クライン幾何学

数学において、クライン幾何学は、フェリックス・クラインが彼の影響力のあるエアランゲン・プログラムで着想を得た幾何学の一種である。より具体的には、同次空間Xと、幾何学の対称群として機能するリー群GによるXへの推移的作用を組み合わせたものである。

背景と動機については、 Erlangen プログラムに関する記事を参照してください。

クライン幾何学は、 Gがリー群、H がGの閉リー部分群で、(左)剰余空間G / Hが連結であるようなペア( G , H )です。群Gは幾何学の主群と呼ばれ、 G / Hは幾何学の空間(または、用語の乱用により、単にクライン幾何学)と呼ばれます。クライン幾何学の空間X = G / Hは、次元

dim X = dim G − dim Hです。

GのXに対する自然な滑らかな左作用は次のように与えられる 。

${\displaystyle g\cdot (aH)=(ga)H.}$

明らかに、この作用は推移的である（a = 1と取る）ので、X をGの作用に対する同次空間と見なすことができます。恒等剰余類H ∈ Xの安定化因子は、まさに群Hです。

任意の連結な滑らかな多様体Xと、リー群GによるXへの滑らかな推移的作用が与えられれば、 Xの基点x ₀を固定し、H をGのx ₀の安定化部分群とすることで、関連するクライン幾何学( G , H )を構築できます。 群H は必然的にGの閉じた部分群であり、X は自然にG / Hに微分同相です。

2つのクライン幾何学( G ₁ , H ₁ )と( G ₂ , H ₂ )は、リー群同型φ :  G 1 _→ G 2_が存在し、 φ ( H ₁ ) = H ₂となる場合、幾何学的に同型です。特に、φ が元g ∈ Gによる共役 である場合、 ( G , H )と( G , gHg ⁻¹ )は同型であることがわかります。したがって、同次空間Xに関連付けられたクライン幾何学は、同型性を除いて一意です（つまり、選択された基点x ₀に依存しません）。

リー群Gと閉部分群H が与えられている場合、右乗法によってGへのHの自然な右作用が与えられる。この作用は自由かつ固有である。軌道は単にGにおけるHの左剰余類である。Gは左剰余類空間G / H上の滑らかな主Hバンドルの構造を持つと結論付けられる。

${\displaystyle H\to G\to G/H.}$

GのX = G / Hへの作用は有効である必要はない。クライン幾何学の核は、 GのXへの作用の核として定義される。これは次のように与えられる。

${\displaystyle K=\{k\in G:g^{-1}kg\in H\;\;\forall g\in G\}.}$

核K は、 GにおけるHの核(つまり、 Gにおいて正規となるHの最大の部分群)とも記述されます。これは、 Hに含まれるGのすべての正規部分群によって生成される群です。

クライン幾何学は、K = 1の場合には有効であり、Kが離散的である場合には局所的に有効であるといわれる。( G , H )が核Kを持つクライン幾何学である場合、( G / K , H / K )は( G , H )に正準的に関連付けられた有効クライン幾何学である。

クライン幾何学( G , H )は、 Gが連結である場合に幾何学的に有向である。(これは、 G / Hが有向多様体であることを意味するものではない)。Hが連結である場合、 Gも連結である (これは、 G / Hが連結であると仮定され、G → G / Hがファイバ化であるためである)。

任意のクライン幾何学( G , H )が与えられた場合、同じ基本空間G / Hを持つ( G , H )に標準的に関連付けられた幾何学的に方向付けられた幾何学的幾何学が存在します。これは幾何学( G ₀ , G ₀ ∩ H )であり、G _0はGの単位元です。G = G ₀ Hであることに注意してください。

クライン幾何学( G , H )は簡約的であるとされ、G / H は簡約同次空間であるとは、Hのリー代数が において H不変補空間を持つ場合を言います。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

次の表には、クライン幾何学としてモデル化された古典的な幾何学の説明があります。

• RW シャープ (1997)。微分幾何学: クラインのエルランゲン計画のカルタンによる一般化。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-94732-9。