擬ユークリッド空間

数学と理論物理学において、符号( k , nk )の擬ユークリッド空間は、非退化の二次形式qを伴う有限次元の実n空間である。このような二次形式は、適切な基底( e 1 _, …, e _n )を選択すると、ベクトルx = x ₁ e ₁ + ⋯ + x _n e _nに適用でき、 ベクトルxのスカラー平方と呼ばれるものが得られる。^{[1] : 3} $${\displaystyle q(x)=\left(x_{1}^{2}+\dots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}\right)}$$

ユークリッド空間では、k = n であり、これは二次形式が正定値であることを意味する。^[2] 0 < k < nの場合、q は等方二次形式である。1 ≤ i ≤ k < j ≤ nの場合、q ( e _i + e _j ) = 0であり、 e _i + e _{j は}ヌルベクトルであることに注意する。 k < nの擬似ユークリッド空間では、ユークリッド空間とは異なり、負のスカラー平方のベクトルが存在します。

ユークリッド空間という用語と同様に、擬ユークリッド空間という用語も、著者によってはアフィン空間またはベクトル空間を指すために使用されることがあり、後者は擬ユークリッドベクトル空間と呼ばれることもあります^[3]（点とベクトルの区別を参照）。

擬ユークリッド空間の幾何学は、ユークリッド空間のいくつかの特性、特に以下で説明するように距離空間ではない特性が適用されないにもかかわらず、一貫しています。アフィン構造は変更されていないため、線、平面、および一般にアフィン部分空間(平坦) の概念、および線分も変更されていません。

ヌルベクトルは、2次形式がゼロであるベクトルです。ユークリッド空間とは異なり、このようなベクトルは非ゼロになる可能性があり、その場合、自己直交します。2次形式が不定である場合、擬ユークリッド空間には、{  x | q ( x ) = 0 }で与えられるヌルベクトルの線形円錐があります。擬ユークリッド空間が時空のモデルを提供する場合（以下を参照）、ヌル円錐は原点の 光円錐と呼ばれます。

ヌルコーンは、q ( x ) > 0とq ( x ) < 0となる２つの開集合[ ^4]を分離します。k ≥ 2の場合、 q ( x ) > 0 となるベクトルの集合は連結されています。k = 1の場合、 x ₁ > 0とx ₁ < 0となる２つの互いに素な部分から構成されます。同様に、n − k ≥ 2の場合、 q ( x ) < 0となるベクトルの集合は連結されています。n − k = 1の場合、 x _n > 0とx _n < 0となる２つの互いに素な部分から構成されます。

二次形式q は、ユークリッドの場合のベクトルの二乗に対応します。ベクトルのノルム(および距離) を不変な方法で定義するには、スカラー二乗の平方根を取得する必要がありますが、これはおそらく虚数の距離につながります。負の数の平方根を参照してください。ただし、 3 辺すべてが正のスカラー二乗である三角形(平方根が実数で正) の場合でも、三角不等式は一般には成立しません。

したがって、擬似ユークリッド幾何学ではノルムと距離という用語は使用されず、それぞれスカラー平方と間隔に置き換えられます。

ただし、すべての接線ベクトルが同じ符号のスカラー平方を持つ曲線の場合、弧の長さが定義されます。これは重要な用途があります。たとえば、 固有時を参照してください。

このような空間の回転群は不定直交群O(q)であり、特定の 二次形式を参照せずにO( k ,  n − k )とも表記される。 ^{[5]このような「回転」は}qの形式を維持し、したがって各ベクトルのスカラー平方（正、ゼロ、負を含む）を維持する。

ユークリッド空間には単位球面がありますが、擬ユークリッド空間には超曲面 {  x | q ( x ) = 1 }と{  x | q ( x ) = −1 }があります。このような超曲面は擬球面と呼ばれ、適切な不定直交群によって保存されます。

二次形式qは次のように定義される対称双線形形式を生じます。

$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{2}}[q(x+y)-q(x)-q(y)]=\left(x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}\right)-\left(x_{k+1}y_{k+1}+\ldots +x_{n}y_{n}\right).}$$

二次形式は双一次形式： q ( x ) = ⟨ x , x ⟩で表すことができます。

⟨ x , y ⟩ = 0のとき、xとy は擬ユークリッド空間の 直交ベクトルです。

この双線形形式は、スカラー積と呼ばれることが多く、「内積」または「ドット積」と呼ばれることもありますが、内積空間を定義せず、ユークリッドベクトルのドット積の特性を持ちません。

xとy が直交し、q ( x ) q ( y ) < 0の場合、x はyに対して双曲直交します。

実n空間の標準基底は直交基底です。双線型形式が不定である擬ユークリッド空間には、ベクトルノルムを定義するために使用できないため、直交基底は存在しません。

擬ユークリッド空間の（正次元）部分空間^[6] Uに対して、二次形式qがUに制限されている場合、次の3つのケースが考えられます。

1. q | _Uは正定値または負定値のいずれかです。この場合、 Uは本質的にユークリッドです ( qの符号を除いて)。
2. q | _Uは不定ですが、退化していません。この場合、 U自体は擬ユークリッドです。これは、 dim  U ≥ 2の場合にのみ可能です。 dim  U = 2 の場合、つまりUが平面である場合、それは双曲平面と呼ばれます。
3. q | _Uは退化しています。

擬似ユークリッドベクトルと平面の最も衝撃的な性質の 1 つ (ユークリッド的直観にとって) は、それらの直交性です。2 つの非ゼロのユークリッドベクトルが直交する場合、それらは共線的ではありません。任意のユークリッド線形部分空間とその直交補空間との交点は、 {0}部分空間です。しかし、前のサブセクションの定義から、ゼロスカラー平方の任意のベクトルν はそれ自体に直交することが直ちにわかります。したがって、ヌルベクトルνによって生成される等方性直線 N = ⟨ ν ⟩は、その直交補空間N ^⊥ のサブセットです。

擬ユークリッド空間におけるベクトル部分空間の直交補空間の正式な定義は、完全に明確に定義された結果を与え、二次形式の非退化性により、等式dim  U + dim  U ^⊥ = n を満たす。これは単に条件

U ∩ U ^⊥ = {0}または、同等に、 U + U ^⊥ =全空間、

これは、部分空間Uにヌル方向が含まれている場合に破れる可能性がある。^[7]部分空間は、任意のベクトル空間と同様に格子を形成しますが、この⊥演算は、内積空間とは異なり、直交補集合ではありません。

完全にヌルベクトルで構成される部分空間Nの場合（つまり、 Nに制限されたスカラー平方q は0に等しい）、次の式が常に成り立ちます。

N ⊂ N ^⊥または、同等に、 N ∩ N ^⊥ = N。

このような部分空間は最大min( k , n − k ) 次元を持つことができる。^[8]

(正の) ユークリッドk部分空間の場合、その直交補空間は( n − k )次元の負の「ユークリッド」部分空間であり、その逆も同様です。一般に、d + 正の次元と d − 負の次元からなる ( d + + d − + d 0 ) 次元部分空間 U の場合₍説明について_はシルベスターの慣性_の法則を_参照) 、_その直交「補空間」 U ⊥^は( k − d ₊ − d ₀ )正の次元と( n − k − d ₋ − d ₀ )負の次元を持ち、残りのd ₀は退化しており、U ∩ U ^{⊥ の}交差を形成します。

平行四辺形の法則は次のようになる。

${\displaystyle q(x)+q(y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)+q(x-y)).}$

和の恒等式の平方を使用して、任意の三角形に対して、2 辺のスカラー平方とそれらの双線形形式の積から 3 番目の辺のスカラー平方を表すことができます。

${\displaystyle q(x+y)=q(x)+q(y)+2\langle x,y\rangle .}$

これは、直交ベクトルの場合、ピタゴラスの定理の擬似ユークリッド類似物が成り立つことを示しています。

${\displaystyle \langle x,y\rangle =0\Rightarrow q(x)+q(y)=q(x+y).}$

一般に、 2つのベクトルの双線形形式の絶対値| ⟨ x ,  y ⟩ |は、 √ | q ( x ) q ( y ) |よりも大きくなったり、等しくなったり、小さくなったりすることがあります。これにより、距離の場合と同様に、角度の定義でも同様の問題が発生します（「ドット積」§「幾何学的定義」を参照）。

k = 1 （ qに正の項が1つだけ）の場合、正のスカラー平方のベクトルに対して次のようになります。 $${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\geq {\sqrt {q(x)q(y)}}\,,}$$

これにより、逆双曲余弦を介してこれらのベクトル間の角度の類似物である双曲角の定義が可能になります。^[9] $${\displaystyle \operatorname {arcosh} {\frac {|\langle x,y\rangle |}{\sqrt {q(x)q(y)}}}\,.}$$

これは、 ( n −1)次元双曲空間上の距離に対応します。これは、後述する相対性理論の文脈ではラピディティとして知られています。ユークリッド角とは異なり、これは[0, +∞)の範囲の値を取り、反平行ベクトルの場合は0になります。

ヌル ベクトルと別のベクトル (ヌルまたは非ヌル) 間の角度の合理的な定義はありません。

ユークリッド空間と同様に、擬ユークリッドベクトル空間はすべてクリフォード代数を生成します。qを− qに置き換えると数は変化しますが形状は変化しないという上記の性質とは異なり、二次形式の符号を反転すると異なるクリフォード代数が生成されます。そのため、たとえばCl _1,2 ( R )とCl _2,1 ( R )は同型ではありません。

任意のベクトル空間と同様に、擬似ユークリッドテンソルが存在します。ユークリッド構造と同様に、インデックスを上げる演算子と下げる演算子がありますが、ユークリッドテンソルの場合とは異なり、これらの操作によってコンポーネントの値が変更されない基底はありません。ベクトルv ^βがある場合、対応する共変ベクトルは次のようになります。

${\displaystyle v_{\alpha }=q_{\alpha \beta }v^{\beta }\,,}$

そして標準形式で

${\displaystyle q_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}I_{k\times k}&0\\0&-I_{(n-k)\times (n-k)}\end{pmatrix}}}$

v _αの最初のk個の成分は数値的にはv ^βの成分と同じだが、残りのn − k 個の成分は符号が逆である。

反変テンソルと共変テンソル間の対応により、擬リーマン多様体上のテンソル計算はリーマン多様体上のテンソル計算の一般化になります。

非常に重要な擬ユークリッド空間はミンコフスキー空間であり、特殊相対性理論が定式化される数学的設定である。ミンコフスキー空間ではn = 4、k = 3 ^[10]であるため、

${\displaystyle q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2},}$

この擬似計量に関連する幾何学はポアンカレによって研究された。^{[11] [12]}その回転群はローレンツ群である。ポアンカレ群は並進も含み、通常のユークリッド空間の ユークリッド群と同じ役割を果たす。

もう一つの擬ユークリッド空間は、複素分割数からなる平面 z = x + yjであり、二次形式

${\displaystyle \lVert z\rVert =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}.}$

これは不定擬ユークリッド空間（n = 2、k = 1）の最も単純なケースであり、ヌル錐が残りの空間を4つの開集合に分割する唯一のケースです。群SO ⁺ (1, 1)は、いわゆる双曲回転で構成されます。

• 擬リーマン多様体
• 双曲方程式
• 双曲面モデル
• パラベクター

• カルタン、エリー（1981）[1938]、スピノルの理論、ニューヨーク：ドーバー出版、p. 3、ISBN 978-0-486-64070-9、MR  0631850
• Werner Greub (1963)線形代数、第 2 版、§12.4 擬似ユークリッド空間、pp. 237–49、Springer-Verlag。
• ウォルター・ノル（1964）「ユークリッド幾何学とミンコフスキー時間測定法」アメリカ数学月刊誌71：129-44。
• Novikov, SP; Fomenko, AT; [ロシア語からM. Tsaplinaによる翻訳] (1990)。微分幾何学と位相幾何学の基本要素。ドルドレヒト、ボストン：Kluwer Academic Publishers。ISBN 0-7923-1009-8。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Szekeres, Peter (2004)。現代数理物理学のコース: 群、ヒルベルト空間、微分幾何学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-82960-7。
• Shafarevich, IR ; AO Remizov ( 2012 ). 線形代数と幾何学。Springer。ISBN 978-3-642-30993-9。

• DD ソコロフ (創始者)、擬ユークリッド空間、数学百科事典