})b}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B^{-1})\;\rfloor \;B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

を⁠ ⁠の基底、つまり⁠ ⁠次元ベクトル空間⁠ ⁠を張る線形独立なベクトルの集合とします 。 と双対な基底は、この基底と双直交系を形成する双対ベクトル空間の要素の集合であり、したがって、${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \{e^{1},\ldots ,e^{n}\}}$

${\displaystyle e^{i}\cdot e_{j}=\delta ^{i}{}_{j},}$

クロネッカーのデルタはどこにありますか。 ${\displaystyle \delta }$

⁠ ⁠${\displaystyle V}$上の非退化二次形式が与えられると、⁠ ⁠と自然に同一視され、双対基底は⁠ ⁠の元とみなすことができますが、一般には元の基底と同じ集合ではありません。 ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

さらにGA ⁠ ⁠ が与えられた場合${\displaystyle V}$、

${\displaystyle I=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$

は基底⁠ ⁠から形成される擬似スカラー（必ずしも⁠ ⁠${\displaystyle \pm 1}$の二乗にはならない）である。双対基底ベクトルは次のように構築される。 ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle e^{i}=(-1)^{i-1}(e_{1}\wedge \cdots \wedge {\check {e}}_{i}\wedge \cdots \wedge e_{n})I^{-1},}$

ここで、は、 ⁠ ⁠番目の基底ベクトルが積から省略される ことを示します。${\displaystyle {\check {e}}_{i}}$${\displaystyle i}$

双対基底は、逆基底または逆フレームとも呼ばれます。

双対基底の主な用途は、ベクトルを成分に分離することです。ベクトル⁠ ⁠${\displaystyle a}$が与えられた場合、スカラー成分は次のように定義できます。 ${\displaystyle a^{i}}$

${\displaystyle a^{i}=a\cdot e^{i}\ ,}$

次のようにベクトル成分に分解できる。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{i}a^{i}e_{i}\ .}$

スカラー成分は次のように 定義することもできる。${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle a_{i}=a\cdot e_{i}\ ,}$

は、双対基底の観点からベクトル成分に分離することができる。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{i}a_{i}e^{i}\ .}$

上で定義した幾何代数のベクトル部分空間の双対基底は、代数全体をカバーするように拡張することができる。^[29]簡潔にするために、ベクトルインデックスの順序付きセットを表すために大文字を1つ使用する。つまり、

${\displaystyle J=(j_{1},\dots ,j_{n})\ ,}$

ここで⁠ ⁠${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\dots <j_{n}}$、基底ブレードは次のように書くことができる。

${\displaystyle e_{J}=e_{j_{1}}\wedge e_{j_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{j_{n}}\ .}$

対応する逆ブレードではインデックスが逆の順序になります。

${\displaystyle e^{J}=e^{j_{n}}\wedge \cdots \wedge e^{j_{2}}\wedge e^{j_{1}}\ .}$

上のベクトルの場合と同様に、

${\displaystyle e^{J}*e_{K}=\delta _{K}^{J}\ ,}$

スカラー積は どこでしょうか。${\displaystyle *}$

マルチベクトルでは、スカラー成分を次のように定義できる^[30]${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{ij\cdots k}=(e^{k}\wedge \cdots \wedge e^{j}\wedge e^{i})*A\ ,}$

ブレードをコンポーネントに分割できるという 点で${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A^{ij\cdots k}e_{i}\wedge e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{k}\ .}$

代わりにスカラー成分を定義することもできる

${\displaystyle A_{ij\cdots k}=(e_{k}\wedge \cdots \wedge e_{j}\wedge e_{i})*A\ ,}$

ブレードをコンポーネントに分割できるという 点で${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A_{ij\cdots k}e^{i}\wedge e^{j}\wedge \cdots \wedge e^{k}\ .}$

ベルソルは代数でマルチベクトルとして直接表現できるため、扱いが簡単ですが、ベルソルはマルチベクトル上の線形関数のサブグループであり、必要に応じて使用できます。⁠ ⁠${\displaystyle n}$次元ベクトル空間の幾何学的代数は、要素の基底によって張られます。マルチベクトルが代数の基底の係数の実列行列によって表される場合、マルチベクトルのすべての線形変換は、実行列による行列の乗算として表現できます。ただし、このような一般的な線形変換では、スカラーからベクトルへの「回転」など、グレード間の任意の交換が可能であり、これには明らかな幾何学的解釈がありません。 ${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}\times 1}$${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$

ベクトルからベクトルへの一般的な線形変換は興味深い。誘導された外積代数を保存するという自然な制限により、線形変換の外同型は、ベルソルの唯一の^[k]拡張である。がベクトルをベクトルに写す線形関数である場合、その外同型は次の規則に従う関数である。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r})=f(a_{1})\wedge f(a_{2})\wedge \cdots \wedge f(a_{r})}$

ブレードの場合、線形性を通じて代数全体に拡張されます。

CGAには多くの注目が集まっているが、GAは単なる1つの代数ではなく、同じ本質的構造を持つ代数のファミリーの1つであることに留意する必要がある。^[31]

の偶数部分代数は複素数と同型であり、ベクトルをその成分で正規直交基底に書き、基底ベクトル⁠ ⁠で左乗すると次のようになる。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,0)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle e_{1}}$

${\displaystyle Z=e_{1}P=e_{1}(xe_{1}+ye_{2})=x(1)+y(e_{1}e_{2}),}$

私たちが認識して いる場所${\displaystyle i\mapsto e_{1}e_{2}}$

${\displaystyle (e_{1}e_{2})^{2}=e_{1}e_{2}e_{1}e_{2}=-e_{1}e_{1}e_{2}e_{2}=-1.}$

同様に、基底を持つの偶数部分代数は、⁠ ⁠ 、 ⁠ ⁠を同一視することでわかるように、四元数と同型です。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$${\displaystyle \{1,e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}\}}$${\displaystyle i\mapsto -e_{2}e_{3}}$${\displaystyle j\mapsto -e_{3}e_{1}}$${\displaystyle k\mapsto -e_{1}e_{2}}$

すべての結合代数は行列表現を持ちます。3つの直交基底ベクトルをパウリ行列に置き換えると、 ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$の表現が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}=\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\e_{2}=\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\e_{3}=\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

「パウリベクトル」の点付け（2元）:

${\displaystyle \sigma =\sigma _{1}e_{1}+\sigma _{2}e_{2}+\sigma _{3}e_{3}}$任意のベクトルとを掛け合わせると次のようになります。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle (\sigma \cdot a)(\sigma \cdot b)=a\cdot b+a\wedge b}$（同様に、検査により、⁠ ⁠${\displaystyle a\cdot b+i\sigma \cdot (a\times b)}$）

物理学では、主な応用はミンコフスキー3+1時空の幾何${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$代数（時空代数（STA） ^[3]と呼ばれる）、 [またはあまり一般的ではないが、物理${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$空間の代数（APS）として解釈される）である。

STA では時空の点は単純にベクトルで表されますが、APS では⁠ ⁠${\displaystyle (3+1)}$次元時空の点は、3 次元ベクトル (空間) と 1 次元スカラー (時間) を組み合わせたパラベクトルで表されます。

時空代数では、電磁場テンソルは二ベクトル表現⁠ ⁠${\displaystyle {F}=({E}+ic{B})\gamma _{0}}$を持つ。^[32]ここで、は単位擬スカラー（または4次元体積要素）、は時間方向の単位ベクトル、および は古典的な電場ベクトルと磁場ベクトル（時間成分はゼロ）である。4元電流⁠ ⁠を用いると、マクスウェル方程式は次のようになる。 ${\displaystyle i=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {J}}$

幾何学的計算では、 のようなベクトルの並置は幾何学的積を表し、⁠ ⁠として部分に分解できます。ここで、任意の時空における共ベクトル微分は、平坦時空では に簡約されます。ここで、 はミンコフスキー⁠ ⁠時空で役割を果たしますが、これはユークリッド⁠ ⁠空間におけるの役割と同義であり、⁠ ⁠によってダランベルシアンと関連付けられています。実際、未来を指す時間的ベクトルで表される観測者が与えられた場合、次のようになります 。${\displaystyle DF}$${\displaystyle DF=D~\rfloor ~F+D\wedge F}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \bigtriangledown }$${\displaystyle 4}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \Box =\bigtriangledown ^{2}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \bigtriangledown ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\wedge \bigtriangledown =\nabla }$

このローレンツ計量空間におけるブーストは、ユークリッド空間における回転と同じ表現を持ちます。ここでは、関係する時間と空間方向によって生成されるバイベクトルですが、ユークリッドの場合は 2 つの空間方向によって生成されるバイベクトルであり、「類似性」がほぼ同一性に強化されます。 ${\displaystyle e^{\beta }}$${\displaystyle {\beta }}$

ディラック行列は⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$の表現であり、物理学者が使用する行列表現と同等であることを示しています。

同次モデルとは、一般に、ベクトル空間の 1 次元部分空間の要素が幾何学上の点を表す射影表現を指します。

次元空間の幾何代数では、ローターは回転に対応する自由度を持つ変換のセットを表します。たとえば、 ⁠ ⁠ のときや⁠のときなどです。幾何代数は、射影空間をモデル化するために、つまり同次モデルとしてモデル化するためによく使用されます。つまり、点、線、平面などは、可逆なスカラー係数によって異なる代数の要素の同値類によって表されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n(n-1)/2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle n=4}$

⁠ ⁠ 次元空間内のローターには自由度があり、これは⁠ ⁠次元空間の回転と並進を組み合わせた自由度の数と同じです。 ${\displaystyle n+1}$$n(n-1)/2+n$${\displaystyle n}$

これは、ユークリッド幾何学におけるユークリッド等長写像を表すために^{[33] [34] [35]}使用される射影幾何代数（PGA）の場合です（これにより、幾何学の工学的応用の大部分をカバーします）。このモデルでは、3つのユークリッド次元に退化した次元が追加され、代数⁠ ⁠を形成します。点、線、平面を表す部分空間を適切に識別することで、この代数のバーサーは、常に3次元空間でのねじれ運動であるすべての適切なユークリッド等長写像と、反射、回転反射、透過反射、点反射を含むすべての不適切なユークリッド等長写像を表します。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$

PGAは補数演算子 と組み合わせて、結合、会合、距離、角度の式を取得します。^[36]実際には、補数は代数表現の各項の表現に存在する基底ベクトルと存在しない基底ベクトルを入れ替えます。たとえば、3次元空間のPGAでは、直線の補数は直線⁠ ⁠です。これは、と が⁠ ⁠ に含まれていないが⁠ ⁠に含まれる基底要素であるためです。2次元空間のPGAでは、要素がないため、 ⁠ ⁠ の補数は⁠ ⁠です。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{03}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{03}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{3}}$

PGAは、幾何学代数と幾何学における同次表現を組み合わせた広く使われているシステムですが、他にも同様のシステムがいくつかあります。以下で説明する共形モデルは同次であり、「円錐幾何代数」^[37]も同様です。また、PGAから派生したユークリッド幾何学と比較した楕円幾何学と双曲幾何学の同次モデルについては、平面ベースの幾何代数を参照してください。

GA 内での作業では、ユークリッド空間(および無限遠の共形点)は、5D CGA ベクトル サブスペースの 4D ヌル コーン内の 1D サブスペースを持つユークリッド点の識別を介して、CGA に射影的に埋め込まれます。これにより、すべての共形変換を回転と反射として実行できるようになり、共変であるため、射影幾何学の入射関係が円や球などの円形オブジェクトに拡張されます。 ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

具体的には、直交基底ベクトルとをベクトル空間の基底に追加し、ヌルベクトルを生成して識別します。${\displaystyle e_{+}}$${\displaystyle e_{-}}$${\displaystyle e_{+}^{2}=+1}$${\displaystyle e_{-}^{2}=-1}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle n_{\text{o}}={\tfrac {1}{2}}(e_{-}-e_{+})}$原点として、

${\displaystyle n_{\infty }=e_{-}+e_{+}}$無限遠点における共形点として（コンパクト化を参照）、

${\displaystyle n_{\infty }\cdot n_{\text{o}}=-1.}$

（一部の著者は、およびと設定しています。[ 36 ] ^{）この手順は、射影幾何学における}同次座標を扱う手順といくつかの類似点があり、この場合には、のユークリッド変換を⁠ ⁠のサブセットの直交変換としてモデル化することができます。 ${\displaystyle e_{4}=n_{\text{o}}}$${\displaystyle e_{5}=n_{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{4,1}}$

GA の急速に変化する流動的な領域である CGA は、相対論的物理学への応用についても研究されています。

このリストでは、⁠ ⁠${\displaystyle p}$と⁠ ⁠ は${\displaystyle q}$入れ替えることができ、同じ名前が適用されます。たとえば、比較的小さな変更が加えられるため、符号規則を参照してください。たとえば、と はどちらも時空代数と呼ばれます。[ ^38]${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1,0)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3,0)}$

任意のベクトルと任意の可逆ベクトル⁠ ⁠に対して、 ${\displaystyle a}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle a=amm^{-1}=(a\cdot m+a\wedge m)m^{-1}=a_{\|m}+a_{\perp m},}$

ここでの（または平行部分） への投影は${\displaystyle a}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{\|m}=(a\cdot m)m^{-1}}$

そして、（または直交部分） からの拒絶は${\displaystyle a}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{\perp m}=a-a_{\|m}=(a\wedge m)m^{-1}.}$

⁠ ⁠${\displaystyle k}$ -ブレード⁠ ⁠${\displaystyle B}$の概念を ⁠ ⁠ のサブスペースとして表現し、すべての多重ベクトルは最終的にベクトルで表現されるものとして用いると、${\displaystyle V}$これは一般多重ベクトルを任意の可逆な ⁠ ⁠ -ブレード ⁠ ⁠ への射影に一般化され${\displaystyle k}$、[ l ${\displaystyle B}$^]

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B)\;\rfloor \;B^{-1},}$

拒絶反応は次のように定義される

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(A)=A-{\mathcal {P}}_{B}(A).}$

射影と拒絶は、逆を縮約積に関する擬似逆で置き換えることによってヌルブレードに一般化される。 ^[m]非ヌルブレードの場合、射影の結果は両方のケースで一致する。^{[45] [46]}ヌルブレード⁠ ⁠については、擬似逆への2番目の縮約ではなく最初の縮約でここで与えられた射影の定義を使用する必要があります。^[n]そうして初めて、結果は必然的に⁠ ⁠ ⁠で表される部分空間内に存在するためです。^[45] 射影は、線形性を通じて一般マルチベクトル⁠ ⁠ ⁠ に一般化されます。^[o]射影は⁠ ⁠ ⁠では線形ではなく、ブレードではない オブジェクト⁠ ⁠には一般化されません。${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{-1}}$${\displaystyle B^{+}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

超平面における単純な反射は、単一のベクトルとの共役を通じて代数で簡単に表現できます。これらは、一般的な回転反射と回転のグループを生成するのに役立ちます。

ベクトル⁠ ⁠に沿ったベクトルの反射、またはそれと同等に⁠ ⁠に直交する超平面での反射は、 ⁠ ⁠に平行なベクトルの成分を反転することと同じです。反射の結果は次のようになります。 ${\displaystyle c'}$${\displaystyle c}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle c'={-c_{\|m}+c_{\perp m}}={-(c\cdot m)m^{-1}+(c\wedge m)m^{-1}}={(-m\cdot c-m\wedge c)m^{-1}}=-mcm^{-1}}$

これは、次元が⁠ ⁠${\displaystyle n\geq 4}$のときに反射とみなされる最も一般的な操作ではありません。一般的な反射は、任意の奇数の単軸反射の合成として表現できます。したがって、ベクトルの一般的な反射は次のように記述できます。 ${\displaystyle a'}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\mapsto a'=-MaM^{-1},}$

どこ

${\displaystyle M=pq\cdots r}$そして${\displaystyle M^{-1}=(pq\cdots r)^{-1}=r^{-1}\cdots q^{-1}p^{-1}.}$

ベクトルの積の非零ベクトルに沿った反射を、積内の各ベクトルの同じベクトルに沿った反射と定義すると、例えば、奇数個のベクトルの積に対して、次の式が得られます。 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle (abc)'=a'b'c'=(-mam^{-1})(-mbm^{-1})(-mcm^{-1})=-ma(m^{-1}m)b(m^{-1}m)cm^{-1}=-mabcm^{-1}\,}$

そして偶数個のベクトルの積については

${\displaystyle (abcd)'=a'b'c'd'=(-mam^{-1})(-mbm^{-1})(-mcm^{-1})(-mdm^{-1})=mabcdm^{-1}.}$

あらゆる多重ベクトルは最終的にベクトルで表現されるという概念を用いると、任意の反射バーサーを用いた一般的な多重ベクトルの反射は次のように書ける。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle A\mapsto M\alpha (A)M^{-1},}$

ここで、ベクトル空間 ( ⁠ ⁠ ) の原点を通る反射の自己同型は、線形性を通じて代数全体に拡張されます。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle v\mapsto -v}$

ベクトルの積がある場合、その逆は次のように表される。 ${\displaystyle R=a_{1}a_{2}\cdots a_{r}}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}=a_{r}\cdots a_{2}a_{1}.}$

例えば、 ${\displaystyle R=ab}$

${\displaystyle R{\widetilde {R}}=abba=ab^{2}a=a^{2}b^{2}=ba^{2}b=baab={\widetilde {R}}R.}$

スケーリングする と${\displaystyle R}$${\displaystyle R{\widetilde {R}}=1}$

${\displaystyle (Rv{\widetilde {R}})^{2}=Rv^{2}{\widetilde {R}}=v^{2}R{\widetilde {R}}=v^{2}}$

の長さは変化しません。また 、${\displaystyle Rv{\widetilde {R}}}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle (Rv_{1}{\widetilde {R}})\cdot (Rv_{2}{\widetilde {R}})=v_{1}\cdot v_{2}}$

したがって、変換は長さと角度の両方を保存します。したがって、これは回転または回転子反射として識別できます。適切な回転である場合は回転子と呼ばれ(偶数のベクトルの積として表現できる場合など)、GA でバーサーとして知られているもののインスタンスです。 ${\displaystyle Rv{\widetilde {R}}}$${\displaystyle R}$

ベクトルを回転させる一般的な方法があり、これには、平面内で回転を生成し、方向が⁠ ⁠ ⁠ブレード⁠ ⁠によって定義される形式の多重ベクトルの形成が含まれます。 ${\displaystyle R=e^{-B\theta /2}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle B}$

ローターは、四元数を⁠ ⁠${\displaystyle n}$次元空間に一般化したものです。

平行四辺形を張る ベクトル⁠ ⁠${\displaystyle a}$と⁠ ⁠については、${\displaystyle b}$

${\displaystyle a\wedge b=((a\wedge b)b^{-1})b=a_{\perp b}b}$

その結果、⁠ ⁠ は${\displaystyle a\wedge b}$平行四辺形の「高さ」と「底辺」の積、つまり面積に比例します。

同様の解釈は、 ⁠ ⁠${\displaystyle n}$次元平行六面体に及ぶ任意の数のベクトルにも当てはまります。つまり、${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ベクトルの外積、つまり⁠ ${\displaystyle \textstyle \bigwedge _{i=1}^{n}a_{i}}$⁠の大きさは、 ⁠ ⁠${\displaystyle n}$平行六面体の体積に等しくなります。 ⁠ ⁠ベクトルは必ずしも平行六面体の形をしているわけではありません。これは便利な視覚化です。 ⁠${\displaystyle n}$ ⁠ベクトルは任意の形状にすることができますが、体積は平行六面体の体積に等しくなります。

線は⁠ ⁠${\displaystyle p=t+\alpha \ v}$によってパラメトリックに定義できます。ここで⁠ ⁠${\displaystyle p}$と⁠ ⁠ は${\displaystyle t}$点 P と T の位置ベクトルであり、⁠ ⁠ は${\displaystyle v}$線の方向ベクトルです。

それから

${\displaystyle B\wedge (p-q)=0}$そして${\displaystyle B\wedge (t+\alpha v-q)=0}$

それで

${\displaystyle \alpha ={\frac {B\wedge (q-t)}{B\wedge v}}}$

そして

${\displaystyle p=t+\left({\frac {B\wedge (q-t)}{B\wedge v}}\right)v.}$

トルクや角運動量などの回転量は、幾何代数ではバイベクトルとして記述されます。正規直交ベクトル⁠ ⁠${\displaystyle {\widehat {u}}}$と⁠ ⁠ を${\displaystyle {\widehat {\ \!v}}}$含む任意の平面上の円形のパスが角度によってパラメーター化されているとします。

${\displaystyle \mathbf {r} =r({\widehat {u}}\cos \theta +{\widehat {\ \!v}}\sin \theta )=r{\widehat {u}}(\cos \theta +{\widehat {u}}{\widehat {\ \!v}}\sin \theta )}$

この平面の単位二乗ベクトルを虚数として指定すると

${\displaystyle {i}={\widehat {u}}{\widehat {\ \!v}}={\widehat {u}}\wedge {\widehat {\ \!v}}}$

${\displaystyle i^{2}=-1}$

このパスベクトルは、複素指数形式で便利に記述できます。

${\displaystyle \mathbf {r} =r{\widehat {u}}e^{i\theta }}$

そして角度に関する微分は

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}=r{\widehat {u}}ie^{i\theta }=\mathbf {r} i.}$

例えば、トルクは一般的に垂直方向の力の成分の大きさと距離、または単位角度あたりの仕事量として定義されます。したがって、トルク、つまり力による角度に対する仕事量の変化率は${\displaystyle W}$、 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \tau ={\frac {dW}{d\theta }}=F\cdot {\frac {dr}{d\theta }}=F\cdot (\mathbf {r} i).}$

回転量は、ベクトル計算では3次元で外積を使って表されます。方向付けられた体積形式⁠ ⁠${\displaystyle I}$の選択と合わせて、これらの量は、双対関係 を使用して、双対ベクトルとしてより自然な幾何学的解釈で外積に関連付けることができます。

${\displaystyle a\times b=-I(a\wedge b).}$

トルクの外積記述とは異なり、幾何${\displaystyle \tau =\mathbf {r} \times F}$代数記述では法線方向のベクトルは導入されません。法線方向のベクトルは、2 次元では存在せず、3 次元を超えると一意ではありません。単位バイベクトルは、回転の平面と方向を記述し、回転の方向はベクトル⁠ ⁠${\displaystyle {\widehat {u}}}$と⁠ ⁠${\displaystyle {\widehat {\ \!v}}}$の間の角度に相対します。

幾何解析は微分幾何学や微分形式を含む微分と積分を含むように形式論を拡張する。^[47]

本質的に、ベクトル微分は、グリーン定理のGAバージョンが真となるように定義される。

${\displaystyle \int _{A}dA\,\nabla f=\oint _{\partial A}dx\,f}$

そしてこう書くことができる

${\displaystyle \nabla f=\nabla \cdot f+\nabla \wedge f}$

幾何学的積として、ストークスの定理（微分形式バージョンを含む）を効果的に一般化します。

1Dでは、⁠ ⁠ が端点${\displaystyle A}$⁠ ⁠${\displaystyle a}$と⁠ ⁠ を${\displaystyle b}$持つ曲線である場合、

${\displaystyle \int _{A}dA\,\nabla f=\oint _{\partial A}dx\,f}$

減少する

${\displaystyle \int _{a}^{b}dx\,\nabla f=\int _{a}^{b}dx\cdot \nabla f=\int _{a}^{b}df=f(b)-f(a)}$

あるいは積分学の基本定理。

また、ベクトル多様体の概念と、微分形式を一般化する幾何学的積分理論も開発されました。

幾何学と代数のつながりは、少なくとも紀元前3世紀のユークリッドの『原論』にまで遡るが（ギリシャの幾何代数を参照）、本稿でいう意味での幾何学的代数は、空間の幾何学的特性と変換を記述するために体系的に使用された1844年まで発展しなかった。その年、ヘルマン・グラスマンは、空間の幾何学的情報すべてをコード化するある種の計算（命題計算に類似）として、完全に一般的な幾何代数の概念を導入した。 ^{[48]グラスマンの代数体系は、}ユークリッド空間、アフィン空間、射影空間など、さまざまな種類の空間に適用できる。グラスマンに続いて、1878年にウィリアム・キングドン・クリフォードは、ウィリアム・ローワン・ハミルトンの四元数と並べてグラスマンの代数体系を検討した（Clifford 1878）。彼の観点からすると、四元数は特定の変換（彼はこれを回転子と呼んだ）を記述するのに対し、グラスマン代数は特定の特性（または長さ、面積、体積などのシュトレケン）を記述する。彼の貢献は、既存のグラスマン代数に新しい積、つまり幾何積を定義し、四元数がその代数内に存在することを実現したことである。その後、ルドルフ・リプシッツは1886年にクリフォードの四元数の解釈を一般化し、それを⁠ ⁠次元の回転の幾何学に適用した。後にこれらの発展により、20世紀の他の数学者がクリフォード代数の特性を形式化し、探求することになった。 ${\displaystyle n}$

しかしながら、19 世紀のもう一つの革命的な発展が、幾何代数を完全に凌駕することになる。ジョサイア・ウィラード・ギブスとオリバー・ヘヴィサイドが独立に開発したベクトル解析である。ベクトル解析は、ジェームズ・クラーク・マクスウェルの電磁気学の研究、特に特定の微分方程式を簡便に表現し操作する必要性に触発されて生まれた。新しい代数の厳密さに比べると、ベクトル解析にはある種の直感的な魅力があった。物理学者も数学者も、ギブスの講義を受けてエドウィン・ビッドウェル・ウィルソンが1901 年に出版した影響力の大きい教科書『ベクトル解析』に倣い、ベクトル解析を幾何学のツールキットとしてすぐに採用した。

より詳細には、幾何代数には 3 つのアプローチがありました。1843年にハミルトンが開始し、1878 年にクリフォードが回転子として幾何学化した四元数解析、1844 年にグラスマンが開始した幾何代数、および 19 世紀後半にギブスとヘヴィサイドが四元数解析から発展させたベクトル解析です。ベクトル解析における四元数解析の遺産は、⁠ ⁠の基底ベクトルを示すために⁠ ⁠${\displaystyle i}$、⁠ ⁠${\displaystyle j}$、⁠ ⁠${\displaystyle k}$の使用に見ることができます。これは、純粋に虚数の四元数として考えられています。幾何代数の観点からは、時空代数の偶数部分代数は 3D ユークリッド空間の GA と同型であり、四元数は 3D ユークリッド空間の GA の偶数部分代数と同型であり、これにより 3 つのアプローチが統合されます。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$

クリフォード代数の研究は20世紀を通じて静かに進展したが、それは主にエリー・カルタン、ヘルマン・ワイル、クロード・シュヴァレーなどの抽象代数学者の研究によるものである。幾何代数への幾何学的アプローチは、20世紀に何度も復活した。数学では、エミール・アルティンの『幾何代数』^[49]が、アフィン幾何学、射影幾何学、シンプレクティック幾何学、直交幾何学など、数多くの幾何学のそれぞれに関連する代数について論じている。物理学では、幾何代数は、量子力学やゲージ理論などのより高度なトピックとともに、古典力学や電磁気学を行う「新しい」方法として復活した。^[5]デビッド・ヘステネスは、パウリ行列とディラック行列をそれぞれ通常の空間と時空のベクトルとして再解釈し、幾何代数の使用の現代の主要な提唱者である。

コンピュータグラフィックスとロボット工学では、回転やその他の変換を効率的に表現するために幾何代数が復活しました。ロボット工学 (ねじ理論、ベルソルを使用した運動学と動力学)、コンピュータビジョン、制御、ニューラルコンピューティング (幾何学習) における GA の応用については、Bayro (2010) を参照してください。

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