V を n 向き付けられた ベクトル空間 とする。⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } これは、ここでは内積 と呼ばれます。（擬リーマン多様体やミンコフスキー空間などのより一般的な文脈では、双線形形式は正定値ではない場合があります。）これは、 k ベクトル 上の内積を誘導します。α 、 β ∈ ⋀ k V {\textstyle \alpha ,\beta \in \bigwedge ^{\!k}V} 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} 単純なk α = α 1 ∧ ⋯ ∧ α k {\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}} β = β 1 ∧ ⋯ ∧ β k {\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}} グラム行列式 [ 1 ] ：
⟨ α 、 β ⟩ = 検出 （ ⟨ α 私 、 β j ⟩ 私 、 j = 1 k ） {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\det \left(\left\langle \alpha _{i},\beta _{j}\right\rangle _{i,j=1}^{k}\right)} 拡張⋀ k V {\textstyle \bigwedge ^{\!k}V} グラム行列 Gは 2 n × 2 n 2^n × 2^n ⨁ 0 < k ≤ n ⋀ k V {\textstyle \bigoplus _{0<k\leq n}\bigwedge ^{\!k}V} 1 T G b {\displaystyle a^{\mathrm {T} }Gb} a b 2 n × 1 2^n × 1 2 n 2n
単位n ω ∈ ⋀ n V {\displaystyle \omega \in {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V} は、向き付けられた正規直交基底 によって定義される。{ e 1 、 … 、 e n } {\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}} V
ω := ± e 1 ∧ ⋯ ∧ e n {\displaystyle \omega :=\pm e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}} 符号はプラスまたはマイナスとして自由に選択および固定できます。（注：一般的な擬リーマンの場合、直交性とは⟨ e 私 、 e j ⟩ ∈ { δ 私 j 、 − δ 私 j } {\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle \in \{\delta _{ij},-\delta _{ij}\}} ω {\displaystyle \omega } 補集合 m {\displaystyle m} m ¯ {\displaystyle {\overline {m}}} m ∧ m ¯ = ω {\displaystyle m\wedge {\overline {m}}=\omega } ⋀ k V {\textstyle \bigwedge ^{\!k}V}
ホッジスター演算子は、 V 外積代数 上の線形演算子であり、 k n – k 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} α {\displaystyle \alpha } [ 2 ]により
⋆ α = G α ¯ {\displaystyle \star \alpha ={\overline {G\alpha }}} これはグラム行列を適用し、右補行列を取ります。ホッジスターは次の性質を持ちます。[ 1 ] :
α ∧ ⋆ β = ⟨ α 、 β ⟩ ω {\displaystyle \alpha \wedge \star \beta =\langle \alpha ,\beta \rangle \,\omega } すべてのk α 、 β ∈ ⋀ k V 。 {\displaystyle \alpha ,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.} 二重に、空間の中で⋀ n V * {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V^{*}} n n V n {\displaystyle V^{n}} ω {\displaystyle \omega } ボリューム 形式検出 {\displaystyle \det } v 1 ∧ ⋯ ∧ v n {\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}} 、 n × n {\displaystyle n\times n} v j {\displaystyle v_{j}} e 私 {\displaystyle e_{i}} 検出 {\displaystyle \det }
検出 （ α ∧ ⋆ β ） = ⟨ α 、 β ⟩ {\displaystyle \det(\alpha \wedge {\star }\beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle } すべてのk α 、 β ∈ ⋀ k V 。 {\displaystyle \alpha ,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.} 同様に、α = α 1 ∧ ⋯ ∧ α k {\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}} β = β 1 ∧ ⋯ ∧ β k {\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}} ⋆ β = β 1 ⋆ ∧ ⋯ ∧ β n − k ⋆ {\displaystyle {\star }\beta =\beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{nk}^{\star }}
検出 （ α 1 ∧ ⋯ ∧ α k ∧ β 1 ⋆ ∧ ⋯ ∧ β n − k ⋆ ） = 検出 （ ⟨ α 私 、 β j ⟩ ） 。 \displaystyle \det \left(\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{nk}^{\star }\right)\ =\ \det \left(\langle \alpha _{i},\beta _{j}\rangle \right).} これは、 k e 私 = e 私 1 ∧ ⋯ ∧ e 私 k {\displaystyle e_{I}\ =\ e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}} 私 = { 私 1 < ⋯ < 私 k } {\displaystyle I=\{i_{1}<\cdots <i_{k}\}} [ n ] = { 1 、 … 、 n } {\displaystyle [n]=\{1,\ldots ,n\}} n – k )-ベクトルである。 私 ¯ = [ n ] ∖ 私 = { 私 ¯ 1 < ⋯ < 私 ¯ n − k } {\displaystyle {\bar {I}}=[n]\smallsetminus I=\left\{{\bar {i}}_{1}<\cdots <{\bar {i}}_{nk}\right\}}
⋆ e 私 = s ⋅ t ⋅ e 私 ¯ 、 {\displaystyle \star e_{I}=s\cdot t\cdot e_{\bar {I}},} どこs ∈ { 1 、 − 1 } {\displaystyle s\in \{1,-1\}} の 符号私 1 ⋯ 私 k 私 ¯ 1 ⋯ 私 ¯ n − k {\displaystyle i_{1}\cdots i_{k}{\bar {i}}_{1}\cdots {\bar {i}}_{n-k}} t ∈ { 1 、 − 1 } {\displaystyle t\in \{1,-1\}} ⟨ e 私 1 、 e 私 1 ⟩ ⋯ ⟨ e 私 k 、 e 私 k ⟩ {\displaystyle \langle e_{i_{1}},e_{i_{1}}\rangle \cdots \langle e_{i_{k}},e_{i_{k}}\rangle } t = 1 {\displaystyle t=1}
多重ベクトルm 恒等式 で計算できる。
⋆ m = m ～ 私 、 {\displaystyle \star m={\widetilde {m}}I,} ここでチルダは逆演算を表し、I d x μ {\displaystyle dx^{\mu }} e → μ {\displaystyle {\vec {e}}^{\mu }} e → μ {\displaystyle {\vec {e}}_{\mu }}
偶数次元の場合、上記で定義した右バージョンと比較して、グレードごとの符号が異なるホッジ双対の左バージョンが存在する。区別が必要な場合、右ホッジ双対は上付き文字の星印で表され、α ★ = G α ¯ {\displaystyle \alpha ^{\bigstar }={\overline {G\alpha }}}
α ★ = G α _ {\displaystyle \alpha _{\bigstar }={\underline {G\alpha }}} 下線は左補数 を取るm _ ∧ m = ω {\displaystyle {\underline {m}}\wedge m=\omega } m {\displaystyle m} m {\displaystyle m} m ★ = 私 m ～ 。 {\displaystyle m_{\bigstar }=I{\widetilde {m}}.}
双線形形式が非退化の場合、ホッジスター演算子は正規直交基底を正規直交基底に写像します。この場合、それは外積代数上の等長写像です。 ⋀ V {\textstyle \bigwedge V}
幾何学的説明 ホッジスターは、空間V W 向き と数値スケーリング係数が与えられている。具体的には、非ゼロの分解可能なk w 1 ∧ ⋯ ∧ w k ∈ ⋀ k V {\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in \textstyle \bigwedge ^{\!k}V} プリュッカー埋め込み により部分空間に対応するW {\displaystyle W} w 1 、 … 、 w k {\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k}} k グラミアンに等しい）が付与されている。 ⟨ w 私 、 w j ⟩ {\displaystyle \langle w_{i},w_{j}\rangle } n − k
⋆ （ w 1 ∧ ⋯ ∧ w k ） = u 1 ∧ ⋯ ∧ u n − k 、 {\displaystyle {\star }(w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k})\,=\,u_{1}\wedge \cdots \wedge u_{n-k},} どこu 1 、 … 、 u n − k {\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n-k}} 直交空間 の向き付けられた基底を形成するU = W ⊥ {\displaystyle U=W^{\perp }\!} n − k u 私 {\displaystyle u_{i}} -平行六面体はk- w 私 {\displaystyle w_{i}} w 1 、 … 、 w k 、 u 1 、 … 、 u n − k {\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n-k}} V {\displaystyle V}
一般のkベクトルは、分解可能な k k
例
2次元 正規化されたユークリッド計量と順序( x , y )で与えられる向きを持つ 2 次元では、 k ⋆ 1 = d x ∧ d y ⋆ d x = d y ⋆ d y = − d x ⋆ （ d x ∧ d y ） = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,1&=dx\wedge dy\\{\star }\,dx&=dy\\{\star }\,dy&=-dx\\{\star }(dx\wedge dy)&=1.\end{aligned}}}
三次元 ホッジスター演算子の一般的な例としては、n = 3ユークリッド R 3の場合、 d x 、 d y 、 d z {\displaystyle dx,dy,dz} ベクトル解析 でよく使われる1形式 のうち、次のことが分かる。 ⋆ d x = d y ∧ d z ⋆ d y = d z ∧ d x ⋆ d z = d x ∧ d y 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,dx&=dy\wedge dz\\{\star }\,dy&=dz\wedge dx\\{\star }\,dz&=dx\wedge dy.\end{aligned}}}
ホッジスターは、3次元における外積と外積の関係を示しています。[ 3 ] ⋆ （ u ∧ v ） = u × v ⋆ （ u × v ） = u ∧ v 。 {\displaystyle {\star }(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} \qquad {\star }(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} .} 軸ベクトル と双ベクトル の間に同型性 を提供するので、各軸ベクトルa は双ベクトル A [ 3 ] A = ⋆ 1 、 1 = ⋆ A {\displaystyle \mathbf {A} ={\star }\mathbf {a} ,\ \ \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A} }
ホッジスターは、回転軸 と、その軸を中心とした回転速度が回転軸の長さに等しい微小回転 との間の幾何学的対応関係の一形態として解釈することもできます（3D回転群#リー代数 も参照）。ベクトル空間上のスカラー積V {\displaystyle V} 同型 写像を与えるV ≅ V * {\displaystyle V\cong V^{*}\!} V {\displaystyle V} 空間 とベクトル空間L （ V 、 V ） {\displaystyle L(V,V)} はテンソル積 と自然に同型であるV * ⊗ V ≅ V ⊗ V {\displaystyle V^{*}\!\!\otimes V\cong V\otimes V} V = R 3 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}} ⋆ : V → ⋀ 2 V ⊂ V ⊗ V {\textstyle \textstyle {\star }:V\to \bigwedge ^{\!2}\!V\subset V\otimes V} v {\displaystyle \mathbf {v} } ⋆ v ∈ V ⊗ V {\displaystyle {\star }\mathbf {v} \in V\otimes V} L v : V → V {\displaystyle L_{\mathbf {v} }:V\to V} L v {\displaystyle L_{\mathbf {v} }} は歪対称 演算子であり、微小回転に対応します。つまり、軸を中心とした巨視的な回転です。v {\displaystyle \mathbb {v} } 行列指数関数 によって与えられるexp （ t L v ） {\displaystyle \exp(tL_{\mathbf {v} })} d x 、 d y 、 d z {\displaystyle dx,dy,dz} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} d x ⊗ d y {\displaystyle dx\otimes dy} d x {\displaystyle dx} d y {\displaystyle dy} d x ∧ d y = d x ⊗ d y − d y ⊗ d x {\displaystyle dx\wedge dy\,=\,dx\otimes dy-dy\otimes dx} [ 0 1 0 − 1 0 0 0 0 0 ] {\displaystyle \scriptscriptstyle \left[{\begin{array}{rrr}\,0\!\!&\!\!1&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,\!-1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\end{array}}\!\!\!\right]} v = 1 d x + b d y + c d z ⟶ ⋆ v ≅ L v = [ 0 c − b − c 0 1 b − 1 0 ] 。 {\displaystyle \mathbf {v} =a\,dx+b\,dy+c\,dz\quad \longrightarrow \quad {\star }{\mathbf {v} }\ \cong \ L_{\mathbf {v} }\ =\left[{\begin{array}{rrr}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{array}}\right].} リー括弧に対応する。 L u × v = L v L u − L u L v = − [ L u 、 L v ] {\displaystyle L_{\mathbf {u} \times \mathbf {v} }=L_{\mathbf {v} }L_{\mathbf {u} }-L_{\mathbf {u} }L_{\mathbf {v} }=-\left[L_{\mathbf {u} },L_{\mathbf {v} }\right]}
4次元 万一に備えてn = 4 {\displaystyle n=4} 4 次元の2 ± 1 {\displaystyle \pm 1} ± 私 {\displaystyle \pm i}
具体的には、ミンコフスキー時空におけるホッジスター演算子について議論します。n = 4 {\displaystyle n=4} （− + + +） と座標付き（ t 、 x 、 y 、 z ） {\displaystyle (t,x,y,z)} 体積の形状 は次のように配向されています。ε 0123 = 1 {\displaystyle \varepsilon _{0123}=1} 1形式 の場合、 ⋆ d t = − d x ∧ d y ∧ d z 、 ⋆ d x = − d t ∧ d y ∧ d z 、 ⋆ d y = − d t ∧ d z ∧ d x 、 ⋆ d z = − d t ∧ d x ∧ d y 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\star }dt&=-dx\wedge dy\wedge dz\,,\\{\star }dx&=-dt\wedge dy\wedge dz\,,\\{\star }dy&=-dt\wedge dz\wedge dx\,,\\{\star }dz&=-dt\wedge dx\wedge dy\,,\end{aligned}}} 2形式 の場合、 ⋆ （ d t ∧ d x ） = − d y ∧ d z 、 ⋆ （ d t ∧ d y ） = − d z ∧ d x 、 ⋆ （ d t ∧ d z ） = − d x ∧ d y 、 ⋆ （ d x ∧ d y ） = d t ∧ d z 、 ⋆ （ d z ∧ d x ） = d t ∧ d y 、 ⋆ （ d y ∧ d z ） = d t ∧ d x 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\star }(dt\wedge dx)&=-dy\wedge dz\,,\\{\star }(dt\wedge dy)&=-dz\wedge dx\,,\\{\star }(dt\wedge dz)&=-dx\wedge dy\,,\\{\star }(dx\wedge dy)&=dt\wedge dz\,,\\{\star }(dz\wedge dx)&=dt\wedge dy\,,\\{\star }(dy\wedge dz)&=dt\wedge dx\,.\end{aligned}}}
これらはインデックス表記で次のようにまとめられます。 ⋆ （ d x μ ） = η μ λ ε λ ν ρ σ 1 3 ! d x ν ∧ d x ρ ∧ d x σ 、 ⋆ （ d x μ ∧ d x ν ） = η μ κ η ν λ ε κ λ ρ σ 1 2 ! d x ρ ∧ d x σ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\star }(dx^{\mu })&=\eta ^{\mu \lambda }\varepsilon _{\lambda \nu \rho \sigma }{\frac {1}{3!}}dx^{\nu }\wedge dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,,\\{\star }(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })&=\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }\varepsilon _{\kappa \lambda \rho \sigma }{\frac {1}{2!}}dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,.\end{aligned}}}
3 形式と 4 形式のホッジ双対は、ローレンツ署名において、⋆ 2 = 1 {\displaystyle {\star }^{2}=1} ⋆ 2 = − 1 {\displaystyle {\star }^{2}=-1} α {\displaystyle \alpha } ⋆ α {\displaystyle {\star }\alpha } α ∧ （ ⋆ α ） = ± d t ∧ d x ∧ d y ∧ d z {\displaystyle \alpha \wedge ({\star }\alpha )=\pm dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz} α {\displaystyle \alpha } d t {\displaystyle dt} （+ − − −） の場合、マイナス記号は、次の場合にのみ付ける。α {\displaystyle \alpha } d x {\displaystyle dx} d y {\displaystyle dy} d z {\displaystyle dz}
組み合わせに注意してください （ d x μ ∧ d x ν ） ± := 1 2 （ d x μ ∧ d x ν ∓ 私 ⋆ （ d x μ ∧ d x ν ） ） {\displaystyle (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }:={\frac {1}{2}}{\big (}dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\mp i{\star }(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }){\big )}} ± 私 {\displaystyle \pm i} ⋆ （ d x μ ∧ d x ν ） ± = ± 私 （ d x μ ∧ d x ν ） ± 、 {\displaystyle {\star }(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }=\pm i(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm },} 数学的観点 と物理的観点の両方において洞察に富み、 スピノルヘリシティ形式 やツイスター理論 など、現代物理学における2スピノル 言語の使用につながる。
例：3次元における微分 の組み合わせ⋆ {\displaystyle {\star }} 外微分 d は ベクトル場 に対して、古典的な演算子grad curl div を生成します。これは次のように機能します。d は f = f （ x 、 y 、 z ） {\displaystyle f=f(x,y,z)} d f = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y + ∂ f ∂ z d z 。 {\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz.}
スカラー積は、1形式をベクトル場と同一視する。 d x ↦ （ 1 、 0 、 0 ） {\displaystyle dx\mapsto (1,0,0)} d f {\displaystyle df} 卒業生 f = （ ∂ f ∂ x 、 ∂ f ∂ y 、 ∂ f ∂ z ） {\textstyle \operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)}
2番目のケースでは、ベクトル場F = （ A 、 B 、 C ） {\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)} φ = A d x + B d y + C d z {\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz} d φ = （ ∂ C ∂ y − ∂ B ∂ z ） d y ∧ d z + （ ∂ C ∂ x − ∂ A ∂ z ） d x ∧ d z + （ ∂ B ∂ x − ∂ A ∂ y ） d x ∧ d y 。 {\displaystyle d\varphi =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial C}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial z}}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)dx\wedge dy.}
ホッジスターを適用すると、1形式が得られる。 ⋆ d φ = （ ∂ C ∂ y − ∂ B ∂ z ） d x − （ ∂ C ∂ x − ∂ A ∂ z ） d y + （ ∂ B ∂ x − ∂ A ∂ y ） d z 、 {\displaystyle {\star }d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\,dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\,dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\,dz,} カール F = （ ∂ C ∂ y − ∂ B ∂ z 、 − ∂ C ∂ x + ∂ A ∂ z 、 ∂ B ∂ x − ∂ A ∂ y ） {\textstyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}},\,-{\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {\partial A}{\partial z}},\,{\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)}
3番目のケースでは、F = （ A 、 B 、 C ） {\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)} φ = A d x + B d y + C d z {\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz} ⋆ φ = A d y ∧ d z − B d x ∧ d z + C d x ∧ d y 、 d ⋆ φ = （ ∂ A ∂ x + ∂ B ∂ y + ∂ C ∂ z ） d x ∧ d y ∧ d z 、 ⋆ d ⋆ φ = ∂ A ∂ x + ∂ B ∂ y + ∂ C ∂ z = div F 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\varphi &=A\,dy\wedge dz-B\,dx\wedge dz+C\,dx\wedge dy,\\d{\star \varphi }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz,\\{\star }d{\star }\varphi &={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}=\operatorname {div} \mathbf {F} .\end{aligned}}}
この表現の利点の1つは、すべての場合に成り立つ 恒等式d 2 curl grad f = 0 、(2) div curl F = 0。 特に、外微分とホッジスターを用いて表現すると、マクスウェル方程式は 特に単純で優雅な形になります。⋆ d ⋆ {\displaystyle {\star }d{\star }} 共微分 と呼ばれ、任意の次元に対して完全に一般的に定義され、以下の記事でさらに詳しく説明されています。
また、上記の演算を用いて ラプラシアン Δ f = div grad f を求めることもできます。Δ f = ⋆ d ⋆ d f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 。 {\displaystyle \Delta f={\star }d{\star }df={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
ラプラシアンは、より一般的なラプラス・ド・ラーム演算子の特殊な場合とみなすこともできる。 Δ = d δ + δ d {\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d} δ = （ − 1 ） k ⋆ d ⋆ {\displaystyle \delta =(-1)^{k}{\star }d{\star }} k {\displaystyle k} f {\displaystyle f} δ f = 0 {\displaystyle \delta f=0} φ {\displaystyle \varphi } δ = − ⋆ d ⋆ {\displaystyle \delta =-{\star }d{\star }} φ {\displaystyle \varphi }
二元性 双線形形式が非退化の場合、ホッジスターを2回適用すると、k を除いて変化しない。 η ∈ ⋀ k V {\displaystyle \eta \in {\textstyle \bigwedge }^{k}V} n 次元空間V
⋆ ⋆ η = （ − 1 ） k （ n − k ） s η 、 {\displaystyle {\star }{\star }\eta =(-1)^{k(n-k)}s\,\eta ,} ここで、sは V 符号 の偶奇性、つまり任意の基底に関するスカラー積の行列式 の符号です。たとえば、 n = 4 でスカラー積の符号が(+ − − −) または(− + + +) の場合、s = −1 となります。リーマン多様体 (ユークリッド空間を含む) の場合、 s = 1 となります。
上記の恒等式は、⋆ {\displaystyle {\star }}
⋆ − 1 : ⋀ k V → ⋀ n − k V η ↦ （ − 1 ） k （ n − k ） s ⋆ η {\displaystyle {\begin{aligned}{\star }^{-1}:~{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V&\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}V\\\eta &\mapsto (-1)^{k(n-k)}\!s\,{\star }\eta \end{aligned}}} n が奇数の場合、k ( n - k ) は任意のk に対して偶数であり、 n が偶数の場合、k ( n - k )はk の偶奇性を持つ。したがって：
⋆ − 1 = { s ⋆ n 奇妙だ （ − 1 ） k s ⋆ n さえ {\displaystyle {\star }^{-1}={\begin{cases}s\,{\star }&n{\text{ is odd}}\\(-1)^{k}s\,{\star }&n{\text{ is even}}\end{cases}}} ここで、k は演算対象となる要素の次数である。
多様体上 n 次元の向き付けられた擬リーマン多様体 M に対して、上記の構成を各余接空間に適用する。 T p * M {\displaystyle {\text{T}}_{p}^{*}M} ⋀ k T p * M {\textstyle \bigwedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M} k 形式へ ζ ∈ Ω k （ M ） = Γ （ ⋀ k T * M ） {\textstyle \zeta \in \Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge ^{k}{\text{T}}^{*}\!M\right)} バンドル のグローバルセクション ⋀ k T * M → M {\textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}\!M\to M} ⋀ k T p * M {\textstyle \bigwedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M} p ∈ M {\displaystyle p\in M} k 形式 のホッジ双対 を定義します。ζ {\displaystyle \zeta } ⋆ ζ {\displaystyle {\star }\zeta } n – k ) 形式 としてη ∧ ⋆ ζ = ⟨ η 、 ζ ⟩ ω {\displaystyle \eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \langle \eta ,\zeta \rangle \,\omega } すべてのk 形式 に対してη {\displaystyle \eta } ⟨ η 、 ζ ⟩ {\displaystyle \langle \eta ,\zeta \rangle } M {\displaystyle M} ボリューム形式 ω {\displaystyle \omega } M {\displaystyle M} L 2 {\displaystyle L^{2}} k 形式 に対する（二乗可積分な ）スカラー積を計算する と、次の式が得られます。 ∫ M η ∧ ⋆ ζ = ∫ M ⟨ η 、 ζ ⟩ ω 。 {\displaystyle \int _{M}\eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \int _{M}\langle \eta ,\zeta \rangle \ \omega .}
より一般的に言えば、M {\displaystyle M} k形式のホッジ スターを ( n – k )-擬微分形式 として定義できます。つまり、標準線束 に値を持つ微分形式です。
指数表記による計算 我々は、（必ずしも正規直交ではない）基底に関して、テンソル添え字表記を 用いて計算を行う。{ ∂ ∂ x 1 、 … 、 ∂ ∂ x n } {\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}} V = T p M {\displaystyle V=T_{p}M} { d x 1 、 … 、 d x n } {\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}} V * = T p * M {\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M} （ g 私 j ） = （ ⟨ ∂ ∂ x 私 、 ∂ ∂ x j ⟩ ） {\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)} （ g 私 j ） = （ ⟨ d x 私 、 d x j ⟩ ） {\displaystyle (g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle )} 分解可能なk 形式 のホッジ双対は次のようになる。⋆ （ d x 私 1 ∧ ⋯ ∧ d x 私 k ） = | 検出 [ g 私 j ] | （ n − k ） ! g 私 1 j 1 ⋯ g 私 k j k ε j 1 … j n d x j k + 1 ∧ ⋯ ∧ d x j n 。 {\displaystyle {\star }\left(dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\right)\ =\ {\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}{(n-k)!}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}dx^{j_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{j_{n}}.}
ここε j 1 … j n {\displaystyle \varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}} レビ・チヴィタの シンボルはε 1 … n = 1 {\displaystyle \varepsilon _{1\dots n}=1} 合計を暗黙のうちに取ります。 j 1 、 … 、 j n {\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{n}} （ n − k ） ! {\displaystyle (n-k)!} j k + 1 < ⋯ < j n {\displaystyle j_{k+1}<\dots <j_{n}} ローレンツ多様体 の接空間のように負になる可能性があるため必要です。
任意の微分形式は次のように記述できます。 α = 1 k ! α 私 1 、 … 、 私 k d x 私 1 ∧ ⋯ ∧ d x 私 k = ∑ 私 1 < ⋯ < 私 k α 私 1 、 … 、 私 k d x 私 1 ∧ ⋯ ∧ d x 私 k 。 {\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {1}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots <i_{k}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}.}
階乗k ! {\displaystyle k!} α 私 1 、 … 、 私 k {\displaystyle \alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}} ⋆ α = 1 （ n − k ） ! （ ⋆ α ） 私 k + 1 、 … 、 私 n d x 私 k + 1 ∧ ⋯ ∧ d x 私 n 。 {\displaystyle {\star }\alpha ={\frac {1}{(n-k)!}}({\star }\alpha )_{i_{k+1},\dots ,i_{n}}dx^{i_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{n}}.}
上記の式をホッジ双対に用いると、d x 私 1 ∧ ⋯ ∧ d x 私 k {\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}} [ 4 ] （ ⋆ α ） j k + 1 、 … 、 j n = | 検出 [ g 1 b ] | k ! α 私 1 、 … 、 私 k g 私 1 j 1 ⋯ g 私 k j k ε j 1 、 … 、 j n 。 {\displaystyle ({\star }\alpha )_{j_{k+1},\dots ,j_{n}}={\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}\,g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\,\varepsilon _{j_{1},\dots ,j_{n}}\,.}
この表現は任意のテンソルに適用できますがα {\displaystyle \alpha }
単位体積の形ω = ⋆ 1 ∈ ⋀ n V * {\textstyle \omega ={\star }1\in \bigwedge ^{n}V^{*}} ω = | 検出 [ g 私 j ] | d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n 。 {\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}
共微分 多様体上のホッジスターの最も重要な応用は、共微分を定義することである。 δ {\displaystyle \delta } k {\displaystyle k} δ = （ − 1 ） n （ k + 1 ） + 1 s ⋆ d ⋆ = （ − 1 ） k ⋆ − 1 d ⋆ {\displaystyle \delta =(-1)^{n(k+1)+1}s\ {\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d{\star }} d {\displaystyle d} は外微分 または外微分であり、s = 1 {\displaystyle s=1} d : Ω k （ M ） → Ω k + 1 （ M ） {\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)} δ : Ω k （ M ） → Ω k − 1 （ M ） 。 {\displaystyle \delta \Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k-1}(M).}
共微分は、外微分とは異なり、外代数上の反微分 ではない。
共微分は、二乗可積分なスカラー積に関する外微分の 随伴である。 ⟨ ⟨ η 、 δ ζ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ d η 、 ζ ⟩ ⟩ 、 {\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle \ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle ,} ζ {\displaystyle \zeta } k {\displaystyle k} η {\displaystyle \eta } （ k − 1 ） {\displaystyle (k\!-\!1)} 0 = ∫ M d （ η ∧ ⋆ ζ ） = ∫ M （ d η ∧ ⋆ ζ + （ − 1 ） k − 1 η ∧ ⋆ ⋆ − 1 d ⋆ ζ ） = ⟨ ⟨ d η 、 ζ ⟩ ⟩ − ⟨ ⟨ η 、 δ ζ ⟩ ⟩ 、 {\displaystyle 0\ =\ \int _{M}d(\eta \wedge {\star }\zeta )\ =\ \int _{M}\left(d\eta \wedge {\star }\zeta +(-1)^{k-1}\eta \wedge {\star }\,{\star }^{-1}d\,{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle ,} M {\displaystyle M} η {\displaystyle \eta } ⋆ ζ {\displaystyle {\star }\zeta } 位相ベクトル空間を指定する必要がある。慣習的に ソボレフ空間 が用いられる。これは形式の収束列を許容する。）ζ 私 → ζ {\displaystyle \zeta _{i}\to \zeta } 私 → ∞ {\displaystyle i\to \infty } ⟨ ⟨ η 、 δ ζ 私 ⟩ ⟩ → ⟨ ⟨ η 、 δ ζ ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta _{i}\rangle \!\rangle \to \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle } η {\displaystyle \eta }
微分は以下を満たすのでd 2 = 0 {\displaystyle d^{2}=0} δ 2 = （ − 1 ） n s 2 ⋆ d ⋆ ⋆ d ⋆ = （ − 1 ） n k + k + 1 s 3 ⋆ d 2 ⋆ = 0. {\displaystyle \delta ^{2}=(-1)^{n}s^{2}{\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{nk+k+1}s^{3}{\star }d^{2}{\star }=0.}
ラプラス・ドラーム 演算子は次のように与えられる。 Δ = （ δ + d ） 2 = δ d + d δ {\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta } そして、それはホッジ理論 の中核をなすものである。それは対称的である。 ⟨ ⟨ Δ ζ 、 η ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ ζ 、 Δ η ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \!\langle \Delta \zeta ,\eta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle \!\rangle } ⟨ ⟨ Δ η 、 η ⟩ ⟩ ≥ 0. {\displaystyle \langle \!\langle \Delta \eta ,\eta \rangle \!\rangle \geq 0.}
ホッジスターは調和形式を調和形式に写像する。 ホッジ理論 の結果として、ド・ラームコホモロジーは調和 k 形式の空間と自然に同型であり、したがってホッジスターはコホモロジー群の同型を誘導する。 ⋆ : H Δ k （ M ） → H Δ n − k （ M ） 、 {\displaystyle {\star }:H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),} H k ( M ) とその双対空間 のポアンカレ双対性 を介して正準的な同一視が得られます。
座標系において、上記の表記法を用いると、次の形式の共微分α {\displaystyle \alpha } δ α = − 1 k ! g m l （ ∂ ∂ x l α m 、 私 1 、 … 、 私 k − 1 − Γ m l j α j 、 私 1 、 … 、 私 k − 1 ） d x 私 1 ∧ ⋯ ∧ d x 私 k − 1 、 {\displaystyle \delta \alpha =\ -{\frac {1}{k!}}g^{ml}\left({\frac {\partial }{\partial x_{l}}}\alpha _{m,i_{1},\dots ,i_{k-1}}-\Gamma _{ml}^{j}\alpha _{j,i_{1},\dots ,i_{k-1}}\right)dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k-1}},} Γ m l j {\displaystyle \Gamma _{ml}^{j}} トッフェル記号 を表す{ ∂ ∂ x 1 、 … 、 ∂ ∂ x n } {\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}
引用文献 1 2 ハーレー・フランダース (1963)物理科学への応用を伴う微分形式 、アカデミック・プレス 。↑ エリック・レンゲル (2024).射影幾何代数の解説 . テラソン・ソフトウェア. p. 81. ISBN 979-8-9853582-5-4 。1 2 Pertti Lounesto (2001). "§3.6 ホッジ双対" . Clifford Algebras and Spinors, ロンドン数学会講義ノートシリーズ第286巻 版）。ケンブリッジ大学出版局。39 ページ。ISBN 0-521-00551-5 。↑ Frankel, T. (2012). The Geometry of Physics (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-60260-1 。1 2 3 4 5 6 7 8 Kycia, Radosław Antoni (2022-07-29). "共微分形式、反共正確形式に対するポアンカレ補題、および物理学への応用" . Results in Mathematics . 77 (5) 182. arXiv : 2009.08542 . doi : 10.1007/s00025-022-01646-z . ISSN 1420-9012 . S2CID 221802588 . ↑ エデレン、ドミニク GB (2005). 応用外微積分 （改訂 版）. ミネオラ、ニューヨーク ISBN 978-0-486-43871-9 OCLC 56347718 {{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)
![{\displaystyle [n]=\{1,\ldots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f9086a8c84fcdbb3ed7614991f21b63d68adda)
![{\displaystyle {\bar {I}}=[n]\smallsetminus I=\left\{{\bar {i}}_{1}<\cdots <{\bar {i}}_{nk}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180730c394e07ea8eadff6353965d9465b853ac6)
![{\displaystyle \scriptscriptstyle \left[{\begin{array}{rrr}\,0\!\!&\!\!1&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\!\[-.5em]\,\!-1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\!\[-.5em]\,0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\end{array}}\!\!\!\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b19f2be27e2269b98bb1bd16bb8a13b6446f0109)
![{\displaystyle \mathbf {v} =a\,dx+b\,dy+c\,dz\quad \longrightarrow \quad {\star }{\mathbf {v} }\ \cong \ L_{\mathbf {v} }\ =\left[{\begin{array}{rrr}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be194eec58239b1f6e3cf434001b1062b10dcb69)
![{\displaystyle L_{\mathbf {u} \times \mathbf {v} }=L_{\mathbf {v} }L_{\mathbf {u} }-L_{\mathbf {u} }L_{\mathbf {v} }=-\left[L_{\mathbf {u} },L_{\mathbf {v} }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd6c6072f45e6cbc7d703ecd072b526550804c0)
![\displaystyle {\star }\left(dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\right)\ =\ {\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}{(nk)!}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}dx^{j_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{j_{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6e01a526be0ccc2076a9091cce1909df485d06)
![{\displaystyle ({\star }\alpha )_{j_{k+1},\dots ,j_{n}}={\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}\,g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\,\varepsilon _{j_{1},\dots ,j_{n}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76e792b7a03d0b2ac34e8299263f0616e1cba2d)
![{\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd252222a98cd412c56f4ad544bdc5be40f7aa6b)
