フィルタリングされた代数

数学において、フィルタ代数は、次数代数の概念を一般化したものです。その例は、特にホモロジー代数と表現論において、数学の多くの分野に見られます。

体 上のフィルター代数は、体上の代数であり、その部分 空間の増加列を持ち、${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (A,\cdot )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \{0\}\subseteq F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{i}\subseteq \cdots \subseteq A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$

そしてそれは次の意味での乗算と互換性があります。

${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ,\quad F_{m}\cdot F_{n}\subseteq F_{n+m}.}$

一般に、フィルタリングされた代数から次数付き代数を生成する次の構成があります。

がフィルタされた代数である 場合、関連する次数付き代数は次のように定義されます。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$

乗算は明確に定義されており、次数 を伴う次数代数の構造を付与します。さらに、が結合的である場合、 も結合的です。また、が単位で、単位が 内にある場合、も単位になります。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$${\displaystyle \{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$

代数としてはと は異なる (次数が付いているという自明な場合を除く) が、ベクトル空間としては は同型である。 (帰納法によってがベクトル空間としてに同型であることを証明できる)。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}G_{i}}$${\displaystyle F_{n}}$

たとえば、によって次数付けされる任意の次数付き代数は、によって与えられるフィルタリングを持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\textstyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$${\textstyle F_{n}=\bigoplus _{i=0}^{n}A_{i}}$

フィルタ代数の例としては、2次形式を与えられたベクトル空間のクリフォード代数 が挙げられる。関連する次数代数は 、の外積代数である。${\displaystyle \operatorname {クリフ} (V,q)}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle q.}$${\displaystyle \bigwedge V}$${\displaystyle V.}$

アフィン空間の双対上の対称代数は、多項式のフィルタされた代数です。ベクトル空間上では、代わりに次数付き代数が得られます。

リー代数の普遍包絡代数も自然にフィルタリングされます。PBW定理によれば、関連する次数付き代数は単純に となります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})}$

多様体上のスカラー微分作用素は、微分作用素の次数によってフィルタリングが与えられるフィルタリング代数を形成します。関連する次数代数は、射影のファイバーに沿った多項式である余接バンドル上の滑らかな関数の可換代数です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle \pi \colon T^{*}M\rightarrow M}$

長さ関数を持つ群の群代数はフィルタリングされた代数です。

• 濾過（数学）
• 長さ関数

• 阿部栄一（1980）ホップ代数ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-22240-0。

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