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幾何学において、不適切な回転[1]（回転鏡映[ 2] 、回転鏡映[1] 、[3] 、または回転反転[4]とも呼ばれる）は、ユークリッド空間における等長変換であり、軸の周りの回転とその軸に垂直な平面での鏡映の組み合わせである。鏡映と反転はそれぞれ不適切な回転の特殊なケースである。不適切な回転はすべてアフィン変換であり、座標原点を固定したままの場合は線型変換である。[5] これは、幾何学的対称性、分子対称性、結晶学の文脈で対称操作として使用され、回転と鏡映の組み合わせによって変化しないオブジェクトは不適切な回転対称性を持つと言われる。
3次元
3次元では、不正確な回転は、軸の周りの回転と軸上の点での反転の組み合わせとして同等に定義されます。 [1]このため、回転反転または回転反転とも呼ばれます。角度θの回転の後に反射を行うことは、θ + 180°の回転の後に反転（反転点は反射面にあるとします）を行うのと同じ変換であるため、2つの定義は同等です。両方の定義で、操作は交換可能です。
固定点が1つしかない3次元対称性は、必然的に不適当な回転となる。[3]
したがって、物体の不適切な回転は、その鏡像の回転を生み出す。この軸は回転反射軸と呼ばれる。[6]反射前または反射後の回転角度が 360°/ n（n は偶数でなければならない）である場合、これはn倍の不適切な回転と呼ばれる。[6]個々の不適切な回転の命名には、いくつかの異なるシステムがある。
- シェーンフライの表記法では、記号S n（ドイツ語ではSpiegel、鏡）は、nが偶数でなければならない場合、n倍の不適当な回転によって生成される対称群を表す。たとえば、対称操作S 6は、（360°/6）=60°の回転と鏡面反射の組み合わせである。（対称群の同じ表記法と混同しないでください。）[6]
- ヘルマン・モーガン記法では、記号n はn倍の回転反転、つまり反転を伴う360°/ nの回転角度による回転を表すために使用されます。nが偶数の場合、4 で割り切れる必要があります。( 2 は単なる反射であり、通常は「鏡」の「m」で示されることに注意してください。) nが奇数の場合、これは 2 n倍の不適切回転 (または回転反射) に対応します。
- S 2 nのコクセター記法は[2 n + ,2 + ]であり、
、 [2 n ,2]の指数 4 の部分群として、
3 回の反射の積として生成されます。 - Orbifold表記はn ×、順序 2 nです。
S 2からS 20までのサブグループ。C
1は恒等群です。S
2は中心反転です。C nは巡回群です。
サブグループ
- S 2 nの直接のサブグループはC n、位数n、指数2であり、これはローター反射生成器を 2 回適用したものです。
- nが奇数の場合、S 2 nには反転が含まれ、C iまたはS 2と表記されます。nが奇数の場合、 S 2 nは直積、つまりS 2 n = C n × S 2です。
- 任意のnについて、pがnの約数である奇数の場合、S 2 n / pはS 2 nのサブグループで、インデックスはpです。たとえば、S 4はS 12のサブグループで、インデックスは 3 です。
間接等長法として
より広い意味では、不正確な回転は、任意の間接等長変換、すなわちE (3)\E + (3)の元として定義される。したがって、それは平面における純粋な反射であるか、滑り面を持つこともできる。間接等長変換は、行列式が-1である直交行列を持つアフィン変換である。
適切な回転は通常の回転です。より広い意味では、適切な回転は直接等長変換、つまり E + (3) の要素として定義されます。また、恒等変換、軸に沿った平行移動を伴う回転、または純粋な平行移動になることもあります。直接等長変換は、行列式が 1 である直交行列を持つアフィン変換です。
狭義でも広義でも、2 つの不適切な回転の合成は適切な回転であり、不適切な回転と適切な回転の合成は不適切な回転です。
物理システム
不適切な回転（たとえば、システムに鏡面対称面がある場合）下での物理システムの対称性を調べる場合、ベクトルと擬似ベクトル（およびスカラーと擬似スカラー、一般にテンソルと擬似テンソル）を区別することが重要です。これは、後者は適切な回転と不適切な回転で異なる変換を行うためです（3 次元では、擬似ベクトルは反転に対して不変です）。
参照
参考文献
- ^ abc Morawiec, Adam (2004)、Orientations and Rotations: Computations in Crystallographic Textures、Springer、p. 7、ISBN 978-3-540-40734-8。
- ^ ミスラー、ゲイリー、フィッシャー、ポール、タール、ドナルド（2014）、無機化学（第5版）、ピアソン、p.78
- ^ ab キンゼイ、L. クリスティン、ムーア、テレサ E. (2002)、対称性、形状、表面：幾何学による数学入門、シュプリンガー、p. 267、ISBN 978-1-930190-09-2。
- ^クライン 、フィルポッツ（2013年）。地球材料。ケンブリッジ大学出版局。pp.89-90。ISBN 978-0-521-14521-3。
- ^ サロモン、デイビッド（1999）、コンピュータグラフィックスと幾何学的モデリング、シュプリンガー、p. 84、ISBN 978-0-387-98682-1。
- ^ abc ビショップ、デイビッド・M.（1993）、群論と化学、クーリエ・ドーバー出版、p. 13、ISBN 978-0-486-67355-4。